第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（初一组）

（考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）

一、填空（每题10分，共80分）

1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .

解析：21号是-3℃，那么22号-28号的总气温为-5℃，22号-29号的平均气温为-0.5℃，所以22号-29号总气温-4℃，则29号的气温是1℃。

2. 已知新北京×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式

(新北?京)?1?(奥?运)新= .

由题意，知2008要分成一个三位数?一个个位数后者两位数，解析：因为 2008=2?2?2?251.所以 新北京=251，则新就是2.北是5，京是1或者奥为6，运为0时 符合题意。将文字相对应的数代入即得 29.

因为 （新+奥+运）必须等于8.即（奥+运）=6，代入数据，当奥为0，运为6.3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数

字是 .

-1?2008?2?2007－3?2006＋4?2005＋?－1003?1006＋1004?1005+3?2006＋4?2005＋）??（－1003?1006＋1004?1005）解析：=（－1?2008?2?2007）（－

（2006+2）?502=2006+2002+1998+??+6+2= =504008.所以个位数为8。24. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有6条.

解析：如图所示时满足题意， 这个多边形的边数最多有6条

5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 2017036 . 解析：

由题意，得an-an-1=n ，an-1-an-2=n-1，??a3?a2?3，a2?a1?2（n+2）?n-1?，代入2008 即得 a=2010?2007?1 =1005?2007+1=2017036累加 得 an-a1=2008222

6. 当x取相反数时,代数式ax+bx对应的值也为相反数,则ab等于0 . 解析：

2取x 时，代数式为ax?bx2，取?x时，代数式为-ax+b（-x）， 即-ax+bx2因为当x取相反数时，代数式也为相反数，则有-（ax?bx）=-ax+bx?b=0，则 ab=022(m?9)x?(m?3)x?6?0是以x为未知数的一元一次方程,如果a?m,那么7. 已知

22

a?m?a?m的值为 6 .

解析：

?a?m ??a?m??0,? a－m??0,? a?m?a?m＝-?a?m?+（a?m）＝-2m＝68. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 4 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.

解析：如图，当去掉红色x掉的棋子后，就不会构成正方形的四个顶点。

由题意，得知 当m=-3时符合题意。

二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)

9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？

解析：可能是20、21、22，因为设最小角为x, 最大角为4x, 另一个角为y. 则由题目的条件得x?y?4x?180, x?y?4x, 4x?90…①由①的前两个式子得到: 6x?x?y?4x?180?9x, 解得20?x?30; 又由①的第三个式子得到x?22.5, 所以20?x?22.

10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?

解析：设共有n只猴子, 小明留给自己p个桃子. 每只猴子分到了4p个桃子. 则164?p?4pn, 所以p是4的倍数, 令p?4p1, 则41?p1?4p1n, 41?p1是4的倍数. 令p1?4k?1, 则

40?4k?4(4k?1)n,

n?10?k1?4k, 因为n是正整数, 所以k?0. 当k?0时, n?10.

11. 下图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P. 已知三角形PBC的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积.

BEPAFEPAFCBC解析：设三角形EBP的面积为X, 连接AP. 若令三角形APF的面积为Y, 则三角形AEP的面积为X?Y. 因为S?BCF:S?BFA?S?FPC:S?APF?X:Y, S?BCE:S?AEC?S?EBP:S?AEP?X:(X?Y)而

S?BCE?S?BCF, S?BFA?S?AEC?X?X?2X, 所以有X:Y?X:(X?Y), 解得

S?BCF:S?BFA?(12?X):2X?X:X?2:12, 所以

xyY?X2, 即

X=4. 三角形EBP的面积为4.

12. 现有代数式x+y, x-y, xy和 ,当x和y取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?

解析：

x?12x??2, y??1. , y??1,

1首先必须y?0, 否则

xy没有意义. 若x?y?x?y, 则y?0, 矛盾. 所以x?y?x?y. 若

x?0, 则由x?y?xy, 或x?y?xy都得到y?0, 所以x?0, 即xy?0. 因此, 三个相等的

式子只有两种可能: (1)

x?y?xy?xy. 由后一等式得到, y?1或y??1, 而y?1是不可能的, 因为此时由第一

12x?个等式得到x?1?x, 矛盾. 当y??1时, 由第一个等式得到x?1??x, 即2x?1, 所以

.

(2)

x?y?xy?xy. 由后一等式同样得到, y?1或y??1, 同样, y?1是不可能的, 而当

x??12y??1时, 由第一个等式得到2x??1, 所以

.

三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程) 13. 对于某些自然数n, 可以用n个大小相同的等边三角形拼成 内角都为120°的六边形. 例如, n=10时就可以拼出这样的六边形, 见右图,请从小到大,求出前10个这样的n.

解析：设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为a,b,c的等国三角形的角而得到, 其中a,b,c为正整数, 并且满足a?b?c?1, l?a?b.又由于用边长为1的等边三角形拼成的

21?3?5???(2x?1)?x一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是. 因此,

n?l2?(a2?b2?c2), 其中l?3, l?a?b, a?b?c?1.

22223?(1?1?1)?9?3?6. l?3(1) 时, n可以为

222222224?(2?1?1)?16?6?104?(1?1?1)?16?3?13. l?4(2) 时, n可以为.

222222225?(3?1?1)?25?11?145?(2?2?1)?25?9?16，l?5(3) 时, 与上面不同的n可以为,

52?(22?12?12)?25?6?19, 52?(12?12?12)?25?3?22. (4) l?6时,与上面不同的

n

22226?(4?1?1)?36?18?18, 可以为

62?(32?12?12)?36?11?25，62?(22?22?22)?36?12?24, 62?(22?22?12)?36?9?27. 62?(22?12?12)?36?6?30, 62?(12?12?12)?36?3?33 (5) l?7时, 与上面不同的n都比27大.

(6) l?8时, 可以证明满足要求的n都不小于26.

由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25

?25?y2?20?3y?10???025?? 14. 对于有理数x,用[x]表示不大于x的最大整数, 请解方程

解析：因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以3y是整数. 注意到

3y?y2??25?y2???y2?y2??y2?????020?3y?10?10???01?????1???1???10?25??25??25??25?,代入方程, 得到?25?, .

3y所以10是整数, 3y是

10的倍数. 令3y?10k, k是整数, 代入得

?100k2??4k2?4k2?4k2?0?1?k???????1?k????1?k?9?25999??????, 其中, 对于有理数x, ?x?=x??x?. 所

22?4k2?4k24k4k1?k??????1?1?k??01?k?99??, 99的情况如下以有. 当k取不同整数时,

表:

k 4k21?k?9 ??2 ??1 ??1 ?0 =1 14=9 =2 ?119 =3 =0 ?3 ??1 =?49 y??=1 K的可能值是?1和3, 相应的

1010y??3和y =10. 代入验算得到3或y?10.