第九章振动
1、设一物体沿x轴作谐振动的方程为x?0.10cos(2?t?（1）振幅，周期，频率和初相x??，式中x，t的单位分别为m，)4s.试求：
Acos(?t??)；（2）t?0.5s时，物体的位移、速度和加速度.
解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅
A?0.10m，角频率
??2?rad/s周期为T?，初
???4.由此，
2???1s 频????1Hz率为2?
（2）t物体位移x速度v?1s时，
?0.10cos(2???)?0.10cos(2??0.5?)m??7.07?10?2m 44?dx????0.2?sin(2?t?)??0.2?sin(2??0.5?)m/s?0.44m/s dt44dv??加速度a???4?2sin(2?t?)??4?2cos(2??0.5?)m/s2?28m/s2
?dt442、有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10 m。若使物体上、下振动，并规定向
-2
-2
上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10 m处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m·s的速度向下运动，求运动方程。 解：（1）根据题给的条件，x0点）且
-1
??4.0?10?2 m, v0?0（题取向上为正方向，且平衡位置处为原
A?4.0?10?2 m，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以?0?π。
km ，而 mg?又??kx0,
M kg?所以
mx0 , ??9.8?10s?1 ?29.8?10o? x 9-4-1图
所以谐振动方程：x（2）据题意，得
?4.0?10?2cos(10t?π)m
t?0时，x0?0，v0??0.6 m.s?1，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则
v0M0.22A?x?()?0?2?2?10?2m
?102022 ?0?π 2?0 x
（
x?0的投影有上、下两个OM矢量，但v0为负值，故只能选上面的OM矢量），所以谐振动
方程为xπ?4.0?10?2cos(10t?)m。
23、做简谐振动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？
（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法） （2）由平衡位置到x?AA处；（3）由x?处到最大位移处。（用旋转式量方法） 22解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，
得????t?t?2π TO
M?
x
因为求的是最短时间，故取向下的
??
M
πt21旋转矢量，所以??
2πT4（2）如图9-5-2图
9-5-1图
π?????t t?1. （3）同理 ???π , t?1
6T63T124、某振动质点的
x?t曲线如9-6图所示，试求：
（1）振动的周期和初相；
（2）点P位置所对应的相位和时刻。 解（1）由曲线知，
t?0时 ，x0?0.05m=A2，作旋转矢量如图
ππ。由旋转矢量得，t1?4s时，?t1??0?23
9-6-1图所示?0??ππ?2?23?5πs?1，所以运动周期为： T??9.6 s 。 所以???424（2）如图9-6-2图，?P所以 t?0，即 ?t??0??p?0
π248??s 。 35π5-2
-1
???0??5、质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10m作简谐运动，其最大速度为4.0m·s。
求：(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；(3)物体在何处其动能和势能相等； (4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?
解:（1）vmaxvmax??A ，??A?Ek?A?2T??2π?1.57?10，所以s.
?vmax2π（2）此E12（3）设在mvmax?0.8J
2x0处Ep?Ek，则1kx2Ep?20?12112mv??kA，222，
x0??2A??7.07?10?32m（4）
121A21121kx?k()??kA?E222424Ek?E?Ep?3E。 4?0.05cos(20t?0.75π)m；
6、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为x1x2?0.06cos(20t?0.25π)m。
求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐振动x3?0.07cos(10t??3)m，则
?3为多少时，x2?x3的振幅最大？又?3为多少时，x1?x3的振幅小？
解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），
因为????2??1???2，故合振动振幅为
A?2A12?A2?7.8?10?2m
合振相位?(Asin?1?A2sin?2)?arctan1?arctan11?1.48radA1cos?1?A2cos?2)（2）使
x2?x3振幅最大，即两振动同相，则由
???2kπ得：
?3??2?2kπ?2kπ?0.25π，k?0,?1,?2,?, 要使x1?x3的振幅最小，即两振动反向，
则由???(2k?1)π得：?3??1?(2k?1)π?2kπ?1.75π，k?0,?1,?2,?
?11.0?10?2kg的子弹，以500m.s
8、如9-8图所示，质量为
的速度射人木块，并嵌在木块中，同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为
8.0?103N·m?1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，
向左为
x轴正向，求简谐振动方程。
?0时刻，弹簧原长处为原点，则
解：设子弹射入木块时为t
x0?0，
?m1vv0???1.0m1?m2m.s
?1,由旋转矢量9-8-1图得
?0?π2,又
??k?40
m1?m2v02A?x0?(?)2?2.5?10?2 所以振动方程为x?2.5?10?2cos(40t?)
π29、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为
x?Acos?t和
y?Acos(?t??)。求在??0、??300及??900各种情况下，电子在荧光屏上的
轨迹方程。
解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为
x2y22xycos??2???sin??式中，A1、A2为两振动的振幅；??为两个振动22A1A2A1A2的初相差。本题中
A1?A2，????，故有x2?y2?2xycos???A2sin2?
（1）当
??0时，有x?y，轨迹为一直线方程。
，轨迹为椭圆方程。
2A220（2）当??30时，有x?y?3xy?42220x?y?A??90（3）当时，有，轨迹为圆方程。
第十章波动
1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为
y?0.05cos(10πt?4πx)，x，y的单位为米，
（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。（3）求
x?0.2 m处的质点在t?1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？
tx?) 0.20.5解 （1）将题中绳波表达式y?0.05cos(10πt?4πx)?0.05cos2π(与一般波动表达式
txy?Acos2π(?)比较，得振幅A?0.05 m，T?0.2s频率
T?-1
??5 Hz，波长??0.5 m。波速u????0.5?5?2.5 m?s
（
2
）
绳
上
各
质
点
振
动
的
-1
最大速度
vmax??A?2π?A?2?3.14?5?0.05?1.57 m?s
绳上各质点振动时的最大加