∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心. 五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.

式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，

p表示半周.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

11∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c) rcK22AO31O2 =[(a+b)2-c2]

4rbOrE1B =ab； raC2O111(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

2211 =[c2-(a-b)2]=ab.

42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.

1而r=(a+b-c)

2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.

例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△

ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆

半径.证明：

r1rr·2=. q1q2q(IMO-12)

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′·sinA' 2C'OA'..ED.B'B'A'2 =A′B′··sin 2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22， =A′B′·

A'?B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·

A'?B'sin2ODA'B'∴?tgtg. O'E22亦即有

sinr1rA?CMA?CNBB·2=tgtgtgtg q1q22222O' =tgABrtg=. 22q六、众心共圆

这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，

BE，CF三条对角线交于一点；

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)

分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分

线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不

..等式有： ErdosA BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).

F 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2(BI+DI+FI)

C ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) D =AD+BE+CF. I就是一点两心.

例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明

OE丄CD.

(加拿大数学奥林匹克训练题)

A分析：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设

EFDCD交AM于G，G必为△ABC重心. G连GE，MF，MF交DC于K.易证： OK1BCDG:GK=DC:()DC=2:1. 3 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.

例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的

E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)

分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB. DAC30° 利用内心张角公式，有

OKI1FE ∠AIB=90°+∠C=105°，

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

1 ∵∠AKB=30°+∠DAO

21 =30°+(∠BAC-∠BAO)

21 =30°+(∠BAC-60°)

21 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK，

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离

和为d外，重心到三边距 A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

H3求证：1·d垂+2·d外=3·d重. G3O2O3G2分析：这里用三角法.设△ABC外接圆

H2OG半径为1，三个内角记为A，B， IBC. 易知d外=OO1+OO2+OO3 CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

ADFCPOEGB ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2，

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克) 3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.

2试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)

8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.