因为AH是∠BAD的角平分线，
BHAB由角平分线定理知。 ?HDAD代入①式得
CGABDE???1 ② GBADECCGCIDEAD因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。 ??GBABECCJ代入②式得
CIABAD???1. ABADCJ从而CI=CJ。又由于
∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ， 所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC.
例9 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交
ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.
证 如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。
EJAB在△ECD与△FAB中分别使用
L梅涅劳斯定理，得
GEGDICHAGFHBJ ???1，???1. HGDICHEGFHBJAMD因为AB∥CD，所以 FCIEGAGCHFH， . ??GDGFHEHBDIBJCD?CIAB?AJ从而，即，故CI=AJ. 而 ??ICJACIAJBMBJDIDL， ???MCCIAJLA且BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以BM=DL。
例10 在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切
线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。
证 如图，设AD与BC相交于点P，用O表示半圆T的圆心。过P作PH丄
l于H，连OD，OC，OP。
由题意知Rt△OAD∽Rt△PAH， P于是有
AHHP. ?DADDOEC类似地，Rt△OCB∽Rt△PHB， lOBAF(H)则有
BHHP. ?BCCOAHBCPDAHBH由CO=DO，有，从而???1. ?HBCPDAADBC由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC，BD，PH相交于一点，即E在PH上，点H与F重合。
因∠ODP=∠OCP=90°，所以O，D，C，P四点共圆，直径为OP. 又∠PFC=90°，从而推得点F也在这个圆上，因此
∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，
所以EF平分∠CFD。
例11 如图，四边形ABCD内接于圆，
线交于E，AD、BC延长线交于F，一点，PE，PF分别交圆于R，AC与BD相交于T.
求证：R，T，S三点共线。 先证两个引理。
引理1:
A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若C1F1交于一点，则有
A1B1C1D1E1F1???1. B1C1D1E1F1A1EAB，DC延长P为圆上任意S. 若对角线
BRCTDFAPSA1D1，B1E1，
B1A1C1OD1E1F1如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，边形的性质易知
△ OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1， △OC1D1∽△OA1F1，从而有
根据圆内接多
A1B1B1OEFFOCDDO?， 11?1， 11?1. D1E1D1OB1C1B1OF1A1F1O将上面三式相乘即得
A1B1C1D1E1F1???1， B1C1D1E1F1A1引理2：
圆内接六边形A1B1C1D1E1F1，若满足
A1B1C1D1E1F1???1 B1C1D1E1F1A1则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点。 该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例11之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知
BREBPAFP,. ??PAEPDSFD两式相乘，得
BREB?FP. ① ?DSEP?FDCRECPDFP又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知，. 两式相??PDEPASFA乘，得
CREC?FP ② ?ASEP?FABR?ASEB?FA由①，②得. 故 ?DS?CREC?FDBRCDSAEBAFDC. ③ ?????RCDSABBAFDCE对△EAD应用梅涅劳斯定理，有
EBAFDC???1 ④ BAFDCE由③，④得
BRCDSA???1. RCDSAB由引理2知BD，RS，AC交于一点，所以R，T，S三点共线。
练 习
A组
1. 由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ和MP，向另两边延长线引垂线MR，MT。证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。
2. 在△ABC的BC边上任取一点P，作PD∥AC，PE∥AB，PD，PE和以AB，AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D，E。求证：D，A，E三点共线。
3. 一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是D，E，又和△ABC的外接圆相切于F。求证：△ABC的内心G和D，E在一条直线上。
4. 设四边形ABCD为等腰梯形，把△ABC绕点C旋转某一角度变成△A’B’C’。证明：线段A’D, BC和B’C的中点在一条直线上。
5. 四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P。设三角形ABP，BCP，
CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1，O2，O3，O4。求证：OP，O1O3，O2O4三直线交于一点。
6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。
7. △ABC为锐角三角形，AH为BC边上的高，以AH为直径的圆分别交AB，AC于M，N；M，N与A不同。过A作直线lA垂直于MN。类似地作出直线lB与lC。证明：直线lA，lB，lC共点。
8. 以△ABC的边BC，CA，AB向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点。求证：直线AA1，BB1，CC1相交于一点。
9. 过△ABC的三边中点D，E，F向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF，FD，DE交于I，L，M。求证：I，L，M在一条直线上。
B组
10. 设A1，B1，C1是直线l1上的任意三点，A2，B2，C2是另一条直线l2上的任
意三点，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N。求证：L，M，N三点共线。
11. 在△ABC，△A’B’C’中，连接AA’，BB’，CC’，使这3条直线交于一点S。
求证：AB与A’B’、BC与B’C’、CA与C’A’的交点F，D，E在同一条直线上(笛沙格定理)。
12. 设圆内接六边形ABCDEF的对边延长线相交于三点P，Q，R，则这三点在
一条直线上(帕斯卡定理)。