人口预测与数据拟合
1、摘要：
随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。
问题给出了1790—2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测美国未来的人口。
首先，人口增长率是变化值。对于问题(1)假设了人口上限因此我们选择建立Logistic模型(模型1)
其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合(模型2)，通过Matlab进行人口预测。
关键词：预测模型 人口增长率 Logistic 2、实验问题：
1970年到1980年间美国人口数的统计数据如表所示 年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 份 统3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 计 年1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 份 统62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 计 （1） 根据表中的数据，分别用不同次数的多项式拟合美国人口数量增长的近似曲线图。
（2） 根据表中的数据，建立符合Malthus模型的美国人口数量增长曲线模型。 （3） 设美国人口总体容量为4.5亿，试用Logistic模型建立美国人口增长曲
线模型。
（4） 分别用上述三种方法预测2000年，2005年，2015年，2020年美国人口
数量，并对不同方法的预测结果进行比较分析。 3、实验问题的分析：
根据以上问题的提出我们可以通过两种模型来进行求解，Malthus模型和Logistic模型来预测美国人口数量和统计的结果的差别。Malthus模型：1798年，英国统计学家Malthus在在进行大量统计的基础上发现了一种关于生物种的繁殖规律，就是一种个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。有效地控制人口的增长，认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
整个模型的过程中应当包括：人口增长的变化规律；人口数量的死亡的变化规律；人口平均生育的变化规律；统计人口是的过程等。 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关……. 可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。
人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和
长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。
4、 实验模型的假设：
（1）、人口数量在某一年内增长的速度较快，在哪一年内不记人口的死亡人数，和种种影响人口增长的因素。 （2）、假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型； （3）、 利用 （2） 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差； （4）、 利用（2）中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； （5）、 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (2) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口. 5、 模型的建立：
模型1
图1为1790-2000年的人口数据，人口增长率r为每10年的取值。首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R
Rtn=rt1+.....+rtnn
其中t1=1800年….. t21=2000年(1
其中的r我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。在公式1假设下，模型可修改为
骣dxx÷?=rx(1-)÷??dtxm÷÷ (公式2) ?÷?÷?÷÷?x(0)=x0桫上述方程改为Logistic模型
x(t) =xm/1+(xm/x0-1)e-rt (公式3)
e取2.718，t为Dt，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以 及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32； 2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59； 2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16； 2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35； 2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；
观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
图（1） 图（2）
图（3）
模型2
(1) 根据表中的人口数据，进行曲线拟合，建立数学模型；
(2) 利用 (1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模
型的计算误差；
(3) 利用 (1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口；
利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010 2020 2030 2040 2050年的美国人口。利用MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图4。
图4 美国人口统计数据连线图
图5 建模方法1的拟合效果图
由图4可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a, b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a, b是函数E(a,b)??(f(ti)?xi)2的最小值点。其中xi是
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