11. 已知在10件产品中有2件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样, 求下列事件的概率.

⑴两件都是正品; ⑵两件都是次品;

⑶一件是正品,一件是次品; ⑷第二次取出的是次品.

C8228解 ⑴两件都是正品的概率：P(A)?2?;

C10452C21⑵两件都是次品的概率：P(B)?2?;

C104511C2C816⑶一件是正品,一件是次品的概率：P(C)??; 2C1045⑷设事件A1,A2分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，

P(A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)?82211??. 109109512.袋中有5个红球,4个白球,从中取3次,每次取1个球.

⑴如果作不放回抽样,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率;

⑵如果取到红球,将红球拿出,放回2个白球,否则不放回,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率.

解 设事件Ai,i?1,2,3表示第i次取出红球，⑴前2次取到红球,后1次取到白球的概率：P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?54410??0.1587； 9876354816??0.16

9101199⑵前2次取到红球,后1次取到白球的概率：

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?13. 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从8支步枪中任取一支,求击中靶子的概率;若已知中靶了,求所使用的枪是校准过的概率.

解 设事件A表示击中靶子，事件B表示校准过步枪，则

53P(AB)?0.8,P(AB)?0.3， P(B)?,P(B)?，

88? 5

P(B)P(AB)405349P(A)??0.8??0.3?; P(BA)?. ?8880P(A)4914.现有6盒粉笔,其中的3盒,每盒有3只白粉笔,6只红粉笔,记作第一类;另外2盒,每盒有3只白粉笔,3只红粉笔, 记作第二类;还有1盒,盒内有3只白粉笔,没有红粉笔,记作第三类.现在从这6盒中任取1只粉笔,求取到红粉笔的概率;如果知道取到了红粉笔,求红粉笔取自第一类的概率.

解 设事件A表示取到红粉笔，事件Bi,i?1,2,3表示在第i类取出的，则

63P(AB1)?,P(AB2)?,P(AB3),

9636231012P(A)???????; P(B1A)? .

6966632315.若事件A,B,C相互独立，证明： ⑴C与AB相互独立； ⑵C与A?B相互独立; ⑶A与B?C相互独立.

C与AB相互独立；证明：⑴P(C(AB))?P(CAB)?P(C)P(A)P(B)?P(C)P(AB)，

⑵P(C(A?B))?P(CA?CB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(C)?P(A)?P(B)?P(AB)??P(C)P(A?B)，C与A?B相互独立;

⑶P(A(B?C))?P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?P(AB)(1?P(C))

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(BC)?P(A)P(B?C)，A与B?C相互独立.

16 .若事件A,B相互独立, P(A)?0.5,P(A?B)?0.8,计算: ⑴P(AB); ⑵P(A?B).

)?P(A)?P(B)?解 P(A?BP(A)P(?B)P(?B)

⑴P(AB)?P(A)P(B)?0.2; ⑵ P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(B)?0.7. 17.证明:

⑴ 若事件A的概率P(A)?0,则A与任意事件独立;

6

?1⑵若事件A的概率0?P(A),则事件A,B相互独立的充分必要条件是

P(B|A)?P(B|A).

证明 ⑴设B是任一事件，则AB?A?P(AB)?0，得P(AB)?P(A)P(B)，A与任意事件独立；

⑵必要性：若事件A,B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B)，有

P(B|A)?P(AB)P(AB)?P(B)，P(B|A)??P(B)，因此，P(B|A)?P(B|A) P(A)P(A)P(AB)P(B)?P(AB)??P(AB)?P(A)P(B)，

P(A)1?P(A)充分性：若P(B|A)?P(B|A)，则

因此，事件A,B相互独立。

18. 三个人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为概率.

解设事件Ai,i?1,2,3表示第i个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：

111,,.问能译出此密码的534P(A1?A2?A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?0.6

19.当危险情况发生时,自动报警器的电路即自动闭合而发出警报,我们可以用两个或多个报警器并联,以增加可靠性.当危险情况发生时,这些并联中的任何一个报警器电路闭合,就能发出警报,已知当危险情况发生时,每一警报器能闭合电路的概率为0.96.试求:

⑴如果两个警报器并联,则报警器的可靠性是多少?

⑵若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则需要用多少个报警器并联? 解 设事件Ai,i?1,2,???,n 表示第i个自动报警器能闭合电路

⑴两个警报器并联,则报警器的可靠性是：P(A1?A2)?1?P(A1)P(A2)?0.9984; ⑵P(?A)?1??P(A)?1?0.04iii?1i?1nnn?0.9999?n?3.

若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则至少需要3个报警器并联.

20.设甲盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;乙盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.

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⑴求至少有一只蓝球的概率; ⑵求有一只蓝球一只白球的概率;

⑶已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.

32325???； 79799342216??⑵有一只蓝球一只白球的概率：P(B)?； 797963解 ⑴至少有一只蓝球的概率：P(A)?⑶已知至少有一只蓝球,则有一只蓝球一只白球的概率：P(BA)?16。 3521.一大楼装有5台同类型的供水设备,调查表明在一小时内平均每个设备使用6分钟,问在同一时刻，

⑴恰有2台设备被使用的概率是多少? ⑵至少有2台设备被使用的概率是多少? 解 ⑴恰有2台设备被使用的概率：P5(2)?C5(21293)()?0.0729； 1010⑵至少有2台设备被使用的概率：1?[P5(0)?P5(1)]?0.08146。

习题二

1．将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记X为正面出现的次数,求X的分布律.

解 P{X?0}?()?12131, 81123()?， 22821213P{X?2}?C3()?，

228131P{X?3}?()?。

28P{X?1}?C32.有4个小球和两个杯子,将小球随机地放入杯子中,随机变量X表示有小球的杯子数,求X的分布律.

解 P{X?1}?224?0.125,P{X?2}?0.875,

3.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只, 随机变量X表示取出的3只球中的最大号码,求X的分布律.

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