绥化学院2013届本科生毕业论文
设销售x件产品的收入函数为R(x)，依题意有:R(x)?50x． 利润函数l(x)为
l(x)?R(x)?C(x)
?50x?0.1x2?5x?2000
??0.1x2?45x?2000．
由l?(x)??0.2x?45?0，得x?125，又因为l??(125)??0.2?0，说明x?125为极大值点，因为函数l(x)只有一个极大值点，所以x?125也是函数l(x)的最大值点．即产量为125时，获得的利润最大，最大利润为
l??1250(?0.2x?45)dx?2000
1250?(?0.1x2?45x)?2000
??1562.5?5625?2000 ?2062.5(元)，
即产量为125时可获得的最大利润为2062.5元．
从以上例子中可以看出，利用定积分研究经济函数，有助于实现利润的最大化．
第2节 不定积分在研究经济函数时的一些应用
不定积分是微积分的重要组成部分之一，不定积分在经济学中的应用也是十分广泛的．不定积分的数学定义为
定义3 设函数f(x)在区间I有意义，存在函数F(x)，对?x?I，有
F?(x)?f(x)，
则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数，或简称F(x)是f(x)的原函数．函数f(x)在区间I的所有原函数F(x)?C(?C?R)称为函数f(x)的不定积分，记为
?f(x)dx?F(x)?C，
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，C称为积分常数．
在经济应用中，可对已知的某种经济函数求导，从而求其边际函数；反过来，也可以对已知的边际函数计算其不定积分，而求其总量经济函数．
利用不定积分求经济函数的问题，最常见的有三种
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(1)已知边际成本函数，求总成本函数．
设用函数MC表示边际成本函数，C(Q)表示平均成本，Q为产量，C(Q)为总成本，则
C(Q)??MCdQ， (2.3)
因此总成本为
C(Q)?C(Q)?Q?Q?MCdQ．
(2)已知边际收益函数，求总收益函数．
设某种商品的产量为x个，用MR?R?(x)表示边际收益函数，则可知总收益函数为
R(x)??MRdx．
(3)已知总产量的变化率，求总产量．
设某产品在时间t的总产量的变化率为f?(t)，则总产量函数为
f(t)??f?(t)dt．
下面对已知边际成本函数，求总成本函数的问题做以举例说明． 例1 设已知某厂的边际成本函数MC?本为30，试求：
(1)平均成本函数C(Q)； (2)总成本函数C(Q)；
(3)产量为多少时，平均成本最低．
解 由于平均成本是边际成本的原函数，所以对边际平均成本函数积分便可以得到平均成本函数C(Q)，因此有
1414(1)根据(2.3)可知C(Q)??MCdQ??(?2)dQ?Q??C．
2Q2Q14由题设C(Q)?30，则?2??C?30，解得C?17．这样，平均成本函数为
2214?2，假设该产品产量为2时，平均成2QC(Q)?14Q??17． 2Q13
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(2)因为总成本函数等于平均成本函数与产量Q的乘积，即C(Q)?C(Q)?Q，所以
141C(Q)?(Q??17)Q?Q2?17Q?4．
2Q2(3)由极限存在的必要条件可知，平均成本最低的条件是MC?0，则令
C?(Q)?14??0，得 2Q2Q1?22，Q2??22(舍)．
因此，当产量为Q1?22时，成本最低．
从本章可见，一元函数积分学在经济学中的应用十分普遍且起到重要作用，尤其是在已知边际函数求原函数的问题中．利用一元函数积分学可以方便快捷的求出原函数，使得经济问题的求解方法更加多样化．同时，也使数学领域中一元函数积分学的运用范围更加广阔．
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结 论
一元函数微积分是高等数学中的一个重要分支，一元函数微积分在经济学中拥有不可替代的作用．运用微积分知识解决经济学问题，不仅是微积分理论的完善和发展，也是经济学研究的进步．本文分两章阐述了一元函数微分学与一元函数积分学在经济学中的一些应用．本文通过边际分析和弹性分析论述了利用一元函数微分学对经济函数的求解问题，以及利用数学知识求得利益的最大化问题．利用一元函数微分学求解经济学问题的这一突破，使得对企业收益问题的计算方法更加简便，不仅方便企业决策而且还为数学知识与实际问题相结合提供了有利的平台．运用一元函数积分学的知识，论述了在已知边际函数求解经济函数的问题中可以运用的数学方法，为经济学研究提供了更为严密的方法，给经济学的发展提供了保障．
通过本文可知数学知识与经济学相结合是经济学发展的总趋势．微积分知识对经济学的影响越来越大，微积分与经济学的结合必将更加紧密．此外，数学其他方面的知识也对经济学也有着深远影响．但目前为止，数学在经济学中的应用仍未能尽善尽美．许多数学知识在经济学中的应用都还处于初级阶段，大部分的经济学领域都未涉及数学知识．因此，将数学应用于经济学仍是一个曲折且十分漫长的过程．
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