第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题
1.?A?B??B?A （ ） 2.A?BC?ABC （ ） 3.ABAB?? （ ） 4.若A?C?B?C，则A?B （ ） 5.若A?B，则A?AB （ ） 6.若AB??,C?A,则BC?? （ ）
7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则
（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ）
二、填空题
1. 一次掷两颗骰子，
（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件?A?B?A?BA?B? 。
3.设A,B,C为三事件，用A,B,C交并补关系表示下列事件： （1）A不发生，B与C都发生可表示为 ； （2）A与B都不发生，而C发生可表示为 ；
（3）A发生，但B与C可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题
1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A表示“恰有一弹击中飞机”，B表示“至少有一弹击中飞机”，C表示“两弹都击中飞机”，D表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A、A与D是互不相容的 B、A与C是相容的
C、B与C是相容的 D、B与D是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A发生则B与C同时发生”的有（ ）
A、ABC?A；B、A?B?C?A； C、BC?A ； D、A?B?C
1
??????四、写出下列随机试验的样本空间
1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；
2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球； 3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。 4.在单位圆内任取一点，记录它的坐标。
五、在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡面中任取一张。设事件A表示“抽得一张标号不大于4的卡片”；事件B表示“抽得一张标号为偶数的卡片”；事件C表示“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本结果表示如下事件：
A?B,AB,B,A?B,B?A,BC,B?C,?A?B?C
六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件A表示“被选学生是女生”，事件B表示“被选学生是一年级学生”，事件C表示“被选学生是运动员”。 1.叙述事件ABC的意义； 2.什么时候ABC?C? 3.A?B?
2
习题二 随机事件的概率
一、判断题
1. 概率为零的事件一定是不可能事件。 （ ） 2. P?A?B??P?A??P?B?。 （ ） 3. P?A?B??P?A??P?AB? （ ） 4. PA?B?1?P?AB? （ ） 5. 若B?A,则P?B??P?AB? （ ） 6. 若P?AB??0
（1） 则事件A和B不相容 （ ） （2） 则P?A??0或P?B??0 （ ） 二、填空题
1.设事件A,B互不相容，P?A??0.5,P?B??0.2，则P?AB?= ，P?A?B?? 。 2.已知A?B,P?A??0.3,P?B??0.5,则P(A)? P(AB)?
??P(AB)? P(AB)? 3.若P?A??0.5,P?B??0.4,PAB?0.3,则P?A?B?? ,PAB? ,
????PAB? 三、选择题
1.设事件A,B互不相容，P?A??p,P?B??q，则PAB? A．?1?p?q B.pq C.q D.p
2.设当事件A和B同时出现事件C也随之出现，则 A．P?C??P?A?B? B.P?C??P?A??PB C．P?C??P?AB? D.P?C??P?AB? 四、设A，B是两件事，且P?A??0.6,P?B??0.7, 1.在什么条件下P?AB?取到最大值，最大值是多少？ 2.在什么条件下P?AB?取到最小值，最小值是多少？
?????? 3
五、设A，B，C是三事件，且P?A??P?B??P?C??11,P?AB??P?BC??0,P?AC?? 48 求A，B，C至少有一个发生的概率。
六、设有10件产品，其中6件是正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率；
1.只有1件次品；2.最多1件次品；3.至少一件次品。
七、口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球
都是同一种颜色为止。求最后是白球留在口袋中的概率。
八、设有3个人及4种就业机会，每人可随机选取任一个就业机会，求各个就业机会
最多达到1人，2人，3人选择的概率各是多少？
4
习题三 条件概率 一、判断题
1.设S表示样本空间，则PAS?1 （ ） 2.PAB?1?P?AB? （ ） 3.若A?B,则PBA=1 （ ） 4.若A?B，则PCA?PCB （ ） 5.若A?B,P?B??0，则P?A??PAB （ ）
6.若PAB?P?A?和PBC?P?B?，则PAC?P?A? （ ） 二、填空题
1.已知P?A??0.3,P?B??0.4,PAB?0.5,则PBA? ，
??????????????????????PA?BA?B?
11,P?BA??,则PAB? 。 361113.已知P?A??,P?BA??,P?AB??,则P?A?B??
3462.已知P?A??P?B??4.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击
中，则它是甲射中的概率为 。（调至习题四）
三、已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：
1.两只都是正品；
2.一只是正品，一只是次品； 3.第二次取出的是次品。 四、某商店出售的电灯泡由甲乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%。已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率为5%。一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率。
5
????五、有三只盒子，在甲盒子中装有2枝红芯圆珠笔，4枝蓝芯圆珠笔，乙盒中装有4枝红芯圆珠笔，2枝蓝芯圆珠笔，丙盒中装有3枝红芯圆珠笔，3枝蓝芯圆珠笔。今从其中任取一只。设到三只盒子取物的机会相同。
1.求它是红芯圆珠笔的概率；
2.若已知取得的是红芯圆珠笔，问它取自甲乙和丙哪个盒子的可能性大？
六、求证下列各题成立：
1.P?B?CA??P?BA??P?B?CA?; 2.设P?A??a,P?B??b，则P?AB??a?b?1b
习题四 独立性 一、判断题
1.概率为零的事件与任何事件都是独立的。 （ ）
2.设P?A??0,P?B??0若A与B为对立事件，则A与B相互独立（ 3. P?A??0,P?B??0若A与B相互独立，则A与B相容（ ） 4. A,B,C相互独立的充分必要条件是他们两两相互独立（ ） 5.从一大批产品中“不返回”地抽取，则可以认为各次抽取间产生的事件 是独立的 （ ） 二、填空题
1.设事件A与B相互独立，已知P?A??0.5,P?A?B??0.8， 则P?AB?? P?A?B??
6
）2.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率 与B发生A不发生的概率相等，则P?A?? 三、选择题
1.设P?A??0.8,P?B??0.7,PAB?0.8，则下列结论正确的是 A．A与B互不相容 B.A?B
C．A与B相互独立 D.P?A?B??P?A??P?B? 2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
19??A1?{掷第一次出现正面} A2?{掷第二次出现正}面 A3?{正反面各出现一次} A4?{正面出现两次}，则
A．A1,A2,A3相互独立 B. A2,A3,A4相互独立 C．A1,A2,A3两两独立 D. A2,A3,A4两两独立
四、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有 2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立的分别在两只盒子中各取一只球。 1.求至少有一只蓝球的概率； 2.求有一只蓝球一只白球的概率；
3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。
五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7 。今各投三次。求：
1.两人投中次数相等的概率； 2.甲比乙投中次数多的概率。
六、证明下列各题
1.已知P?A??p,P?B??q,PA?B?1?q?pq，证明A,B相互独立； 2.设A, B,C三个事情相互独立，试证： A?B,AB,A?B皆与C相互独立。
7
??第一章 复习题
一、填空题
1. 已知P?A??0.3,P?B??0.5,P?A?B??0.8，则PA?B?
2. 设随机事件A与B互不相容。已知P?A??P?B??a(0?a?1),PAB?PAB
则a?（ ），P(A?B)?（ ）
3. 设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：ABC??,P?A??P?B??P?C??1，
2且已知P?A?B?C??9,则P?A??( )
164. 某工厂生产的一批产品共有100个，其中5个次品。从这一批产品中任取一半来检
查，则次品不多于1个的概率为
5. 假设1000件产品中有200件不合格产品，依次作不放回抽取两件产品，则第二次
抽取到不合格产品的概率是
二、选择题
1. 设A, B,C是三事件，与事件A互斥的事件是（ ）。
A.AB?AC B.A?B?C? C.ABC D.A?B?C
2.设A与B不相容，P?A??0,P?B??0,则下列结论肯定正确的是 A.A与B不相容 B.P(A?B)?P(A) C.P?AB??P?A?P?B? D.PBA?0 3.已知P?A??0.7,P?A?B??0.3,则PAB? A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
4.设0?P?A??1,0?P?B??1,PAB?PAB?1,则 A. A与B互不相容 B. A与B相互对立 C. A与B相互独立 D. A与B互不独立 5.设事件A和B满足PBA?1,则
A．A是必然事件 B、A包含事件B C. P(A?B)?0 DPBA?0 三、 设P?A??0,P?B??0,试将下列4个数：
P?A?,P?AB?,P?A??P?B?,P?A?B?,按由小到打的顺序用不等号?联结起来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。 四、计算下列各题
?????????????????? 8
1. 一箱子中盛有20个红球，10个黑球，设所有的球都是可区分的，连续地从中取球
且取出后不放回去，直接取到黑球为止，试求取得的红球数恰好是k?0?k?20?的
概率。
2. 将三个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率； （1） A=“任意3个盒子中各有1球”； （2） B=“任意一个盒子中有3个球”；
（3） C=“任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球”。
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨号。求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
4.某产品的合格概率是0.96 。有一检查系统，对合格品进行检查能以0.98的概率判为合格品，对不合格品进行检查时，仍以0.05的概率判为合格品。求该检查系统发生错误的概率。
5.一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为0.86，而不参加培训只能完成定额的概率为0.35，假如该厂中有80%的工人参加过培训。
（1）一位新工人完成生产定额的概率为多少？
（2）若一位新工人已完成生产定额，他参加过培训的概率是多少？ 6.一口袋中有6个球，对其中球的颜色有三种看法：
A1:袋中有四只红球和两只白球； A2:袋中有三只红球和三只白球； A3:袋中有两只红球和四只白球；
对这三种看法的某人认为其发生的可能性分别为： P?A1??111,P?A2??,P?A3?? 362某人从口袋中任取一球，得到了白球。此时他应该如何修正自己的看法呢？
7. 设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18
件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求： （1） 先取出的零件是一等品的概率p；
（2） 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q。
8. 一试验可以独立重复进行，每次试验的成功率为p，则直到第10次试验才取得4
次成功的概率为多少？
9. 有6个元件，它们断电的概率第一个为0.6，第二个为0.2，其余四个都为0.3，各
元件相互独立，求线路断电的概率，若 （1） 所有元件串联；
（2） 元件按图连接 1---2 ---3---4--- 5---6
10.甲乙丙三人独立向一飞机射击，设甲乙丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设恰有
1人，2人，3人击中飞机坠毁的概率分别为0.2，0.6，1 。现在三人向飞机各射击一次，求飞机坠毁的概率。 五、证明下列各题：
9
1.P?AB??1?PA?PB?PAB; 2.设P?A??p,0?p?1,P?B??1?????????p,证明PAB?0;
?? 3.若PAB?P?A?,则PBA?P?B? 第一章 自测题 一、填空题
1.设P?A??0.3,P?A?B??0.7,且A与B互不相容，则P?B?? 2.设P?A??0.5,P?B??0.6,及PBA?0.8,则PAB?
3.10件产品中有3件次品，从中随机抽出2件，至少抽到1件次品的概率是 4.投掷一枚骰子，则出现的点数小于4的概率为
5.一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱 猜一个。假设他知道正确答案的概率为
??????11，乱猜选对答案的概率为。如果已知 35他选对了，则他知道正确答案的概率为
二、选择题
1.若P?AB??0,则
A．AB?? B.AB??
C.P?A?P?B??0 D.P?A?B??P?A? 2.设A?B,则
A．PBA?P?B? B.PA?B?PA C. PAB?P?A? D. PA?B?PB
3.设A,B, C是三个相互独立的随机事件，且0?P?C??1,则下列四对事件中，
不相互独立的是
A．AC与C B.AB与C B. A?B与C D.A?B与C
4.若P?A?B??0.9,P?B??0.51,PBA?0.35,则P?AB??
A. 0.16 ； B. 0.18 ； C. 0.21 ； D. 0.23
5.甲乙二人独立对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5 。现已知目标被击中，则它是甲击中的概率
?????????????? 10
A.
3356 B . C. D. 45111113,P?B??,若满足条件： 45三、计算下列各题 1. 已知P?A??（1） A与B互不相容
（2） A?B （3） P?AB??1 5试分别求出PAB的值
2．已知P?A??0.6,P?C??0.2,P?AC??0.1,PBC?0.7,且A?B,试求PA?BC 3.两封信随机投降标号为1，2，3，4的四个邮筒，问第2号邮筒恰好投入一封信的概率是多少
4.袋中有3个红球和2个白球
（1）第一次从袋中任取一球，随即放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率； （2）第一次从袋中任取一球，不放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率。 5.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已销售2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求： （1）该顾客购到正品的概率；
（2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少 6.设某人射击命中率为四、证明下列各题 1.设P?A????????1 。在10次射击中，求它至少命中一次的概率 51211,P?B??,证明?P?AB??; 23622.已知事件A与A本身相互独立，证明：P?A??0或P?A??1 第一章 考研训练题
一、填空题
1.已知P?A??P?B??P?C??发生的概率
2.设P?A??0.4,P?B??0.3,P?A?B??0.6,则PAB?
3.设A,B是任意两个随机事件，则P(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?
4.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 5.随机地向半圆0?y?11,P?AB??0,P?AC??P?BC??,则事件A,B,C全不416????2ax?x2（a为正常数）内投掷一点，点落在半圆内任何区域
的概率与区域面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于
?的概率为 4 11
6.一射手对同一目标独立地进行四次射击，如果至少命中一次的概率为
80，则该射手的81命中率为
7.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是
8.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子取出1球，这个球为白球的概率为 ；已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率 二、选择题
1.对于任意二事件A, B
A．若AB??,则A, B一定独立 B. 若AB??,则A, B不一定独立 C. 若AB??,则A, B一定独立 D. 若AB??,则A, B不一定独立 2.设0?P?A??1,P?B??0,PBA?PBA,则必有 A．PAB?PAB B. PAB?PAB C．P?AB??P?A?P?B? D. P?AB??P?A?P?B?
3.已知0?P?B??1且P?A1?A2?B?PA1B?PA2B,则下列选项成立的是 A.P?A1B?A2B??P?A1B??P?A2B? B.PA1?A2B?PA1B?PA2B C.P?A1?A2??PA1B?PA2B D.P?B??P?A1?PBA1?P?A2?PBA2 4.设当事件A与B同时发生时，事件C必然发生，则 A．P?C??P?A??P?B??1 B.P?C??P?A??P?B??1 C. P?C??P?AB? D. P?C??P?A?B?
5.在电炉上安装4个控温器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示“电炉断电”，而
????????????????????????????????T?1??T?2??T?3??T?4?,为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（）
A．T?1??t0 B. T?2??t0 C. T?3??t0 D. T?4??t0
三、从0，1，2……9共十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率
????????A1??三个数字中不含0和5?A3??三个数字中含0但不含5?
A2??三个数字中不含0或5?
四、设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为
12
3份，7份，5份。随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份
1. 求先抽到的一份是女生表的概率p
2. 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q
五、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经过调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了。求： n(n?2)台仪器（假设各台仪器生产过程相互独立）
1. 全部能出厂的概率为?
2. 其中恰好有两台不能出厂的概率为?
3. 其中至少有两台不能出厂的概率为?
六、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1 。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，二顾客开箱随机检查4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：
1. 顾客买下该箱的概率p
2. 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q 七、设A,B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明：
PBA?PBA是事件A与B独立的充分必要条件
八、设A,B,C是不能同时发生但两两相互独立的随机事件，且P?A??P?B??P?C???,证明：?可取的最大值为
????1 2九、设事件A,B,C同时发生必导致事件D发生，证明：
P?A??P?B??P?C??2?P?D?
13
第二章、随机变量及其分布
习题五 随机变量、离散型随机变量及其分布规律 一、判断题
1 2 3 X
0.1 0.4 0.5 pk 1．
是随机变量X的分布规律
5?k2,k?0,1,2,3，则它是随机变量X的分布规律 2.若对随机变量X有P?X?k??63.若对随机变量X有P?X?k??二、填空题
1.设随机变量X的分布律为P?X?k??2.设随机变量X的分布律为P?X?k??k?1,k?1,2,3,4,5,则它是随机变量X的分布律 25a,k?1,2,3,4,??N,则a? N?kk!e?3,k?0，1,2,??，则??
3.设离散型随机变量X服从两点分布，且P?X?1??4P?X?0?,则P?X?1?? 4.设随机变量X~b?n,p?,且已知P?X?1??P?X?2??2P?X?3?,则
n?,p?
5.某试验的成功概率为
31，失败概率为，若以X表示试验者首次成功所进行的试验44次数，则X的分布律为
6.设随机变量X服从二项分布b?2,p?,随机变量Y服从二项分布若b?3,p?。若
5P?X?1??,则P?Y?1??
9三、在15件同类型的零件中有2件次品，从中取3次，每次任取1件，作不放回抽取。以X表示取出的次品的个数。 1．求X的分布律 2.画出分布律的图形
14
四、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻
1.恰有2个设备被使用的概率是多少？
2.至少有3个设备被同时使用的概率是多少？ 3.至多有3个设备被同时使用的概率是多少？
五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问： 1.在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ 2.在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？
六、某商店过去的销售记录表明，某种商品每月的销售数可用参数??10的泊松分布描述，为了以99%以上的把握该种商品不脱销，每月该种产品的库存量为多少件？
15
七、设X服从泊松分布，其分布律为 P?X?k???ke??k!,k?0,1,2??
当k为何值，P?X?k?最大？
16
习题六 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度
一、判断题
?0,x??21 1.F?x????,?2?x?0,是某个随机变量的分布函数。 ?2?1.x?0 2.F?x??1,???x???是某个随机变量的分布函数。 1?x?ex,x?0 3.f?x???是某个随机变量的概率密度函数
?x?e,x?0 4.若概率P?X?2006??1,则X不可能是连续型随机变量
5.对连续型随机变量，区间上有限个点上密度函数值的改变不影响区间上的概率值 6.对一个分布函数F?x?,概率密度函数是唯一的。 7.设X~Nu,? 二、填空题
?2?,??x?为其分布函数，则??x?????x??1
0,x?0? 1.已知连续型随机变量X的分布函数为F?x????kx?b,0?x??，则常数k?k ,b?
?1,??x? 2.已知随机变量X的密度函数为偶函数，F?x?为X的分布函数，则F?x??F??x?? 3.设随机变量X~U?0,6?,则P?X?4?? ，P?1?X?4??
4.设随机变量X~N?0,1?,则??0??5.设随机变量X~N?,?三、选择题
1.设f?x?,F?x?分别为X的密度函数和分布函数，则有（ ） A.P?X?x??f?x? B.P?X?x??F?x? C.0?f?x??1 D.P?X?x??F?x? 2. X~N10,?,??0??,P?X?0??
?2?，且y21?4y?X?0无实根的概率为,则??
2?2?，则随?的增大，P?X?10???将会
A.单调递增 B.单调递减 C.保持不变 D.不能确定
17
四、设随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 pk 771 1515151. 求X的分布函数F?x?，并画出F?x?的图形；
2. 求P?X?1.5?,P{0?X?2},P?0?X?2?,并比较后两个概率值。
五、设连续型随机变量X的分布函数为
?0,x?0,?2 F?x???Ax,0?x?1,
?1,x?1?试求：1.系数A
1??1? 2.P???1?X??及P??X?2? 2???3? 3. X的分布密度
18
六、设随机变量X的密度函数为
??Acosx,x? f?x???2 ???0,x?2???试求：1.系数A ，X的分布函数F?x?， 3. X落在区间??0,?的概率
?4?
七、设随机变量X~N3,2?2?, 1.若P?X?c??P?X?c?,求c
? 2.求P?2?X?5?,PX?2,P?X?3? 3.设d满足P?X?d??0.9，问d至多为多少？
四、公共汽车车门高度，是按男子与车门碰头机会在0.01一下来设计的，设男子身高X服
从??168cm,??7cm的正态分布，问车门高度应如何确定？
19
? 习题七 随机变量的函数的分布 一、填空
1.设随机变量X分布律为
X -3 -2 0 1 2 pk 11111 84836则U??X?1的分布律为 Z?X2的分布律为
2.设随机变量X~U?0,1?,则Y?1?X的服从的分布为 3.设随机变量X~N10,3,则Y?5X?2服从的分布为 二、选择题
1.设X的密度函数为f?x??是 A.Y??2?12?e??x?3?24,???x???，则下列随机变量Y~N?0,1?的
11(X?3) (X?3) B.Y??2211(X?3) (X?3) D.Y??221,则Y?2X的概率密度是
?1?x2C.Y?2.设X的密度函数为p?x??A.
??1112 B. C. D.arctany ??（1?y2）?（1?4y2）?（4?y2）33.已知X~N?1,49?,则P?1?X?2??
A.??1??0.5 B.??2????1? C.?32???1? D.?33??32
???????3x2,0?x?1三、设X的概率密度f?x???，求Y??2X?1的分布函数和概率密度
?0,其它
20
四、设X~N(0,1) 1.求Y?eX的概率密度 2．求Y?2X2?1的概率密度 3．求Y?X的概率密度
五、1.设随机变量X服从区间(??,?)上的均匀分布，求Y?tanX的密度函数，
22并计算P?Y?0?
1,X?0,试求Y的分布律 2.设随机变量X服从??1,2? 上的均匀分布，记Y?????1,X?0
六、1．从8件正品2件次品中任取3件，求其中次品数X的平方的概率分布； 2. 设圆的直径服从（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数
七、设随机变量X服从参数??从均匀分布。
21
1?2X的指数分布，证明：Y?1?e在区间（0，1）上服2第二章 复习题 一、填空题
1.已知离散型随机变量X的分布律为： P?X??1??1,P?X?0??a,P?X?1??b. 4?c,???x??1?d,?1?x?0 分布函数F?x??? 则a? ，b? ， c? ，d?
?3?4,0?x?1?e,1?x????2.设随机变量X的概率分布为f?x??则A?,P??1?X?1??
A,???x??? 1?x2 3.已知随机变量X的概率密度函数f?x??1e?x,???x???,则X的分布函数F?x??
2 4.设随机变量X~N2,?2,且P?2?X?4??0.3,则P?X?0??
?1,2?x?e?1, 5.已知X的概率密度为f?x???，则Y?X2的概率密度fY(y)? ?x?1?0,其他???二、选择题
?0,x?0 1.设F(X)??x,0?x?1,则F(x)
??2?1,x?1 A．是随机变量X的分布函数 B.不是随机变量X的分布函数
C. 是离散型随机变量X的分布函数 D.是连续型随机变量X的分布函数
2.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1,X2的分布函数。为使F?x??aF1?x??bF2?x?
是某一随机变量的分布函数，在写列给定的个组数中应取
A.a?3,b??2 ； B. a?2,b?2； C.a??1,b?3 ； D. a?1,b??3
55332222 3.设随机变量X~N??,?2?,其分布函数记为F(x),则对于任意实数x，有 A．F???x??F???x??1 B. F???x??F?x????1 C. F???x??F???x??0 D. F???x??F?x????0
4.设随机变量X的分布函数为F?x?,密度函数为f?x?.若X和?X有相同的分布函数，则 A.F?x??F??x? ；B. F?x???F??x?； C. f?x??f??x?； D. f?x???f??x?
2x，0?x?1，则Y?X2服从 5.设连续型随机变量X的概率密度为f?x?????0,其他 A．参数为1的指数分布 B.区间（0，1）上的均匀分布
C. 参数为2的指数分布 D.区间（0，2）上的均匀分布
22
三、若P?X?x1??1??,P?X?x2??1??,其中x1?x2,试求P?x1?x?x2? 四、连续型随机变量X的分布函数为
0,x??a??x F?x???A?Barcsin,?a?x?a 其中a为正常数，求：
a?1,x?a?1.常数A和B 2.P??a??a?X?? 3.求X的概率密度
2??2?A,x?1, 五、设随机变量X的密度函数为 f?x??? ?1?x2?0,x?1? 求：1.常数A 2.P?X?六、设随机变量X的密度函数为
??1?? 3.分布函数F?x? 2??0.015e?0.01x5,x?0 f?x??? 求P?X?100? 2. 如果P?X?x??0.1,求x
0,x?0?七、已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3
件合格品。从甲箱中任取3件放入乙箱，求： 1.乙箱中次品件数X的分布律；
2.从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
八、某地抽样调查表明，考生的外语成绩(百分制)分布近似于正态分布N72,?的占学生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60-84份之间的概率。 九、已知某批建筑材料的强度X~N200,18,现从中任取一件，求：
1.这件材料的强度不低于180的概率
2.如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求。 1?1??十、设随机变量X的概率分布为f?x??332,1?x?8 ?x?0,其它??2?,96份以上
?2? F?x?是X的分布函数。求Y?F?X?的分布函数。
2十一、已知lnX~N?,?,
??13?1. 求X的概率密度函数fX?x? 2.若lnX~N?1,4?,求P???X?e? ?e?十二、设连续型随机变量X的分布函数为F?x?
1. 求Y?F?X?的密度函数 2.Z??2lnF?X?的密度函数
23
第二章自测题 一．填空题
1. 设某批电子元件的正品率为4，次品率为。现对这批元件进行测试，只要测得1
55个正品就停止测试工作，则测试次数X的分布律为（ ）
1?4x3,0?x?12. 设随机变量X的概率密度函数f?x???则使P?X?a??P?X?a?成
?0,其他立的常数a为（ ）
3. 设连续型随机变量X的概率密度函数f?x????a?8x?3x2?,0?x?2则常数a=（?0,其他4. 设随机变量X~N?0,1?,已知??2??0.9772，则P??2?X?0??( ) 5. 随机变量X的概率密度为fX?x?,若Y??3X?2,则Y的密度函数为 ( ) 二．选择题
1. 随机变量X在下面区间（ ）取值，可使函数F?x??cosx成为他的分布函数 A.???0,?? B.??2????2,??? C.?0,?? D.?3????2,2???
?2.设连续型随机变量X的密度函数满足f?x??f??x?,F?x?是X的分布函数， 则P?X?2005??
A.2?F?2005? B.2F?2005??1 C.1?2F?2005? D.2?1?F?2005?? 3.设随机变脸X~N?2,2?,??x?是X的概率密度，则下列4个命题中错误的是 A.??x?在?2，???上的积分等于常数 B.??x?在???，???上的最大值是1
2?C.??x?关于x?2对称 D.??x?是一个偶函数
4.设随机变量X在区间[0,3]上服从均匀分布，则关于变量y的方程
4y2?4Xy?X?2?0无实根的概率是
A.
13 B.1 C.213 D.2 5.设X~N?2,4?,且aX?b~N?0,1?则 A.a?2,b??2 B. a??2,b??1 C. a?12,b??1 D. a?12,b?1
24
）三、一口袋中有红白黄各5个，现从中任取4个，用X表示取到白球的个数，求X的概率分布
x??2四、1.设连续型随机变量X的分布函数为： F?x????A?Be,x?0
?0,x?0?21. 求常数A,B;
2. 求X的概率密度函数；
3. 求X的取值落在区间（1，2）内的概率。
?x,0?x?12. 设随机变量X的密度函数为 f?x????2?x,1?x?2
?0,其他?求X的分布函数F?x? 五、设随机变量X的概率分布为
X -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.25 0.2 0.15 0.1 2pk 求：1.Y??2X的概率分布； 2. Z?X的概率分布。 六、某种型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度
?1000,x?1000 现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立） f?x???， ?x2?0,其他?1. 任取1只，其寿命大于1500小时的概率是多少？
2. 任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？
3. 若一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大于2000小时的概率
是多少？
七、在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情况下，某种电子 元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，假设电源电压服从N200,25?2?,
求：1.电子元件损坏的概率；2.该电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率 八、设随机变量X服从指数分布：
??e??x,x?0 f?x??? 其中?为大于零的常数
?0,x?0试求：1.Y?X的密度函数； 2.Z?e?X的密度函数。
九、设随机变量X的概率密度f?x?满足：f?x??f??x?，F?x?为X的分布函数。 证明对任意实数a有：
a11.F??a??1?F?a????f?x?dx 2.PX?a?2F?a??1
20?? 25
第二章 考研训练题 一、填空题
?1?3,0?x?1?2 1.设随机变量X的概率密度为 f?x????,3?x?6
?9?0,其它?? 若k使得P?X?k??2,则k的取值范围是（ ） 32.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的 概率Pi?1(i?1,2,3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则P?X?2??（ ）
i?13.设随机变量X的概率密度f?x????2x,0?x?1以Y表示对X的三次独立重复观察中
?0,其他1?Y?2??（ ） 事件?X???出现的次数，则P?2??4.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y?X在（0，4）内 的概率密度fY?y??（ ）
?0,x??1?5.设随机变量X的分布函数为 F?x???0.4,?1?x?1，则X的概率分布为（ ）
??0.8,1?x?3??1,x?32
二、选择题
1.设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min?X,2?的分布函数
A.是连续函数； B.至少有两个间断点；C.是阶梯函数 ； D.恰好有一个间断点 2.（错题）设X1,X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为
f1?x?,f2?x?,分布函数分别为F1?x?,F2?x?，则
A.f1?x??f2?x?必为某一随机变量的概率密度 B. f1?x?f2?x?必为某一随机变量的概率密度 C.F1?x??F2?x?必为某一随机变量的分布函数 D. F1?x?F2?x?必为某一随机变量的分布函数
26
3.设随机变量Xi的概率分布如下：
Xi pi （i=1,2）
-1 0 1 111 424
且满足P?X1X2?0??1,则P?X1?X2??
A.0 B.
11 C. D.1 4211三、设随机变量X的绝对值不大于1；P?X??1??,P?X?1??;在事件??1?X?1?
84出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度
成正比。试求：1.X的分布函数F?x? 。2. X取负值的概率p
四、假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为??0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作时间 T 的概率分布
?e?x,x?0五、设随机变量X的概率分布为fX?x???
?0,x?0求Y?eX的概率密度fY?y?.
?2x,0?x?1六、设随机变量X的概率密度为f?x???
0,其它?现在对X进行n 次独立重复观测，以 Vn表示观测值不大于0.1的次数， 试求随机变量Vn 的概率分布
七、设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数 服从参数为?t的泊松分布。
1.求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
2.求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率q
八、设随机变量T在区间[2，5]上服从均匀分布。现在对T进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率
27
第三章 多维随机变量及其分布
习题八 二维随机变量 一、判断题
1.设(X,Y)是二维随机变量，事件{X?x,Y?y}表示事件{X?x}与{Y?y}的 积事件。 （ ）
?1,x?y?0,2.F(x,y)??是某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
0，x?y?0?（ ）
二、填空题
1.若二维随机变量(X,Y)的概率分布律为
则常数a = 。
Y\\X 1 2 3 1 111 6918 11 a 2 362.若二维随机变量(X,Y)恒取一定值（a,b），则其分布函数为 。
?21?kx?xy,0?x?1,0?y?2,3.若随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? 3??0，其它， 则k?______,P{X?1,Y?1}?_______,P{X?Y?1}?______,
P{X?0}?_______。
三、将三个球随机放入三个盒子中，用X和Y分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的
个数，求(X,Y)的联合分布律。
28
四、设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为
F(X,Y)?a(b?arctanx)(c?arctany),???x,y???,
231. 求常数a,b,c的值；
2. 求(X,Y)的概率密度函数f(x,y)。
（3x?4y）?ke?,x?0,y?0,f(x,y)?五、设随机变量(X,Y)的密度函数为 ?0，其它。?1. 求常数k的值；
2．求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；
3．求P{X?1,Y?1},P{0?X?1,1?Y?2}和P{X?
11,Y?}。 34 29
习题九 边缘分布、条件分布
一、判断题
1.二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。 （ ） 2.边缘分布是正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布。 （ ） 二、填空题
1.已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y\\X 1 2 3 1 a 0.2 0.1 2 0.2 0.1 0.3
则a= ,X的概率分布律为 ，Y的概率分布律为 。 2.设随机变量(X,Y)~N(0,3,1,4,?0.5)，则X的密度为 ，Y的密度 为 。
3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?kxy,0?x?1,0?y?2,f(x,y)??
0，其它，? 则常数k?______, X的边缘密度为 ，Y的边缘密度为 。
（2x?y）?ke?,x?0,y?0,f(x,y)?三、已知随机变量(X,Y)的密度函数为 ?0，其它。?1. 求X和Y的边缘密度函数；
2．求条件密度函数fXY(x|y)和fYX(y|x)；
3．求P{X?2|Y?1},P{X?2|Y?1}。
30
四、设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中 D?{(x,y)||x?y|?1,|x?y|?1}，求fX(x)。
?1,|y|?x,0?,x?1f(x,y)?五、设随机变量(X,Y)的密度函数为，求 ?0，其它。?fXY(x|y)和fYX(y|x)。
?3x2??3,0?x?y,?5y4,0?y?1,fY(y)=?六、设fXY(x|y)=?y求P{X?0.5}。
???0，其它。0，其它。?
31
习题十 相互独立的随机变量
一、填空题
Y\\X 1 2 3
111.设随机变量X与Y相互独立，其联合分布律为 1 a 69 1
b c 2 3 则a=______,b=______,c=______。
2. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1
p 1p 122
3333 则P{X?Y}?_____,P{X?Y}?______。
3. 设随机变量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?22,?)，则X与Y相互独立的充要条件是 。 4. 设随机变量X与Y相互独立，则它们的函数e与sinY （用`是`或`不是`填 空）相互独立的随机变量。
二、选择题
1．如下二维随机变量(X,Y)的分布律或密度函数给出，则X与Y不相互独立的是（ ）。 A、 B 、
Y\\X -1 0 2 1212
Y\\X 1 2 3 1 0.01 0.03 0.06 2 0.02 0.06 0.12 3 0.07 0.21 0.42 X
2 1 2 202020212 202020424 202020
?1,1?x?2,0?y?5, C、联合密度f(x,y)??； ?5??0，其它?x?y,0?x?1,0?y?1, D、联合密度f(x,y)??
0，其它?
2. 设二维连续型随机变量(X,Y)服从区域D上均匀分布，其中 D?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，则 A、(X,Y)落入第一象限的概率为0.5；
32
B、X,Y都不服从一维均匀分布；C、X,Y相互独立；D、X,Y不相互独立。
?6xy2,0?x,y?1,三、已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??
?0，其它。Y 1、判断X与Y是否相互独立； 2、判断tanX与1?2e是否相互独立。
?c(x?y),0?y?x?1,f(x,y)?四、已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为 ?0，其它。? 1、求边缘密度fX(x)，fY(y)； 2、判断X与Y是否相互独立。
五、设随机变量X与Y相互独立，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
y?1?1?e2,y?0, fY(y)??2
?0，其它。?1、 求X和Y的联合密度函数；
2、 设含有a的二次方程a?2Xa?Y?0，试求a有实根的概率。
33
2
六、设三维随机变量(X,Y,Z)的密度函数为
?1?3(1?sinxsinysinz),0?x,y,z?2?,f(x,y,z)??8?
??0，其它。 证明X,Y,Z两两独立，但不相互独立。
34
习题十一 两个随机变量的函数的分布
一、判断题
1．若X和Y都是标准正态随机变量 ，则X?Y~N(0,2)。 （ ） 2．若X~N(0,1)Y~N(0,1)，且X与Y相互独立 ，则
X?Y1 ~N(0,)。 （ ）
223．若X与Y相互独立且都服从指数分布E(?)，则X?Y~E(2?)。 （ ） 二、填空题
1．设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布，且X的分布律为
P{X?0}?P{X?1}?0.5，则Z?max{X,Y}的分布律是 。
2．设X和Y独立同分布，密度函数为p(t)，分布函数为F(t)，则Z?min{X,Y}的密度函数为 。
三、选择题
设随机变量X和Y相互独立，X~N(0,1)Y~N(1,1)，则（ ） A、P{X?Y?0}?11 B、P{X?Y?1}? 2211C、P{X?Y?0}? D、P{X?Y?1}?
22Y\\X -2 -1 0 -1 113 121212四、若二维随机变量(X,Y)的概率分布律为
求下列随机变量的概率分布：
1． X?Y; 2． X?Y; 3． X?Y?2.
21 2 1 0 21212 22 0 3 1212??e?(x?y),x?0,y?0,五、1．已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??
??0，其它。 求Z?X?Y概率密度函数；
2
35
2．已知二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)?? 求Z?X?Y概率密度函数；
六、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为
?3x,0?x?1,0?y?x,?0，其它。
?1,0?x?1,?e?y,y?0,fX(x)?? fY(y)??
?0，其它,?0，其它.求随机变量Z?X?Y概率密度。
?xe?x,x?0,七、设某种商品一周的需求量是一随机变量，其密度函数为f(x)??
?0，其它.如果各周的需求量是相互独立的，试求：
1． 两周的需求量的概率密度；2. 三周的需求量的概率密度。
36
第三章 复习题
一、填空题
1．设随机变量X和Y同分布，X的分布律P{X?0}?1，2P{X??1}?P{X?1}? 2．设平面区域D由曲线y?1，且P{XY?0}?1，则P{X?Y}? 。 412及直线y?0,x?1,x?e围成，二维随机变量(X,Y) x在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x?2处的值为 。
?Axy,(x,y)?G, 3．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??其中G是区
?0，其它。域0?x?2,0?y?x。则系数A= ，条件密度fXY(x|y)= ，
2fYX(y|x)= 。
ab，P{Y??k}?2，(k?1,2,3)，X与Y独立，则a= , kk b= ,联合分布为 , Z?X?Y概率分布为 。
4．已知P{X?k}? 5．设随机变量X和Y相互独立，其中X~N(0,1)Y~U(?1,1)，则Z?X?Y概率
密度函数为 。
二、选择题
1．设二维连续型随机变量(X1,Y1)与(X2,Y2)的联合密度分别为p1(x,y)和
p2(x,y)，令p(x,y)?ap1(x,y)?bp2(x,y)，要使函数p(x,y)是某个二维
随机变量的联合密度，则当且仅当a,b满足条件（ ）。
A、a?b?1 B、a?0,b?0
C、0?a?1,0?b?1 D、a?0,b?0,a?b?1
2．设随机变量X和Y都服从正态分布N(0,?)，且P{X?1,Y??1}? P{X?1,Y??1}?（ ）。 A、
21，则 4113 B、 C、 D、1 424 3．设随机变量X和Y相互独立，且服从同一名称的概率分布（二者的分布参数未必相同），已知X?Y与X服从同一名称概率分布，则X服从（ ）。
A、均匀分布 B、二项分布 C、指数分布 D、泊松分布
4．设X和Y是独立同分布连续型随机变量，则（ ）。
37
A、P{X?Y}?1 B、P{X?Y}?0
C、P{X?Y}?1 D、P{X?Y?2X}?1 2 5．随机变量X和Y相互独立，服从正态分布N(0,1)则（ ）。 A、P{X?Y?0}?11 B、P{X?Y?0}? 4411C、P{max(X,Y}?0}? D、P{min(X,Y}?0}?
44三、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)? 1．求常数k；
k
(1?x2)(1?y2) 2．求(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率； 3．问X与Y是否独立？
四、已知随机变量X与Y概率分布分别为
X -1 0 1 Y 0 1
p 1p 1111 4 2422
且P{XY?0}?1。
1． 求X和Y的联合分布；
2． 问X与Y是否独立？并说明原因。 五、设(X,Y)的联合概率分布为
P(X?i,Y?j}??j?i?jj!(i?j)!e?(???),i?0,1,?,j?0,1,?,i
求X和Y的边缘分布律。
六、设某仪器由两个部件构成，X与Y分别是这两个部件的寿命（千小时），已知(X,Y)的
联合分布函数为
?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0,F(x,y)??
0，其它。?1． 求边缘分布函数FX(x)，FY(y)；
2． 求联合密度f(x,y)和边缘密度fX(x)，fY(y)； 3． 求两部件寿命均超过100小时的概率。
七、设随机变量X和Y同分布，其概率密度为
38
?32?x,0?x?2,f(x)? ?8??0，其它.已知事件A?{X?a}和事件B?{Y?a}相互独立，且P{A?B}?八、设随机变量(X,Y)的密度函数为
3，求常数a。 4?x?y,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??
0，其它。? 求Z?X?Y概率密度。
九、设X和Y是两个独立同分布的随机变量，分别表示两个电子元件的寿命（小时），其密
度函数为
?1000?2,x?1000,f(x)? ?x??0，x?1000。 求Z?X的概率密度。 Y
五、在（0，a）线段上任意抛两点（抛掷两点的位置在（0，a）上独立地服从均匀分布）。
试求两点间距离的分布函数。
39
第三章 自测题
一、填空题
1．设随机变量(X,Y)的密度函数为
??k(2?x2?y2),x2?y2?4,f(x,y)??
??0，其它。则常数k= ，又设D?{(x,y)|x?y?1}，则概率P{(X,Y)?D}= 。 2．设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
(X,Y) （0,0） （-1,1） （-1,2） （1,0）
1115 p 631212
则X的边缘分布律为 ； Y的边缘分布律为 。 3．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
22?1?,x?1,y?1,f(x,y)??4
??0，其它。则边缘密度fX(x)= ，fY(y)= ，
fXY(x|y)= 。
4．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
?6x,0?x?y?1,f(x,y)??
?0，其它。则P{X?Y?1}? 。
5．若X~N(?3,1)Y~N(2,1)，且X与Y相互独立 ，则Z~ 。 Z?X?2Y?7，二、选择题
1．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
?4xy,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??
0，其它。?
40
则P{X?Y}?（ ）。
A、?dx?4xydy B、?dx?4xydy
000x1111C、
?10dx?4xydy D、?dx?4xydy
00??x1x2．设随机变量X和Y有相同的概率分布：
并且满足：P{XY?0}?1，则P{X2X -1 0 1 p 111 424?Y2}=（ ）。
A、0 B、0.25 C、0.5 D、1
3．关于事件{X?a,Y?b}和{X?a,Y?b}，有（ ）。
A、为对立事件 B、为互斥事件
C、为相互独立事件 D、P{X?a,Y?b}?P{X?a,Y?b} 4．设X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀
分布的随机变量是（ ）。
A、(X,Y) B、 X?Y C、X D、X?Y
X\\Y 5．随机变量X和Y的联合分布律为
1
2
且X与Y相互独立，则a,b的值是（ ）。
A、a?1 2 3 2111 69181 a b 31221,b? B、a?,b? 99991151 C、a?,b? D、a?,b?
661818三、盒子里有3只黑球，2只红球，2只白球。从中任取4只，以X表示取到黑球的数目，以Y表示取到红球的数目。求随机变量(X,Y)的联合分布律及其关于X和Y的边缘分布律。 四、已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?x2?cxy,0?x?1,0?y?2,f(x,y)??
?0，其它。1． 求常数c的值； 2． 求联合分布函数；
41
3． 求X和Y的边缘密度函数； 4． 求FX|Y(x|y)及fY|X(y|x)；
5． 问X与Y是否独立。
五、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为
?e?x,x?0,?e?y,y?0,fX(x)?? fY(y)??
?0，其它,?0，其它.1． 求(X,Y)的联合密度函数； 2． 求P{X?1|Y?0}。
六、设随机变量X和Y相互独立，其中X的概率分布为
X 1 2
p 0.3 0.7
而Y的概率密度为f(y)，求Z?X?Y的概率密度。
七、1．设随机变量X和Y概率密度函数分别为f(x)和g(y)，且设
?(x,y)?f(x)g(y)?h(x,y),???x???,???y???为二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，证明：
??????????h(x,y)d??0；
2．设X~P(?1)，y~P(?2)，且X与Y相互独立，试证X?Y~P(?1??2) 注：X~P(?)代表X服从泊松分布。
第三章 考研训练题
一、填空题
?6x,0?x?y?1,1．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??
?0，其它。则P{X?Y?1}? 。
2．设X与Y为两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?34，P{X?0}?P{Y?0}?，则77P{max(X,Y)?0}= 。
3．在区间（0，1）中随机地选取两个数，则事件“两数之和小于
226”的概率为 。 54．设二维随机变量(X,Y)在半单位圆域D?{(x,y)|x?y?1,y?0}上服从均匀分布，
42
Z表示三次独立观察中事件{X?Y}出现的次数，则P{Z?2}= 。
5．设变量X与Y独立，且P{X?1}?P{Y?1}?p?0，P{X?0}?P{Y?0}?1?p?0
?1,X?Y为偶数,令Z??要使X与Z独立，则p= .
?0，X?Y为奇数，二、选择题
1．若二维随机变量(X,Y)的概率分布为
已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互
X\\Y 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 独立，则（ ）。
A、a?0.2,b?0.3 B、a?0.4,b?0.1
C、a?0.3,b?0.2 D、a?0.1,b?0.4 2．X
和
Y
是独立同分布随机变量：P{X??1}?P{Y??1}?1，2P{X?1}?P{Y?1}?1，则下列各式中成立的是（ ）。 21A、P{X?Y}? B、P{X?Y}?1
211C、P{X?Y?0}? D、P{XY?1}?
443．设X与Y为两个随机变量具有相同的分布函数F(x)。随机变量Z?X?Y的分布函数为G(z)，则对任意实数x，必有（ ）。
A、G(2x)?2F(x) B、G(2x)?F(x)
C、G(2x)?2F(x) D、G(2x)?2F(x) 4．设Xi和Yi为随机变量(i?1,2,3,4),设矩阵X??2?X1X2??Y1Y2?Y?，， ????X3X4?2?2?Y3Y4?2?2已知P{|X|?0,|Y|?0}?0.4,P{|X|?0}?P{|Y|?0}?0.6,其中X,Y分别表示矩阵X和Y的行列式。记p?P{max(X,Y)?0}，则p的值是（ ）。
A、0.2 B、0.6 C、0.16 D、0.64
43
?1,0?x?1,0?y?2x,三、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??求
0，其它。?1．X和Y的边缘密度函数；
2．Z?2X?Y的概率密度函数。
四、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布，在X?x(0?x?1)的条件下，随机变量Y在（0，x）上服从均匀分布,求： 1．X和Y的联合密度函数； 2．Y的概率密度函数； 3．P{X?Y?1}。
五、设随机变量X和Y的联合分布是正方形G?{(x,y)|1?x?3,1?y?3}上均匀分布，求U?|X?Y|的概率密度p(u)。
六、已知随机变量(X,Y)的联合密度函数为?(x,y)??求X和Y的联合分布函数F(x,y)。
?4xy,0?x?1,0?y?1,
?0，其它。?2e?(x?2y),x?0,y?0,七、已知随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求
0，其它。?Z?X?2Y的分布函数。
八、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为
?e?y,y?0,?1,0?x?1,fY(y)??fX(x)??求Z?X?2Y的概率密度。
0，其它,??0，其它.九、设变量X的概率密度为fX(x)?13X的概率密度fY(y)。 2，求Y?1??(1?x)十、设某班车起点站上车乘客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1)，且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求： 1．在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率。 2．二维随机变量(X,Y)的联合概率分布。
44
第四章 随机变量的数字特征
习题十二 数学期望 一、判断题
1.设有分布律P{X?(?1)n?12n1}?n(n?1,2,?)，则X的数学期望存在。 （ ） n22.设X为离散型随机变量，且存在正数k，使得P{|X|?k}?0，则X的数学期望E(X)未必存在。 （ ） 3.设随机变量 X的数学期望存在，则 E(E(X))?E(X)。 （ ） 4.若随机变量X服从参数为?的指数分布，则E(X)?1?。 （ ）
5．甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布律分别为
Y 0 1 2 3
p 0.3 0.5 0.2 0
若两台机器的日产量相同，则甲机器较好。 （ ） 二、填空题
X 0 1 2 3 p 0.4 0.3 0.2 0.1 1．设X表示10次独立重复射击命中的次数，每次射中目标的概率为0.4，则E(X)= 。 2.设随机变量X~N(3,4)，则E(X)= 。
3．随机变量X服从参数为?的泊松分布，即X~P(?)，则E(X)= ；又若随机变量Y的数学期望则E(Y)=-2，a,b是常数，则E(aX?bY)= 。
?2(1?x),0?x?1,f(x)?4. 随机变量X密度函数为则E(X)= ，?0，其它。?E(X2)= 。
?12y2,0?y?x?1,5. 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)??则E(X)= ，
?0，其它。E(XY)= 。
三、设随机变量X的概率分布律为
X 2 1 0 -1
p 1111 2666 求E(X),E(?2X?1),E(X)。
2 45
?kx?,0?x?1,3四、随机变量X密度函数为f(x)??且E(X)?。
4?0，其它。1.求常数kk和a的值；
2.求E(eX),E(cosX),E(lnX)。
五、设(X,Y)的分布律为：
Y\\X 1 2 3
-1 0.2 0.1 0.0 0 0.1 0.0 0.3
1
0.1 0.1 0.1 1． 求E(X),E(Y)； 2． 设Z?YX，求E(Z)； 3． 设U?(X?Y)2，求E(U)。
46
六、设随机变量X和Y的概率密度函数分别为
?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??
0，其它,0，其它.??1. 求E(X?Y),E(2X?3Y)； 2. 设X与Y相互独立，求E(XY)。
七、假定每人生日在各个月份的机会是相等的，求三个人中生日在第一季度的平均人数。
47
2习题十三 方差
一、判断题
1.设随机变量X~P(?)，则方差D(X)能完全确定X的分布。 （ ） 2.设随机变量X~N(?,?)，则方差D(X)能完全确定正态随机变量X 的分布。 ( ) 3.若随机变量X的方差存在，则E(X)?(E(X))。 （ ） 4. 若随机变量X和Y独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)。 （ ） 二、填空题
1. 若随机变量X的方差D(X)?1，则E(D(X))? ，D(E(X))? 。
的概率密度函数为?(x)?2222.设连续型随机变量X
1?e?x2?2x?1， 则E(X)? ，
D(X)? ，标准差?(X)= 。
3. 设随机变量X~N(?,4)，则D(X)? ，又若随机变量Y的方差D(Y)?2，且X与Y相互独立，则D(3X?2Y)? 。
?x,0?x?1,?三、1. 随机变量X密度函数为 f(x)??2?x,1?x?2, 求D(X)；
?0，其它。?2.设随机变量Y~b(100,0.1)，求D(?3Y?1)。
?8xy,0?y?x,0?x?1,f(x,y)?四、设(X,Y)的密度函数为 求D(X),D(Y)。 ?0，其它。?
48
五、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的方差。
六、1.设X为随机变量，c是任意常数，证明；D(X)?E{(X?c)}； 2.设X是在?a,b?上取值的任一随机变量，利用第一问的结论证明： D(X)?(
七、1. 已知X的期望为10，方差为9，利用切比雪夫不等式给出
概率P{1?X?19}的下界；
2. 一枚均匀硬币要抛多少次从能使出现正面的频率与0.5之间的偏差不小于0.04 的概率不超过0.01。
习题十四 协方差及相关系数
一、判断题
1.E(XY)?E(X)E(Y)是随机变量X和Y相互独立的必要而非充分条件。 （ ） 2.对二维正态随机变量(X,Y)来说，X和Y不相关的充分必要条件是X和Y相互独立。
49
2b?a2 )。
2 （ ） 3.若随机变量X和Y相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则X?Y。 （ ） 4.若随机变量X和Y不相关，则E(XY)?E(X)E(Y)。 （ ） 二、填空题
1. 若随机变量X和Y相互独立，则Cov(X,Y)? ,?XY= 。
22. 若(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,0.5)，则?XY= 。
23. (X,Y)的分布律为：
Y\\X 0 1 0 0.25 0.25 1 0 0.5 则Cov(X,Y)? ,?XY= 。
4. 已知D(X)?25,D(Y)?36,?XY=0.4，则D(X?Y)? ，D(X?Y)? 。
?2?x?y,0?x?1,0?y?1,三、设(X,Y)的密度函数为f(x,y)??
?0，其它。1.求Cov(X,Y),?XY和D(2X?3Y)； 2.X与Y是否独立？是否相关？
四、设变量(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，验证：X和Y不相关，且X和Y也不独立。
五、设X和Y相互独立，且均服从N(?,?)分布。设Z1?aX?bY,Z2?aX?bY，其中a,b为不全为零的常数，求?Z1Z2。
50
2