第二章 行列式

习题

1.决定以下9级排列的逆序数，从而确定它们的奇偶性①.134782695；②.217986354；③.987654321. 解.①.?(134782695)?0?0?0?0?0?4?2?0?4?10,偶排列； ②.?(217986354)?0?1?0?0?1?3?4?4?5?18,偶排列； ③.?(987654321)?0?1?2?3?4?5?6?7?8?36,偶排列。2.选择i,k使得： 1).1274i56k9成偶排列; 2).1i25k4897成奇排列.解.1).在排列中缺少3,8；取i?3,k?8,所得排列的逆序数为??5.2).取i?3,k?6，?(132564897)?5;满足条件。3.写出排列12435变成排列25341的那些对换。解.这种过程不唯一，如：12435?21435?25431?25341.(1,2)(1,5)(4,3)

由于交换改变排列的奇偶性，于是取i?8,k?3；所得排列为偶排列。

4.决定排列n(n?1)(n?2)解.逆序数为：21的逆序数，并讨论它的奇偶性。n(n?1) 2 ?(n(n?1)(n?2)显然有21)?0?1?2??n?2?n?1??偶排列 n?4k,4k?1 ?.奇排列 n?4k?2,4k?3?5.如果排列x1x2xn?1xn的逆序数为k,那么排列xnxn?1x2x1的逆序数为多少？解.因为比xi大的数有n?xi个,所以在两个排列中由xi与比它大的各数构成的逆序数的和为: n?xi于是在两个排列中由xi构成的逆序数总数为: ?(n?xi)?(n?1)?(n?2)?xi?1n?1

?2?1?n(n?1)2所以当x1x2xn?1xn的逆序数为k时,xnxn?1x2x1的逆序数为:n(n?1)?k.2 6.在6级行列式中a23a31a42a56a14a65,a32a43a14a51a66a25这两项应有什么符号？解.a23a31a42a56a14a65的符号为(?1)?(431265)?(?1)0?1?2?2?0?1?1; a32a43a14a51a66a25的符号为(?1)?(452316)?(?1)0?0?2?2?4?1.

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7.写出4级行列式中所有含有负号并且包含因子a23的项。解.设所求项为?a1ia23a3ja4k,则列标i,3,j,k为奇排列,且i,j,k为取自1,2,4中的不同值。令i?1,j?2,k?4,于是排列1324是奇排列;由于“对换改变排列的奇偶性”，于是排列4312与2341是奇排列。那么所求为?a11a23a32a44，?a14a23a31a42，?a12a23a34a41.

8.按定义计算行列式：001).0n?1n000000001202).000n00n?10010002003).n?10?(?1)00000nn(n?1)2n(n?1)200010200.解.1).非零项仅有一项，其符号为(?1)?(n,n?1,n?2,,2,1),于是原行列式值为(?1)n!;

3，4，,n-1,1)2).非零项也仅有一项，其符号为(?1)?(2，?(?1)n?1,?原行列式值为(?1)n?1n!;3).非零项仅有一项，其符号为(?1)a1a2a3b3000b1b29.按行列式定义证明：c1c2d1d2e1e2?(n?1,n?2,,2,1,n)?(?1)(n?2)(n?1)2;于是行列式值为(?1)(n?2)(n?1)2n!.a4b4000a5b50?0.00

解.此行列式的一般项为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5,列标j3j4j5为取自1.2.3.4.5中的不同值，于是j3j4j5中至少有一项为0，故行列式的每一项均为0，所以行列式等于0.所证成立。2x10.由行列式定义计算f(x)?131同理x3的系数为?1.x12x1?1中x4与x3的系数。2x111x解由行列式定义知：.f(x)中仅有2x?x?x?x?2x4为含x4的项，故x4的系数为2；

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11.由111111111?0证明奇偶排列各半。证明：由题意行列式展开中的任一项(?1)?(j1j2jn)a1j1a2j2anjn的绝对值为1， 而行列式的值为零，说明带正号的项与带负号的项数数目相同。而各项的符号为： (?1)?(j1j2于是奇偶排列各半。12.设jn)??1 j1j2???1 j1j2jn为奇排列jn为偶排列 p(x)?11xa1x2a122an?1xn?1a1n?1n?1an?11an?1其中a1,a2,an?1是互不相同的数，1).由行列式定义说明p(x)是一个(n?1)次多项式；2).由行列式性质求行列式的根。解.1).将p(x)按第一行展开可知xn?1的系数为：1 1a1a2a122a2a1n?2n?2a21an?1这是一个范德蒙行列式，由于a1,a2,所以p(x)是一个(n?1)次多项式。2an?1n?2an?1an?1是互不相同的数，故此行列式不为零。,n?1)时p(x)?0，an?1.2).由范德蒙行列式的性质可知：当x取ai(i?1,2,

又由于p(x)是一个(n?1)次多项式，于是p(x)有n?1个不同的根a1,a2, - 3 -

13.计算下列行列式：2461).1014427327246100327543443l2?l31014100443?342100621l3?3l2l2?2l2468141002746127100143?1008141143?342721621l1?46l2l1?2l2x2).yx?y0100768yx?yxy?xyx?542100321?54213211076811610001161116??100??100??294?105.?5882940294?5881294x?y2x?2yyx?yxxx?yx?yxy1yx?yxyxl1?l2?l32x?2yy2x?2yxy?xx?y?2(x?y)yy6111?2(x?y)1x?y1xh1?h3h2?h302(x?y)01?2(x?y)(?(x?y)2?xy)??2(x3?y3).111131113).11111311631113110200??6?6?48.1131613111310020111312342341341241236113102341034110412101231113123413411412112300021021314?311?34).??10?10?102?2?202?2?2?1?1?10?1?1?10?1020?42?2?2?2??40?160.?1?1?1?1?1111xx001y?xy1100111?x111?y111001?x101001h1?h211?x11h3?h400y1?y1100按拉普拉斯定理11?x10011011?x5).111l2?l1l4?l311?y10111?yxyxy(?0?0?0?0?0)?xy?xy?(xy)2.

10展开，取定前两行1?x1?y1?y - 4 -