哈哈哈哈哈哈哈哈哈和→→→

心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为______．

→

[解析] 以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(1,0)，B???－1

2，3?2??

，

设∠AOC＝α???α∈??2π?

0，3??????，

则C(cos α，sin α)，

?cos α＝x－1y，由→OC＝xOA→＋yOB→

，得??

2??sin α＝3

2y，

所以x＝cos α＋

33sin α，y＝233

sin α， 所以x＋y＝cos α＋3sin α＝2sin??π?

α＋6???，

又α∈??2π?

0，3???，

所以当α＝π

3时，x＋y取得最大值2.

[答案] 2

4．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，

且P，G，Q三点共线．设→OP＝xOA→，→OQ＝yOB→

，则11x＋y＝______.

[解析] ∵点P，G，Q在一条直线上，∴→PG＝λ→

PQ.

5

哈哈哈哈哈哈哈哈哈和→→→→→→→→∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP) →→

＝(1－λ)OP＋λOQ →→

＝(1－λ)xOA＋λyOB，① 又∵G是△OAB的重心，

1→1→→2→21→→

∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB. ②

33233－λ??→→

而OA，OB不共线，∴由①②，得?1

λy＝??3.1

??x＝3－3λ，解得?1

??y＝3λ.[答案] 3

5．已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)， →(1)求AB；

→→→

(2)若AB＝mAC ＋nBC，求m，n；

→→→

(3)若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，使点P在一、三象限的角平分线上． →

[解] (1)AB＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)． →

(2)∵AC＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)， →

x＝，

13

11

∴＋＝3.

xyBC＝(7,10)－(5,4)＝(2,6)，

→→

∴mAC＋nBC＝m(5,7)＋n(2,6)＝(5m＋2n,7m＋6n)． →→→

∵AB＝mAC＋nBC＝(3,1)，

??5m＋2n＝3∴???7m＋6n＝1

??m＝1

，∴?

??n＝－1

.

→

(3)设P(x，y)，则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)． →

AB＋λAC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]

＝(3＋5λ，1＋7λ)．

??x－2＝3＋5λ，→→→

∵AP＝AB＋λAC，∴?

?y－3＝1＋7λ，?

→

??x＝5＋5λ，

∴?

?y＝4＋7λ.?

6

哈哈哈哈哈哈哈哈哈和若点P在第一、三象限的角平分线上． 1

则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.

2

[C尖子生专练]

(2018·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D→

是将OB分为2∶1两部分的一

→→

个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b. →→

(1)用a和b表示向量OC、DC； →→

(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．

→2→

[解] (1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB.

3→→→

由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA.

25→→→→→→

∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.

33

5→→→→→→

(2)如题图，EC∥DC.又∵EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，∴

32－λ－14

＝，∴λ＝. 255

－3

7