哈哈哈哈哈哈哈哈哈和课堂达标(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示
[A基础巩固练]
→→→
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于( )
1
A．b－a
21C．a＋b
2
1B．b＋a
21D．a－b
2
11→→→→
[解析] BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋a＝b－a.
22[答案] A
→
2．(2018·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) C．(6,2)
B．(－3,6) D．(－2,0)
→
[解析] MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， →
设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
??x－5＝－3，所以?
?y＋6＝6，?
??x＝2，
即?
?y＝0，?
选A.
[答案] A
→→→→
3．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，→
则BC等于( )
A．(－2,7) C．(2，－7)
B．(－6,21) D．(6，－21)
→→→→→→
[解析] BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． [答案] B
4．(2018·广东六校联考)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，π→→→→
|OC|＝22，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为( )
4
A．1
1B. 3
1
哈哈哈哈哈哈哈哈哈和1
C. 2
[解析] 过C作CE⊥x轴于点E. π
由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，
4→→→→→所以OC＝OE＋OB＝λ OA＋OB，
2D. 3
2→→
即OE＝λ OA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
3[答案] D
?1?b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a5．(2018·江苏五市联考)已知向量a＝?8，x?，
?2?
＋b)，则x的值为( )
A．4 C．0
B．8 D．2
1??[解析] a－2b＝?8－2x，x－2?，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，2??1??显然2a＋b≠0，故有?8－2x，x－2?＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， 2??
8－2x＝λ??
∴?1
x－2＝λ??2[答案] A
＋x，
x＋
?x＝4(x>0)．
?5?6．(2018·抚顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝?0，?，则c可用向量a，b?2?
表示为( )
1
A.a＋b 231C.a＋b 22
1
B．－a－b
231D.a－b 22
?5?[解析] 设c＝xa＋yb，则?0，?＝(2x－y，x＋2y)， ?2?
2x－y＝0??所以?5
x＋2y＝?2?[答案] A
→→→
7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中
1??x＝，
，解得?2
??y＝1
1
，则c＝a＋b.
2
2
哈哈哈哈哈哈哈哈哈和λ，μ∈R，则λ＋μ＝______.
→→→→→→1→→→→
[解析] 选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋
2
1
λ＋μ＝1，??211→??→??→
AF＝?λ＋μ?AB＋?λ＋μ?AD，于是得?2??2??1
λ＋??2μ＝1，
1→→→
AD，又AC＝λAE＋μ2
即
2λ＝，??3?2??μ＝3，
4
故λ＋μ＝.
3
4
[答案]
3
→→→
8．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是______．
→→
[解析] 若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线． →→→
∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， →
AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. [答案] k≠1
9．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外
→→
→→→
的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是______．
→|OC|→→
[解析] 由题意得，OC＝kOD(k＜0)，又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.
→|OD|→→→
又∵B，A，D三点共线，∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，
→→→→
∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．
3
哈哈哈哈哈哈哈哈哈和[答案] (－1,0)
[B能力提升练]
→→→→→→→
1．非零不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0
B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0
→→→→→→→→→→→
[解析] PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB，又2OP＝xOA＋
yOB，
??x＝2＋2λ，∴?
?y＝－2λ，?
→
消去λ得x＋y＝2，故选A.
[答案] A
→1→→2．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，
4→→1→
AP＝AD＋BC，则△APD的面积为( )
8
A.3
4
B.3 2
C.3 [解析]
D．23
→1→→
取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE＝(AB＋AC)，
2→1→→→1→
又AD＝(AB＋AC)，所以点D是AE的中点，AD＝3.取AF＝BC，以AD，AF为邻边作平行四
48111→→1→→→边形，可知AP＝AD＋ BC＝AD＋AF.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为×8222×3＝3
. 4
[答案] A
2π→→
3.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆
3
4