?v?u????[ax(y2?x2)]?[ay(y2?x2)]?x?y?x?y
?a(y?x)?2ax?a(y?x)?2ay
22??2ax?2ay?0
222222所以流动是有旋的，不存在速度势。
?2umax2b4?bumax33
【3.29】下列两个流动，哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？
（1）u??ay，v?ax，w?0
u?? （2）
式中a、c是常数。 解：（1）判别流动是否有旋，只有判别rotv是否等于零。
cycxv?x2?y2，x2?y2，w?0
?w?v??0?0?0?y?z ?u?w??0?0?0?z?x ?v?u??a?(?a)?2a?x?y
所以 rotv?2ak 流动为有旋流动。
1?v?u1?&?(?)?(a?a)?0xy2?x?y2 角变形
所以流动无角变形。
1?w?v1?)?(0?0)?02?y?z2 1?u?w1?&?(?)?(0?0)?0xz2?z?x2
?&(yz??w?v??0?0?0?y?z(2)
故流动为无旋
?u?w??0?0?0?z?x
22?v?uc(x?y)?2cx2[?c(x2?y2)?2cy2]????0?x?y(x2?y2)2(x2?y2)2
同理
?c(x2?y2)?&xy?(x2?y2)2
?&yz?0 ?&xz?0
【3.30】已知平面流动的速度分布u?x?2x?4y，v??2xy?2y。试确定流动： （1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数， 求出?和?。
解：（1）由divv是否为零 得
2
选择题【4.1】?u?x??v?y?2x?2?2x?2?0
故满足连续性方程 （2）由二维流动的rotv
?v?得
?x?u?y??2y?(?4)?0
故流动有旋
（3）此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函数? 而速度势?不存在
???u?x2
?y?2x?4y
积分得 ??x2y?2xy?2y2?f(x)
?? ?x??v?2xy?2y 故 2xy?2y?f?(x)?2xy?2y
f?(x)?0，f(x)?C
因此 ??x2y?2xy?2y2（常数可以作为零）
第4章 理想流体动力学
如图等直径水管，A—A为过流断面，B—B为水平面，1、2、3、4为面
上各点，各点的运动参数有以下关系：（a）p1?p2；（b）p3?p4；zp1（c）
?g?zp31?2?2?gzpp3??z4?4；（d）
?g?g。
AB3124AB习题4.1图
解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规律，即
z?
p??c，故在同一过流断面上满足
z1?p1p?z2?2?g?g
（c）
【4.2】
paV2z???g2g表示（a）单位重量流体具有的机械能；伯努利方程中
（b）单位质量流体具有的机械能；（c）单位体积流体具有的机械能；
（d）通过过流断面流体的总机械能。
能和动能之和或者是总机械能。故 （a）
【4.3】 水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心的压强，有以下关系：
（a）p1?p2；（b）p1?p2；（c）p1?p2；（d）不定。
?v2z???g2g表示单位重量流体所具有的位置势能、压强势解：伯努利方程
pV2?V1因此p1?p2（c）
【4.4】 粘性流体总水头线沿程的变化是：（a）沿程下降；（b）沿程上升；
（c）保持水平；（d）前三种情况都有可能。
解：粘性流体由于沿程有能量损失，因此总水头线沿程总是下降的 （a）
【4.5】 粘性流体测压管水头线沿程的变化是：（a）沿程下降；（b）沿程上
升；（c）保持水平；（d）前三种情况都有可能。
解：水平放置的渐扩管由于断面1和2形心高度不变，但
解：粘性流体测压管水头线表示单位重量流体所具有的势能，因此沿程的变化是不一定的。
（d）
计算题
【4.6】
如图，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。试求：（1）管内的流量；（2）管内最高点S的压强；（3）若h不变，点S继续升高（即a增大，而上端管口始终浸入水内），问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大。
S解：(1)以水箱底面为基准，对自由液面上的点
a1和虹吸管下端出口处2建立1-2流线伯努利d11方程，则
h22p12v2pvz1??1?z2?2?2z1?2gz2?2g
习题4.6图 其中
z1?z2?h，
p1?p2?0，
v1?0
则
v2?2gh?2?9.81?6?10.85mQ?v2s
3?4 管内体积流量
d2?10.85??4?0.152?0.192ms
(2)以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点S列1-S流
psvs2v12z1???zs???2g?2g 线伯努利方程。则
p1
z?h?y,
其中 z1?h,sp1?0,v1?0,
vs?v2?10.85m/s
22v210.85ps??(?y?)??(?2?)??78.46kPa2g2?9.81即9 807
即S点的真空压强
pv?78.46kPa
ps等于水的汽化压强时，
(3)当h不变，S点y增大时，当S点的压强
此时S点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下（15 ℃）水的汽化压强为1 697Pa（绝对压强）以管口2为基准，列S?2点的伯
努利方程，
2vs2p2v2zs???z2???2g?2g
z?h?y，z2?0，
其中 sps
vs?v2，
ps?1 697 Pa，p2?1 01325Pa （大气绝对压强）
p?ps1 01325?1 697 y?2?h??6?10.16?6?4.16m?9 807 即
p本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由于s为绝对压
强，因此出口处也要绝对压强。
如图，水从密闭容器中恒定出流，经一变截面管而流入大气中，已知
【4.8】
H=7m,p= 0.3at,A1=A3=50cm2，A2=100cm2，A4=25cm2，若不计流动损
失，试求：（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量；（2）各截面上的总水头。 解：（1）以管口4为基准，从密闭容器自由液面上0点到变截面管出口处4列0－4流线伯努利方程，
22v0p4v4z0???z4???2g?2g
z?H，z4?0
其中 0p0
p0?p，p4?0