∵∴∵∴

对

，从而

．

，则

，使

． ，不合题意.

恒成立，

（2）①若∴取

，则存在． ，则

．

此时．

∴存在，使．

②依题意，不妨设由（1）知函数∵∴∴

，令，则．

，从而

．

单调递增，则

．

∴．

下面证明，即证明，只要证明．

设∴∴

在

，则单调递减，故，即

．

在，从而

恒成立． 得证．

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数

导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

数学Ⅱ（附加题）

本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：

．

【答案】证明见解析 【解析】试题分析：延长根据

，即可得证.

交⊙O于点E，则

．

交⊙O于点E，则

，

试题解析：证明：延长∵∴∴

．

，

．

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知阵分别为【答案】12

【解析】试题分析：依次实施变换，所对应的矩阵点，，在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积. 试题解析：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵则∴

∴所得图形的面积为

，

，

分别变为点．

．

，

．设变换，对应的矩

，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．

，分别求得

．

．

23. 在极坐标系中，求以点【答案】

为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．

【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系的直角坐标，再根据

，得点

的直线的普通方程，从而可得点到直线的距离，即可求得所

求圆的普通方程，再化为极坐标方程.

试题解析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系则点的直角坐标为将直线：

． 的方程变形为：

，化为普通方程得

．

．

∴到直线：的距离为：．

∴所求圆的普通方程为24. 已知a，b，c为正实数，且【答案】证明见解析

【解析】试题分析：由，，，且不等式即可得证.

试题解析：证明：∵，，为正实数 ∴

，化为极坐标方程得，，求证：

．

．

，可得，再根据基本

（当且仅当取“=”）．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3

3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100

元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元． （1）求概率

；

．

（2）求的概率分布及数学期望

【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）从3

3表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再

将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.

试题解析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“

”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得

种情形．

奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含

∴．

（2）的所有可能值为300，400，500，600，700． 则

，

，

，

∴的概率分布列为：

．

X P ∴

300 400 500 600 700 （元）．

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；