所以f′（解得f′（故f（

）=﹣f′（）=）=f′（

﹣1

）?sin+cos

）cos+sin=（﹣1）+=1

故答案为1． 【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．

15．（5分）（2009?湖北）已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），

an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为 4，5，32 ．

【考点】数列递推式． 【专题】压轴题．

【分析】由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32． 【解答】解：∵数列{an}满足：a1=m（m为正整数），

an+1=

，

a6=1，

∴a5=2，a4=4，有①②两种情况： ①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；

②a3=8，a2=16，有③④两种情况： ③a1=5，即m=5； ④a1=32，即m=32． 故答案为：4，5，32． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（10分）（2009?湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题．

【分析】随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望． 【解答】解：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11

得到P（η=5）=P（η=7）=P（η=9）=P（η=11）=

； P（η=6）=

； P（η=8）=； P（η=10）=

∴η的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P ∴Eη=5×

+6×

+7×

+8×

+9×

+10×

+11×

=8

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目．

17．（12分）（2009?湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）． （1）求向量（2）设α=

的长度的最大值； ，且⊥（

），求cosβ的值．

【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】计算题．

【分析】（1）利用向量的运算法则求出

，利用向量模的平方等于向量的平方求出

的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．

（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值． 【解答】解：（1）|

2

2

=（cosβ﹣1，sinβ），则

2

|=（cosβ﹣1）+sinβ=2（1﹣cosβ）．

∵﹣1≤cosβ≤1， ∴0≤|

|≤4，即0≤|

2

|≤2．

当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2， 所以向量

的长度的最大值为2．

=（cosβ﹣1，sinβ），

（2）由（1）可得?（∵⊥（

）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα． ），

∴?（由α=即β﹣

）=0，即cos（α﹣β）=cosα． ，得cos（=2kπ±

﹣β）=cos

，

（k∈Z），

∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．

【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三

角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式． 18．（12分）（2009?湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2） （Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE （Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ?tanφ=1，求λ的值．

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

【专题】计算题；证明题． 【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．

（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．

再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ?tanφ=1，解方程即可． 解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．

（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．

（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ?tanφ=1求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD． ∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE （Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ， ∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．

又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ． 在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵

，DE=λa∴AE=a

从而DF=

在Rt△CDF中，tanθ=．

由tanθ?tanφ=1，得由0＜λ≤2，解得

即

，即为所求．

=2，所以λ=2．

2

（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0）， C（0，a，0），E（0，0，λa）， ∴∴

（Ⅱ）解法2： 由（I）得

．

设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由

，

，

，

，

，即AC⊥BE．

得即取，得．