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=?5(x2?4x?2310101040.所以当x=3时,S取得最大值,最大值为)=?(x2?6x?5)=?(x?3)2?333340.此时点E是抛物线的顶点(如图2).(3)如果平行四边形OEBF是正方形,那么点E在OB的垂35直平分线上,且EO=EB.当x=

22235555此时E(,?).如图3,设EF与OB交于点D,恰好OB=2DE.所y?(x?1)(x?5)???(?)??.

3322222以△OEB是等腰直角三角形.所以平行四边形OEBF是正方形.

所以当平行四边形OEBF是正方形时,E(,?)、F(,).

图1 图2 图3图4 图5

52525522考点伸展既然第(3)题正方形OEBF是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢?如图4,如果平行四边形OEBF为矩形,那

2?么∠OEB=90°.根据EH=HO·HB,列方程?或?(x?1)(x?5)?x(5?x).??3??者由DE=1OB=5,根据DE2=25,列方程

2242

2525?2?.这两个方程整理以后都是一元三次方程(x?)2???(x?1)(x?5)??24?3?24x3-28x2

+53x-20=0,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的.事实上,这个方程可以因式分解,(x?4)(x?5)(x?1)?0.如图3,x=5;如图4,x=4;如图5,x222=1,但此时点E在x轴上方了.这个方程我们也可以用待定系数法解:设方

2程的三个根是5、m、n,那么4x3-28x2+53x-20=4(x?5)(x?m)(x?n).根据恒

22?4m?4n?10?28,?m?4,?等式对应项的系数相等,得方程组?10m?10n?4mn?53,解得??1 n?.??10mn?20.?2?例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题

如图1,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)2+k经过A、B两点,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;

(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求点Q的坐标;

(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.图文解析(1)由y=-3x+3,得A(1, 0),B(0, 3).

将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y=a(x-2)+k,得?2

?a?k?0,解得a=1,k=-1.

?4a?k?3.(2)如图2,抛物线的对称轴为直线x=2,设点Q的坐标为(2, m).

已知A(1, 0)、B(0, 3),根据QA2=QB2,列方程12+m2=22+(m-3)2. 解得m=2.所以Q(2, 2).(3)点A(1, 0)关于直线x=2的对称点为C(3,

0),AC=2.

如图3,如果AC为正方形的边,那么点M、N都不在抛物线或对称轴上. 如图4,当AC为正方形的对角线时,M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,-1) .

因为对角线AC=2,所以正方形的边长为2.

图1 图2 图3

图4

考点伸展如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形,那么符合条件的点M有几个?

①如果AC为对角线,上面的正方形AMCN是符合条件的,M(2,-1).

②如图5,如果AC为边,那么MN//AC,MN=AC=2.所以点M的横坐标为4或0.

此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边,那么符合条件的点Q有几个?①如图2,当QA=QB时,Q(2, 2).②如图6,当BQ=BA=10时,以B为圆心,BA为半径的圆与直线x=2有两个交点. 根据BQ2=10,列方程22+(m-3)2=10,得m?3?6.此时Q(2,3?6)或(2,3?6).

③如图7,当AQ=AB时,以A为圆心,AB为半径的圆与直线x=2有两个交点,但是点(2,-3)与A、B三点共线,所以Q(2, 3).

图5 图6 图7

例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题

准备一张矩形纸片(如图1),按如图2操作:将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N.(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.

动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳25”,拖动点D可以改变矩形ABCD的形状,可以体验到,当EM与FN在同一条直线上时,四边形BFDE是菱形,此时矩形的直角被三等分.思路点拨1.平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形.2.如果平行四边形BFDE是菱形,那么对角线平分一组对角,或者对角线互相垂直.用这两个性质都可以解答第(2)题.图文解析(1)如图3,因为AB//DC,所以∠ABD=∠CDB.又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1=∠3.所以BE//FD.又因为ED//BF,所以四边形BFDE是平行四边形.

图1 图2图3 图4图5 图6

(2)如图4,如果四边形BFDE是菱形,那么∠1=∠5.所以∠1=∠2=∠5.

由于∠ABC=90°,所以∠1=∠2=∠5=30°.所以BD=2AB=4,AE=

232383.所以ME=.所以S菱形BFDE=2S△BDE=BD·ME=. 333考点伸展第(1)题的解法,我们用平行四边形的定义作为判定的依据,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.还可以这样思考:证明四边形BFDE的两组对边分别相等;

证明ED与BF平行且相等;证明四边形BFDE的两组对角分别相等. 这三种证法,都要证明三角形全等,而全等的前提,要证明∠1=∠2=∠3=∠4.

这样其实就走了弯路,因为由∠1=∠3,直接得到BE//FD,根据平行四边形的定义来得快.

能不能根据BD与EF互相平分来证明呢?也是可以的:

如图5,设EF与BD交于点O,根据“角角边”证明△EMO≌△FNO,得到EF与MN互相平分.又因为BM=DN,于是得到EF与BD互相平分.第(2)题的解法,我们用了菱形的性质:对角线平分每组对角,得到30°的角.我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题:如图6,如果四边形BFDE是菱形,那么对角线EF⊥BD,此时垂足M、N重合.因此BD=2DC.这样就得到了∠5=30°.事实上,当四边形BFDE是菱形时,矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形.由AB=2,得AD=23.矩形ABCD的面积为43.菱形面积占矩形面积的,所以菱形面积为2383. 3§1.5 因动点产生的面积问题

课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:

第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根. 第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确. 如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.如图2,图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.

图1 图2 图3图4 图5 图6

计算面积长用到的策略还有:如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.如图5,同底三角形的面积比等于高的比.如图6,同高三角形的面积比等于底的比.

例 32 湖南省常德市中考第25题

如图1,已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4,0)、B(2,?433),M是OA的中

点.

(1)求此二次函数的解析式;(2)设P是抛物线上的一点,过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求点P的坐标;(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于x轴的对称点),在原抛物线x轴的上方部分取一点C,连结CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D,若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

图文解析(1)因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4,0)两点,设y=ax(x-4).

代入点B(2,?433),得?433??4a.解得a?3.所以y?3x(x?4). 33(2)如图2,由A(4,0),M是OA的中点,可知OA=4,MA=2,M(2, 0).

如果四边形PQAM是菱形,已知PQ//OA,首先要满足PQ=2,再必须MP=2. 因为抛物线的对称轴是直线x=2,P、Q关于x=2对称,所以点P的横坐标为1,故点P的坐标为(1,?3).由M(2, 0)、P(1,?3),可得MP=2.所以当点

P的坐标为(1,?3)时,四边形PQAM是菱形.(3)如图3,作CE⊥x轴于E,作DF⊥x轴于F.

我们把面积进行两次转换:如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍,那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍.而△MCA与△MDA是同底三角形,所以高的比CE∶DF=3∶1,即yC∶yD=3∶1.因此ME∶MF=3∶1.设MF=m,那么ME=3m.

原抛物线的解析式为

y??3x(x?4). 3y?3x(x?4)3,所以翻折后的抛物线的解析式为

所以D(2?m,?33(2?m)(2?m?4)),C(2?3m,(2?3m)(2?3m?4)). 33根据yC∶yD=3∶1,列方程整理,得3m2=4.解得m??2所以点C的坐标为(2?23,?3?3(2?3m)(2?3m?4)?3??(2?m)(2?m?4)?. 3?3?33.所以2?3m?2?23.

83,或(2?23,83)(如图4). )(如图3)

33图1 图2 图3 图4 考点伸展第(1)题可以设抛物线的顶点式:由点O(0,0), A(4,0),B(2,?4的坐标,可知点B是抛物线的顶点.可设y?a(x?2)2?43333)

,代入点O(0,0),得a?3. 3例 33 2014年湖南省永州市中考第25题

如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1, 0),B(4, 0)