t＝5，PQ的最大值为35．综上所述，PQ的最大值为35．

§1．3 因动点产生的直角三角形问题

课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．

图1 图2 图3图

4

如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．

如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么

34?m?． m1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．

例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题

如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2

经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

图1 图2图3 图4

P在抛物线E1上运动，

可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′

动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点

有两个．

思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．

设抛物线E2的表达式为y＝ax，代入点B(2,2)，可得a＝

2

112．所以y＝x． 22（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：

①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)． ②如图4，以BB′为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD＝

1BB?＝2． 212c)． 2设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝?3．此时Q(3,3)．

（3）如图5，因为点P、P′分别在抛物线E1、E2上，设P(b, b2)，P′(c,

212cPMP?Nb因为O、P、P′三点在同一条直线上，所以，即??2．

OMONbc所以c＝2b．所以P′(2b, 2b2)．如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．

由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA′的距离PM ′＝b2－1． 由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得点P′到直线BB′的距离P′N′＝2b2－2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．

考点延伸第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方

法：

方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．

方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．

图5 图6图1 图2

例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题

如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体

验到，△BPQ有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上．

思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ．

2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQ＝NP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．．

2

图文解析（1）因为抛物线y＝x＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以

y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝2t．直角三角形BPQ存在两种情况：

①当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP．解方程2t＝2(4－t)，得t＝2（如图3）．

②当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ．解方程

4－t＝2t，得t＝4（如图4）．

3图3 图4

图5

（3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQ＝NP． 作QE⊥y轴于E，作NF⊥x轴于F，作QH⊥x轴于H，那么△MQE≌△NPF． 由已知条件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．将x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．

由QH//NF，得QH?PH，即tNFPF3?(3?t)?(t?1)．整理，得

2?(t?1)t2－9t＋12＝0．解

得t?9?332．因为t＜2，所以取t?9?332．

xP?xQ2?(t?1)?(3?t)?1．

2考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得xG?所以xN＝2xG＝2．§1．4 因动点产生的平行四边形问题

课前导学我们先思考三个问题：1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？

图1 图2 图3

图4

如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．

如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．

关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便．我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，

点C的坐标可以表示为(x, x－1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为

AB＝yA＝－x2＋2x＋3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 表示为AC＝yA－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2． 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．

例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题

如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C(0,10)三点．设点E(x, y)是抛

3物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大．当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形．思路点拨1．平行四边形OEBF的面积等于

△OEB面积的2倍．

2．第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO＝EB． 图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设y＝a(x－1)(x－5)．

代入点C(0,101022210得?5a．解得a?．所以抛物线的解析式为y?(x?1)(x?5)?x2?4x?．（2）)，333333因为S＝S平行四边形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)