大（小）于 不大（小）于 至多有一个 至少有两个 都大于 至少有一个不大于 都小于 至少有一个不小于 3.3 如何正确导出矛盾
反证法有一个明显常用的方法就是归谬，归谬不仅仅是反证法中的一个重点，也是一个难点。在刚刚接触反证法的时候，做出反设的时候，证明过程中要找到矛盾点时，我们会感觉到不是很容易，有时候可能都不懂矛盾点在哪里。
反证法的核心就是从证明结果的反面出发，运用争取的理论方法求得矛盾的结果，因此如何导出矛盾的结果就是反证法的关键所在。若是要顺利的找到结论和反设之间的矛盾，证明结论的正确性，首先要进行题目中逻辑关系的分析，弄清关系，这样就可以进行相关的证明。
在进行反证法证明过程中有两个方面值得关注：
第一点：导出矛盾，首先进行假设，从假设开始着手怎么去证明。 第二点：证明过程一定要严谨，要有条理有依据的证明。 从整体方面来说，归谬的情况可能会出现下面几个类型； 1) 推导出与命题已知条件相矛盾的结果。 2) 推导出与已经证明过的定理相矛盾的结果。 3) 推导出与公理相矛盾的结果。
4) 推导出与已知定义相矛盾的结果。 5) 推导出与假设相矛盾的结果。
4 反证法的应用
反证法在中学数学中的应用是比较常见，有些命题是适用于反证法的，只要掌握了它的特点，对于我们运用反证法是很好的帮助，根据命题的特点分类有以下几种适用于反证法的命题： 4.1 唯一性命题
当命题的结论需要证明“唯一性”，“存在性”时，适用于反证法。 例3已知a,b是两条相交直线，求证a,b只有一个交点错误！未找到引用源。。
证明：假设直线a和b不只有一个交点，那么就是直线a和b至少有两个交点。设这两个交点为A,B两点，所以直线a通过A,B两点，直线b也通过A,B两点。从这我们可以得到，经过A,B两点会有两条直线a和b。这个结论和公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾。所以假设不成立，则a,b只有一个交点。
例4 求证：方程5x?12的解是唯一的错误！未找到引用源。。
证明：由对数的定义可以得到x1?log512是这个方程的一个解。假设这个方
5x212。程的解不是唯一的，它还有解x?x2(x1?x2)，则5?因为5?12，则x1?1,
5x2?x1x2?x1?1 ①。由假设得x2?x1?0,即当x2?x1?0的时候，有：5?1 ②。 即5x2x1当x2?x1?0的时候，有5x2?x1?1 ③。很明显②③与①都矛盾，这说明假设不成立，所以原方程的解是唯一的。 4.2 否定性命题
这种命题常出现以“不是??”，“不能??”，“没有??”这些否定性词语，如果从正面考虑的话，就不容易进行证明，没有思路，这时就需要考虑反证法了。
例5 求证：不存在7条棱的多面体错误！未找到引用源。。
证明：假设存在7条棱的多面体。那么，组成这个多面体的每个面只能是三角形。如果有四边形或者边数更多的多边形，除过这些边最多只有3条棱，根本不可能与4个以上的顶点相连接。设每个面都是三角形的多面体有n个面（n为
3n14?7，整数），由于每条棱都是两个面的边，所以即n?，与n是整数相矛盾。23即证明不存在7条棱的多面体。
111例6如果a,b,c是不全相等的实数，且a,b,c成等差数列，求证：,,不
abc[14]
成等差数列。
111211a?c证明：假设,,能成等差数列，则可以得出???，因为a,b,cabcbacac2a?c2b?成等差数列，即2b?a?c①，那么?，即b2?ac②，由①②可以得
bacac出a?b?c，与已知条件a,b,c是不全相等的实数相矛盾。即假设错误，故原命题正确。
4.3 “至多”“至少”型命题
命题结论中有“至多”、“至少”的词语时，可以考虑用反证法。
例7求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60?。
证明：假设三角形的三个内角都大于60?，则三角形的内角和大于?60??60?6?0，即三角形的内角和大于180?，与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60?。
1?x1?y?2中至少有一个成?2或例8若x,y是正整数，且x?y?2，求证
xy立[12]。
1?x1?y?2同时成立。?2与证明：假设又因为x,y都大于0，所以1+x?2y xy① ， 1+y?2x②,将①②两式相加得到x+y?2，这与已知条件x+y>2相矛盾，
1?x1?y?2中至少有一个成立。 ?2或因此假设不成立。所以
xy4.4 必然性命题
命题结论出现“总是”、“都”、“全是”等词语。
例9求证：任意凸多边形不可能有四个内角都是锐角错误！未找到引用源。[3]。
证明：假设存在一个凸多边形，其有四个内角小于90?，即这四个内角所对应的外角分别大于90?，则其外角和大于360?.，这与任意凸多边形的外角和为
360?相矛盾。假设不成立，故任意凸多边形不可能有四个角都是锐角。
x2例10已知函数f(x)?，如果数列?an?满足a1?4,an?1?f(an)，求证：
2x?2当n?2时，恒有an?3成立。
an2证明：假设an?3(n?2)，则由已知可以得出an?1?f(an)?，所以当
2an?2aan11113n?2时，n?1?，又易证?(1?)?(1?)??1,?(an??1?31)an2an?22an?1224即当n?2时，an?an?1???a2；而当n?2时，an?0,所以当n?2时，an?1?an，
a12168a2????3，可以得出当n?2，an?3。与假设矛盾，所以假设不
2a1?28?23成立，原命题成立。 4.5 起始性命题
命题中已知的条件或者能够应用的定理，公式较少，直接证明比较困难，用反证法比较容易证明。
2?[13]
例11 用周期定义证明f(x)?sin(???)(??0)的最小正周期是。
?2?2?证明：因为f(x)?sin(???)?sin(?x???2?)?sin[?(x?)??]?f(x?)，
??2?2?对一切x?R成立，所以是f(x)的周期。要证明是f(x)的最小正周期。设
??2?2?是f(x)的最小正周期。即还有0?T?，对一切x?R有f(x?T)?f(x)成??立，那么sin(?(x?T)??)?sin(?x??)，即sin(（1），?x????T)?sin(?x??)?取?x???0，则sin?T?0。因为0??T?2?，所以?T??,T?，于是（1）
??式成为sin(?x????)?sin(?x??)，取?x???，则上式成为?1?1，矛盾。
22?因此是最小正周期。
?例12在同一平面设有四条直线a,b,c,d。若a与b相交,c?a,d?b，则c与d也相交。
证明:假设c??d。因为a?c,所以a?d。又因为b?d，所以a??b。这与已知条件a与b相交矛盾。假设不成立，故c与d也相交。 4.6 无限性命题
命题结论中包含各种“无限”的命题。 例13 求证：素数有无数个。 证明：假设素数是有限的，设最大的一个素数为p，作q?2(3?5??)?1p?，q表示的是被这2、3、?p中任意一个整除都会余1的数，即q只有1和q两个约数，所以q是个素数而且是比p大的数，但这与最大的一个素数是p相矛盾。即假设不成立，所以素数有无数个。
例14 求证：2是无理数。 分析：看到题目会给人一种没有办法证明的感觉，毫无思路可言。而且无理数从小数的角度分析是属于无限不循环的，这样就更加没有思路了。如果用反证法进行分析，把这个无理数假设成为一个有理数，那么就会简单许多。
a且a,b互质，证明：假设2是有理数，则存在a,b?N.使2??a2?2b2b从而a为偶数，记作 a?2c→a2?4c2→2c2?b2，则b也是偶数。即得出a,b都是偶数，与a，b互质相矛盾，假设不成立，所以证明2是无理数。 4.7 不等式证明命题
命题结论中有“不等式”的命题，可以考虑用反证法。
例15已知a?b?0，m是大于等于2的整数，求证ma?mb。 证明：假设ma?mb。因为a?b?0，所以ma?0,ma?0，则(ma)m?(m)bm，
即a?b。与已知条件a?b?0相矛盾，所以假设不成立，故ma?mb成立。 例16 在?ABC中，?C??B,求证：AB?AC[16]。 分析：这个题也可以考虑用反证法进行证明，首先对AB?AC的结论进行反设，所以就需要证明AB?AC或AB?AC这两种结论不成立，就自然证明了原命题的结论是正确的。
证明：假设AB?AC，所以有以下两种情况：
（1） 当AB?AC，那么?ABC为等腰三角形，所以?C??B,与已知条件?C??B相矛盾。
（2） 当AB?AC,在AB的延长线上取一点记为D点，
让AD?AC,连结DC。因为AD?AC，所以?ADC为等腰三角形，所以?D??ACD，又因为?ABC为?BDC的一个外角，所以
?ABC??D??ACD。而?ACD??ACB??C,所以?ABC??C即?B??C,与已知条件?C??B相矛盾。
综上所述，假设不成立，即原命题成立。
5 反证法的教学价值及建议
反证法在中学数学里有广泛的应用，根据我自己在高中实习的经验，对于学生的学习能力和对知识的认识有一定的了解，对反证法的教学价值与建议，提出自己的一点看法。关于反证法，要早点向学生灌输这种思想，让学生自己慢慢的去认识反证法,只要学生能够明白、认可其中的原理即可。 5.1 反证法的教学价值
5.1.1 培养思维严密性
反证法在证明的过程中思维要十分的严密，思考周到。反证法和直接证法之间也有十分密切的联系,它们之间也相互作用。总体看来我们运用的是反证法，但是从部分看,在假设之后的推理过程中运用会运用直接证法。有时候在基本直接证法的推理中,又会运用一段反证法,用来确定某些所需的条件,假设的时候,一定要明白原题结论的反面是什么，详细的写出与原题结论相反的所有不同情况，