1 引言

有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两张纸条上，让这个大臣自己选择其中一张纸条，是生便生，是死便死。但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一张纸条上面写的都是死字。这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前告发奸臣的诡计。但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很高兴的告诉好友：“不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，那么监斩官就不得不看剩下的那张纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，那么我不就得

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救了”。通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了“生相对于死”的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。

哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论：“反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否定，拱手相让，最终却取得了胜利错误！未找到引用源。。

这些体现了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。

2 反证法的介绍

2.1 反证法的概念

要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。那么先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法[3]。 2.2 反证法的证明步骤

大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步： （1）反设——假设命题的结论的反面是成立的。

（2）归谬——通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。 （3）结论——说明要证明命题的结论的反面是不能成立的，那就证明了命题的结论是成立的。 2.3 反证法的逻辑依据

在逻辑思想学中有两个规律一个是“矛盾律”另一个就是“排中律”，这两个规律为反证法提供了思想理论依据[4]。

“矛盾律”就是在同样的一个思维方式情况下，两个相反的或者是有矛盾点的定义或者结论之间都是真的情况是不可能的，至少有一个是假的[5]；“排中律”就是结论与相反的结论，在这两个结论之间是不能够出现都是假的情况的，必定有一个是真的[6]。

运用反证法的时候，根据矛盾律在两个相反的结论当中，一定不能够出现这

两个结论都是真的情况，在原来已经知道或者已经证明推导出的真的结论的基础上，那么假设的结论，也就是相反的结论，就必定是假的[7]。依照排中律中的规律，得出其中的这两个结论都是假的情况也是不可能出现的，那么结论真假的情况就一定是一个真一个假，通过最终证明，最后的假设一定是假的，那么就可以推导出原有的结论就一定不能假，必定是真。所以，有了逻辑思维的理论基础作为反证法的依据，反证法就是可信的。

反证法就是通过矛盾律证明与命题相矛盾的命题是假的，即根据排中律确定命题是真的证明方法，是一种间接证明方法。 其证明过程如下： 要证明命题p。

第一步：假设反命题非p。

第二步：证明“非p”虚假（依据矛盾律）。 第三步：所以命题p为真（依据排中律）。 2.4 反证法的分类

目前根据我所了解到关于反证法的分类，主要是按照了反设方面出现的不同类型可以分为两类，一类就是归谬反证法，另一类就是穷举反证法[8]。 2.4.1 归谬反证法

如果结论的反面只有一种类型，则反设就只有一种，那么要做的就是证明这个反设是错误的，从而可以证明出结论正确。这个证明方法就是反证法分类的第

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一类归谬反证法。

例1 已知n是整数，同时n2为偶数，求证；n是偶数。

分析：如果想要直接就用什么方法进行证明，可能没有任何想法，虽然题中给的条件很简单，很明了，我们也能够很清楚的读明白题意，但是正面解题没有什么关键点，这时候就需要换个角度对此题进行证明，如果我们从反面进行思考，在题中给的条件中进行反面分析，偶数相对的就只有奇数这一种情况，这样就有了比较清晰的思路，这道题反面分析，就是可以证明在n是奇数的情况下，而n2不是偶数，这样达到了证明的目的。

证明：假设n是一个奇数。那么n?1和n?1也就是偶数，就可以得出(n?1)(n?1)?n2?1结果也是一个偶数，最后得出n2是一个奇数，结论和题目中n2是偶数产生了矛盾点。假设不成立，即n是偶数。 2.4.2 穷举反证法

若是出现了结论的反面不只是一种，那么就要把反面的类型一一列举出来，分情况去证明它们都是错误的，这样就可以达到证明原来结论是正确的，这个证明方法就是反证法分类的第二类穷举反证法[8]。

穷举法就是要把可能的情况都列举出来，带入实际，一个个的去检验是否符合。计算机经常采用种穷举法进行工作，由于计算机的高速运转，工作过程耗时很短，所以得到结论的时间就很短，想要知道结论是真是假，就不用耗费那么长时间。穷举法能够看成是一个最简单的搜索：就是在一个集合中包含了所有的可能的状况元素，对这些元素都一一进行的排查，目的是查看其元素的可行性是不是存在[13]。

例2 设a,b都是整数，且a2?b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除错误！

未找到引用源。

。

分析：从题中可以看出结论是a和b都能被3整除，那么需要假设出它的反

面，a和b不都能被3整除，那就不只是一种情况，而分多种情况，就需要把它的反面都列举出来，分情况去证明。

证明：假设a和b不都能被3整除，那么a,b有三种情形： （1）3|a,3?（2）3?（3）3?|b；|a,3|b；|a,3?|b。 （1）如果3|a,3?|b。可设a?3a1,b?3b1?1(a1,b1?Z)，则

a2?b2?9a12?(3b1?1)2?3(3a12?3b12?2b1)?1

所以3?|(a2?b2)，与已知条件a2?b2能被3整除相矛盾。 （2）如果3?|a,3|b。同理可证这个假设也是错误的。 （3）如果3?|a,3?|b。则可设a?3a1?1,b?3b1?1(a1,b1?Z),这样又有四种可能的情形：

①a?3a1?1,b?3b1?1；

②a?3a1?1,b?3b1?1； ③a?3a1?1,b?3b1?1； ④a?3a1?1,b?3b1?1。

对于情形①，有a2?b2?(3a1?1)2?(3b1?1)2?3(3a12?2a1?3b12?2b1)?2 这就表明，3?|(a2?b2)与已知条件相矛盾。 同理可证，②③④三种情形也是不能成立的。

综上所述，假设a和b不都能被3整除是不成立的，由此原题得证。

3 反证法的推理方法

3.1 为什么使用反证法

证明题如果从正向思考证明可以得出结论，我们就不用反向考虑，但正向思维比较难以得出结论时，我们就需要考虑用反证法去证明，会比较容易得出所需的结论。

我们可以发现，反证法在数学证明题里运用是比较常见的，数学老师曾经教过我们解答证明题时从正向思考比较困难的时候，可以反向思考，因为正难则反，字面上理解就是正着想的时候，无从下手的情况下，就要反着思考，使用反证法进行证明，首先想要证明结论为真，就要先进行假设，得到矛盾结论，这样就能够对原本结论进行真假的证明。反证法的本质就是根据假推导出真，那么反命题和原命题的关系就必然相反，成对立关系，判断其中一个真假那么另一个命题的真假自然就出现了。

使用反证法解题可以证明出从正向思考较难的命题，在反证法证明前都假设“若??成立，则??”，无形中给我们增加了一个条件，只要导出矛盾所在即可。并且使用反证法可以使复杂的题目很快变的容易起来，做题思路也就会更加清晰。在现代数学中，反证法已经成为要解决的问题的最常见和有效的方法之一。反证法不仅能反够反应出证明的智慧，也体现了数学的神奇之处。当我们在应用反证法的时候熟练掌握做题的要领，认真思考证明过程，会使难解决的问题变的非常简单，也对学习数学增加了信心。 3.2 如何正确的做出反设

若证明题从正面思考比较难以证明结论，我们则反其道去证明。如何能正确是做出反设，也是反证法里面重要的步骤，运用反证法证明命题的第一步就是首

先要进行假设，在原有的命题的基础上，对命题的结论进行否定，然后从这个结论的否定开始进行证明，证明其命题为假，但是首先要假设其成立才能进行后续的证明。这个步骤十分关键，重点在于要正确的做出反设，只有这样后续的证明才能进行下去，最后的结论才能够保证是正确的，如果一开始的反设就是错误的，那么后面进行的推理证明就会因为开始的错误而错，对证明命题没有一点作用。

如果想要正确的做出反设，就一定要注意下面几个方面： （1） 将题目中的已知和结论理解透彻，将结论与相反假设之间的关系弄明

白。

（2） 如果结论的反面不是一种类型，而是有很多种类型，那么将这些类型

都要考虑全面，一个个分类去进行证明，不能遗漏一点问题。

总的来说，在将要对命题的结论做出否定之前，首要的任务就是理解结论，在结论的对立结论只有一种类型的时候，只需要假设这一种类型成立就行，很容易进行证明了。如果原本的结论的假设不只是一种类型，这种情况下，如果没有考虑到还有其它的情况，没有否定完全。想要进行证明就很难了。这时候认真理解题目，分析结论就十分关键，然后才能正确的做出反设。有以下几种常见的类型：

例如：第一，至少类型 结论：至少有一个??

错误假设：至少有两个或两个以上?? 正确假设：没有一个?? 第二，全部类型

结论：全部??都是??。 错误假设：全部的??都不是??。 正确假设：存在一个??不是?? 第三，最多类型 结论：最多有一个?? 错误假设：最少有一个?? 正确假设：至少有两个?? 还有某些常用词的否定形式：

原结论词 是 都是 假设词 不是 不都是 原结论词 存在 至少有 n 个 假设词 不存在 至多有n－1个