碎纸片的拼接复原

摘 要

本文利用Manhattan距离，聚类分析，图像处理等方法解决了碎纸片的拼接复原问题。由于碎纸机产生的碎纸片是边缘规则且等大的矩形，此时碎纸片拼接方法就不能利用碎片边缘的尖角特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字位置搜索与之匹配的相邻碎纸片。拼接碎片前利用数学软件MATLAB软件对碎片图像进行数据化处理，得到对应的像素矩阵，后设置阈值对像素矩阵进行二值化处理，得到相应的0-1矩阵。

下面分别对三个问题的解决方法和算法实现做简单的阐述：

问题一，分别对附件1和附件2的碎片数据进行处理得到相应的0-1矩阵，依次计算某个0-1矩阵最右边一列组成向量与其他所有0-1矩阵的最左边向量的Manhattan距离，可以得到某个最小距离值、说明最小距离值对应的碎片是可与基准碎片拼接的，最终得到碎片拼接完整的图像。

问题二，同样对于附件3和附件4中的碎片数据进行处理得到相应的数值矩阵，并计算得到每个碎片顶部空白高度和文字高度，即指每行像素点都为255的行数、一行中存在像素点为非255的行数，根据空白高度和文字高度对碎片进行聚类分类，聚类阀值取3像素，得到11组像素矩阵，进而得到11类可能在同一行的碎片类。其中对附件4中的英文的处理中，我们还采用水平像素投影累积的方法，进一步分类出可能在同一行的碎片类。用问题一的方法，计算Manhattan距离可以对每一类碎片按次序排列好，得到11行已经排列好的碎片，再应用曼哈顿距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。

问题三，首先，对于附件5中的碎片数据我们采用正反相接，本文将b面最左边的一列像素拼接到a面最右边的一列像素的下面，构成360×1的向量，再把其他的碎片采用相同的办法得到360×1的向量，再用问题一的方法，计算出各碎片之间的Manhattan距离。其次，根据每个碎片顶部的空白高度或者文字高度对碎片进行区间分类，得到22组矩阵，然后应用曼哈顿距离将得到的22组矩阵聚成两类，每类各包含两面的11组矩阵，最后利用Manhattan距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。

本文最后，我们根据算法的效率实现进行了改进和优化，实现算法的移植性、灵活性、运行效率等得以提升。

关键词：曼哈顿距离，聚类分析，二值化处理

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一、问题重述

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题：

1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达。

2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。

3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。

二、问题分析

我们从附件中的碎片数据可知由于碎纸机产生的碎纸片边缘是规则的，此时碎纸片计算机拼接方法就不能利用碎片边缘的尖点特征、尖角特征、面积特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字内容是否匹配搜索与之匹配的相邻碎纸片并进行拼接。首先，我们对碎片内图像进行数据化处理，得到对应的像素值矩阵；然后，我们设置阈值对像素值矩阵进行二值化处理得到相应的数值矩阵；最后，由于曼哈顿距离公式计算快、数值小，数值矩阵与数值矩阵之间应用最小曼哈顿距离对碎纸片进行拼接复原。

问题一中碎纸机破碎纸片只有纵切，每页纸被切为19条碎片，经过处理可以得到19个数值矩阵。对于每个数值矩阵，我们依次取出最左边一列从上至下各格的值组成一个向量，同样我们依次取出最右边一列从上至下各格的值组成一

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个向量。计算出每一数值矩阵的左边向量与所有非同源数值矩阵的右边向量的曼哈顿距离，再将得到的距离值进行排序，当某个距离值最小时、说明相应的左边向量与右边向量的匹配率最大，则该距离对应的左、右边认为是可拼接的。若得到的最小距离值不止一个，则此时需要进行人工干预。

问题二是对碎纸机既纵切又横切的情形进行讨论，比问题一多了横切条件，此时每页纸被切为209个碎片。首先，我们利用文件最左边碎片与最上面碎片的特殊性对这209个碎片进行聚类，得到两类特殊的碎片，分别是文件最左边一列碎片和最上面一行碎片，然后类似于问题一的处理方法，应用最小曼哈顿距离对每一类碎片按正确顺序拼接，此后对其余碎片再应用最小曼哈顿距离逐一进行拼接，直至剩余所有的碎片都拼接上。

问题三中，题目要求考虑双面打印文件的碎纸拼接复原问题的解决方案，此时每页纸虽然也是被切为209个碎片，但每个碎片却有正反两面，因此经过处理得到418个数值矩阵，，此时我们分别对每一面各自进行类似问题一的处理，然后综合每一面的聚类情况再应用最小曼哈顿距离对双面碎纸片进行拼接复原。

三、模型假设

1. 假设碎纸机破碎纸片（纵切或横切）得到的碎纸片是规则且边缘是整齐的等大的矩形；

2.假设我们对文档碎纸片拼接复原不考虑碎片边缘的尖点特征、尖角特征、面积特征等基于边界几何特征；

3.假设附件中给出的所有中、英文文件中的文字排版是按标准格式排版的。 4.假设附件中给出的所有中、英文字符都是统一格式，且内容为普通文章。

四、符号说明

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序号 1 2 3 4 5 符号 符号说明 数值矩阵 数值矩阵Ai的最左边列向量 数值矩阵Ai的最右边列向量 Ai Xi Yi d(Xi,Yj) 曼哈顿距离 ? 隶属函数中的阀值 五、模型建立与求解

5.1 问题一（曼哈顿距离）

? 模型一的建立

题目要求对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切）建立碎纸片拼接复原模型和算法，并且要对中、英文各一页文件的碎片数据分别进行拼接复原。首先，我们利用数学软件MATLAB软件将19条碎片数据化，得到19个像素值矩阵，像素值的变化范围是从0变化到255，此时我们设置??127为阈值对像素值矩阵进行二值化处理，当矩阵某位置像素值小于等于应位置的数值设为0；当矩阵某位置像素值大于127。这样我们就得到19个二值化了的数值矩阵

?时，则将对

?时，则将对应位置的数值设为

Ai，对于每个数值矩阵Ai，我

Xi，同样的我们

们依次取出最左边一列从上至下各格的值组成一个向量，记为

依次取出最右边一列从上至下各格的值组成一个向量，记为Yi。计算出每一数值矩阵的左边向量与所有非同源数值矩阵的右边向量的曼哈顿距离

? 模型一的求解

TX?(x,x,...,x)ii1i2ik对于得到的向量

d(Xi,Yj)。

(k?1,2,...,m)和向量

Yi?(yi1,yi2,...,yik)T(k?1,2,...,n)，两向量的曼哈顿距离为

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