辅导讲义

学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型 T 平行四边形的概念、性质 T 平行四边形的判定 C中位线定理 授课日 期时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1：平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角． ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 知识点2：平行四边形的性质： （1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补 （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分 对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； 二、同步题型分析 题型1：平行四边形的边、角 例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数． 分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长． 解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得 ∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补， ∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°． ∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm， ∴CD＝13 am．AD＝10 cm． 题后反思：注意充分利用性质解题． 例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由． 分析：本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等． 解：AE＝CF． 理由：在平行四边形ABCD中， ∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF． ∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF： ∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF 题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等． 题型2：平行四边形的周长 例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ） 图3 A. 6 B. 12 C. 18 D. 不确定 分析：本题主要考查平行四边形的性质:对角线互相平分。再由OE⊥BD，根据垂直平分线的性质得DE=BE,△BCE的周长=BE+BC+EC=CD+BC=6，平行四边形ABCD的周长就为12. 例2：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB的周长为15，则CD＝______． 解：因为：三角形ABO的周长为15，AB=6， 所以：AO+BO=15--6=9， 因为：四边形ABCD是平行四边形， 所以：AC=2AO，BD=2BO， 所以：AC+BD=2AO+2BO =2（AO+BO） =2×9 =18 题型3：平行四边形的面积 例1：如图4，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD的面积． 图4 分析：要求四边形ABCD的面积，就要找到其与?OBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特殊四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用“等底等高的两三角形面积相等”，问题得解． 解：因为AB∥CD，且OB＝OD，据“等底等高的两三角形面积相等”可得：四边形ABCD为平行四边形．利用平行四边形的性质，可得四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝4． 题后反思：“等底等高的两三角形面积相等”在平行四边形中也有很多不经意的好用处． 例2：在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( ) A．2 B．35 C． D．15 53 图5 分析：可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解． 解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y． 则S=5a?3x=3b?5y．即ax=by= △AA4D2与△B2CC4全等，B2C= s 1514BC=b，B2C边上的高是?5y=4y． 352s则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by= ． 15s同理△D2C4D与△A4BB2的面积是． 15 解得S= 5． 3故选C． 题后反思：考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键． 例3：已知：如图6，在?ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△AEF的面积为2cm2，求?ABCD的面积． 图6 解：由△AEF的面积为2，先以AB为底看，设Q为BF中点，则△FQE的面积=△AEF的面积（底相等，高也相等），同理，△QBE的面积=△AEF的面积=2，则△AEB的面积为6；再以AC为底看△ABC，EC=AE= 1AC，32AC，则△EBC的面积=△ABE的面积的一半=3，则△ABC的面积=9,平行四边形ABCD的面积=18 3三、课堂达标检测 1. 如图，?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______． 2. 如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．