（5）面积变化

①要点：把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原的几分之一（

后与放大（或缩小）前图形的面积比是n21（或1n2）。

②例题：下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算

大长方形与小长方形面积的比是几比几。

量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5 2.5 = 3 1，宽的比是3 1。

1）后，放大（或缩小）n大长方形的面积7.5?337.5 = = × = 9 1 = 32 1

小长方形的面积2.5?112.5大长方形与小长方形面积的比是9 1。 3、成正比例和成反比例的量 （1）正比例的意义和图像

①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比

的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子表示：

y = （一定）用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能x根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。

②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格1

数量/本 总价/元 4 12 24 32 40 80 …… 1 3 6 8 10 20 …… 41224 = 4， = 4， = 4 …… 136因为

总价 = 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。 数量

5

例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例。

例题：某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？

造纸时间/时 造纸吨数/吨 1 1.5 2 3 4 …… …… 根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起。 吨

数/吨

6 5 4 3 2

1 0

1 2 3 4 5 6 7 时间/时

造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为

造纸吨数 = 每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正

造纸时间比例。

根据图像判断，5小时造纸多少吨？ 根据图像判断，5小时造纸7.5吨 （2）反比例的意义

①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘

积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子表示：ｘｙ = （一定）。

②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？用60元钱购买笔

记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：

单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

6

数量/本 40 30 20 15 12 10 …… 1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ……

因为单价 × 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。

例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例。 （二）空间与图形 1、圆柱和圆锥 （1）圆柱和圆锥的特征

底面 圆柱 两个底面完全相同，都是圆形。 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 两个底面之间的距离，有无数条。 圆锥 一个底面，是圆形。 曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。 侧面 高 （2）圆柱的表面积和体积

①要点：圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高

圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2

圆柱所占空间的大小是圆柱的体积，圆柱的体积（容积） = 底面积 × 高，用含有字母的式子表示是：V = sh 或者V = лr2h 。

②例题：用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是3分米，高是15分米，制作这个烟囱至少需

要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米）

侧面积：3.14 × 3 × 15 = 141.3（平方分米）≈ 142（平方分米）

例题：一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部 抹上水泥。

如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

底面积：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（米） 3.14 × 4 2 = 50.24（平方米） 侧面积：25.12 × 4 = 100.48（平方米） 表面积：50.24 + 100.48 = 150.72（平方米） 水泥质量： 150.72 × 20 = 3014.4千克

例题：在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？

7

3.14 ×（0.8÷2）2 × 2 × 60 = 60.288（立方米）

（3）圆锥的体积

①要点：圆锥所占空间的大小是圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。即

V =

11sh 或者V = лr2h 。 33②例题：一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是( )

例题：把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是( )立方

米

例题：一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨？

1×3.14 ×2 2×1.5×1.8 = 11.304（吨） 32、图形的放大或缩小

①要点：把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 ②例题：一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 3的比缩小后，新图片的长是（ ）厘

米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。

一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 3的比缩小后，新图片的长是（ 4 ）厘米，宽是（ 3 ）厘米，这张图片（ 形状 ）不变，大小（ 变了 ）。

例题：一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为30厘米。 一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（3 1 ）的比放大后，边长变为30厘米。

例题：按2 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 3的比画出长方形缩小后的图形。

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