2 傅里叶级数的严密化
随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但严格地讲并不是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.
2.1 狄利克雷条件
狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中给定并证明了：当f?x?满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：
（1）f?x?是单值有界的；
（2）f?x?是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点； （3）f?x?是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.
今天的教科书中，条件（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数函数都满足狄利克雷条件.条件（2）和（3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.
狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.
2.2 黎曼引理
黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文《用三角级数表示函数》中证明了：如果f?x?在周期???,??上有界可积，则有
|k|??limak?0,limbk?0,
|k|??其中， ak?1???f?x?coskxdx,
??5
bk?1???f?x?sinkxdx
??这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称为黎曼—勒贝格引理.黎曼同时还证明了f?x?在一点的收敛特性只依赖于f?x?在该点邻域中的特性.
黎曼—勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：满足科普希茨条件的函数f?x?其傅里叶级数收敛.对该定理的证明就采取了黎曼—勒贝格引理.
2.3 吉布斯现象与一致收敛
1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：有界变差函数f?x?的傅里叶级数收敛于
f?x?0??f?x?0?.
21898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.
记f?x?的傅里叶级数的部分和为SN?x?，级数在x0收敛的定义为：
N??limSN?x??f?x?；
x??级数在周期T上的一致收敛的定义为：limmaxf?x??SN?x?.关于函数f?x?的傅
x?T??里叶级数一致收敛的一个充分条件是：f?x?在一个周期上满足一致科普希茨条件.
2.4 连续傅里叶级数的收敛性
在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.
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1904年费耶证明了可采用算术平方方法由任何连续周期函数的傅里叶级数（即使该级数发散）重构该函数，即任何连续周期函数f?x?的傅里叶级数在算术平方和的意义下总是收敛于该函数.记f?x?得傅里叶级数的部分和为SN?x?，上述结论用公式表示lim?N?x??f?x?总是成立.
N??其中， ?N?x??1[S0?x??S1?x??????SN?1?X?] . N雷蒙德指出连续函数的傅里叶级数在某些点发散，而费耶则证明了级数在算术平方和意义下总是收敛于该函数.关于连续函数的傅里叶级数的收敛问题似乎解决了.然而1926年柯尔莫果洛夫证明存在勒贝格可积的周期函数，它的傅里叶级数处处发散.1966年，卡亨和卡茨纳尔松指出在任意给定的零侧集上，存在连续周期函数的傅里叶级数在该集合上所有点都发散.关于连续周期函数的傅里叶级数的收敛性似乎又不乐观了.
然而在同一年卡尔松发表文章指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛.这是一个人们预料之外的好结果，因为连续周期函数在一个周期内是平方可积的.综合卡尔松和卡茨纳尔的结果，即连续周期函数的傅里叶级数只在零侧集上发散，亦即几乎处处收敛.至此关于连续函数傅里叶级数的收敛性问题就完全清楚了.
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3 傅里叶级数的应用
傅里叶级数从产生到现在虽然只有短短的一百多年的时间，但是它的应用却是非常的广泛.他被广泛地应用在物理学、计算机、图案设计和预测模型等很多方面.下面就在图案设计和事件预测方面的应用做简单介绍.
3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用
艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来，艺术家在进行艺术的创作中，利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古希腊雕塑家们黄金分割用在他们的许多作品的比例中.伟大的达芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何，取得了非凡的成就.今天，数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上，有许多艺术家正在进行与数学思想——多维空间和计算机在现技术的数学思想有关的艺术探索.
数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由想象和创造”.因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性，在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以，数学不仅有利于发展人们的逻辑思维，而且有利于人们的创造活动中对审美、直觉的发展.
近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来，形成了一门崭新的边缘学科——数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美术价值被曼德布鲁尔斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，可以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，在自动拓展设计出复杂的图案，广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂设计的绘制过程和难以得到的视觉效果，在电脑中变得轻而易举.
现在绘制傅里叶级数的图形，以f?x??x为例，具体步骤如下：
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