2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案
点所在坐标轴的位置．
[过关训练]
x22
1．(2019·唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足
4∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为( )
A．1 C．2
B.5 2
D.5
解析：选A 不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m1
－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.
2
2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
x2y2
A.－＝1(x＞2) 421x2y2
C.－＝1 214
y2x2
B.－＝1(y＞2) 421y2x2
D.－＝1 42
解析：选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F. |AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
x2
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－
4y2
＝1(x＞2)． 21
考点三 双曲线的几何性质[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
x2y2
[例1] (1)已知点F是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶
ab点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) C．(2,1＋2)
B．(1,2) D．(1,1＋2)
x2y2
(2)设双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与
ab
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双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A．5 5C. 3
B.5 5D. 4
b2
[解析] (1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝a，|FE|＝ab2
＋c，则a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝c
＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
a
[答案] (1)B (2)A
考法(二) 求双曲线的渐近线
x2y2x2y2
[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C：2－2＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝
mn25161的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0 [解析] 由题意知，椭圆中∴双曲线的离心率为 4x±3y＝0.故选A.
[答案] A
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a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率
e＝
b23
1－2＝， a5
|FF2|2－|PF2|2
n25n4n41＋2＝，∴m＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即
mm333
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考法(三) 求双曲线的方程
x2y2
[例3] 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)
ab两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
x2y2
A.－＝1 44x2y2
C.－＝1 48
x2y2
B.－＝1 88x2y2
D.－＝1 84
[解析] 由离心率为2，可知a＝b，c＝2a， 所以F(－2a,0)，
4
由题意知kPF＝＝＝1，
2a0－?－2a?所以2a＝4，解得a＝22， x2y2
所以双曲线的方程为－＝1.
88[答案] B
[规律探求]
考法(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量ca，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝a转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)； 看个考法(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率c2－1＝±e2－1； a24－0
c2－a2b＝± 性 与离心率的关系：k＝±a＝±a考法(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程 找共性 求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是： - 11 - / 13
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[过关训练]
x2y2
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
abA．y＝±2x 2
C．y＝±x
2c
解析：选A ∵e＝a＝
a2＋b2
＝3， a
B．y＝±3x 3
D．y＝±x
2
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝2a. ∴渐近线方程为y＝±2x.
x2y2
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐
ab标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )
A.5 C.3
B.2 D.2
b
解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
ab
则F2到y＝ax的距离d＝
|bc|a2＋b2
＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
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根据余弦定理得
a2＋c2－?6a?2a
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
c2acc
即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝a＝3. x22
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若
2―→―→MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
A.－C.－
?
?33?
，
33?
B.－D.－
?
?33?
，
66?
?22，22?
3??3?23，23?
3??3
解析：选A 由题意知a＝2，b＝1，c＝3， 设F1(－3，0)，F2(3，0)，
―→―→
则MF1＝(－3－x0，－y0)， MF2＝(3－x0，－y0)． ―→―→∵MF1·MF2＜0，
∴(－3－x0)(3－x0)＋y20＜0，
2即x20－3＋y0＜0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上， x2022∴－y20＝1，即x0＝2＋2y0， 2
2∴2＋2y20－3＋y0＜0，∴－
33
＜y0＜. 33
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