2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案
________.
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
2＋mm＋1所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．若双曲线
x2－
y2
m＝1的离心率为3，则实数m＝________.
1＋m，
x2
y2
解析：由已知可得a＝1，c＝c
所以e＝a＝答案：2
1＋m＝3，解得m＝2.
5．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．
解析：由题意得2a＝|
?－5＋6?2＋22－
?－5－6?2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16， x2y2
所以双曲线的标准方程为－＝1.
2016x2y2
答案：－＝1
2016
考点一 双曲线的标准方程[基础自学过关]
[题组练透]
x2y23
1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其
ab4
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2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案
右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )
x2y2
A.－＝1 916x2y2
C.－＝1 34
x2y2
B.－＝1 169x2y2
D.－＝1 43
b3
解析：选B 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准
a4x2y2
方程为－＝1.
169
x22
2．与椭圆＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )
4x22
A.－y＝1 4x2y2
C.－＝1 33
x22
B.－y＝1 2D．x2－
y2
＝1 2
x22
解析：选B 法一：椭圆＋y＝1的焦点坐标是(±3，0)．
4x2y2
设双曲线标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，
ab因为双曲线过点P(2,1)， 41
所以2－2＝1，又a2＋b2＝3，
ab解得
a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是
x2
y2
x22
－y＝1. 2
法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，
4－λ1－λ将点P(2,1)的坐标代入可得解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
x22
所以所求双曲线标准方程为－y＝1.
2
x2y2
3．过双曲线C：2－2＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于
ab点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
x2y2
A.－＝1 412x2y2
C.－＝1 88
x2y2
B.－＝1 79x2y2
D.－＝1 124- 6 - / 13
41＋＝1， 4－λ1－λ
2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案
b
解析：选A 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且ax2y2
解得a＝4，b＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
412
2
2
?4－a?2＋b2＝4，
4．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，
???9m＋28n＝1，7)，所以?解得?172m＋49n＝1，??n＝?25.
1
m＝－，75
y2x2
故所求双曲线标准方程为－＝1.
2575
y2x2
答案：－＝1
2575
y2
5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程
4是________________．
y22x2y2
解析：设所求双曲线的标准方程为－x＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解
λ4λ4x2y2
得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
520
x2y2
答案：－＝1
520
[名师微点]
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程x2y2x2y2
并求出a，b，c的值．与双曲线2－2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为2－2＝ababλ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)
考点二 双曲线的定义及其应用 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则
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2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案
cos∠F1PF2＝________.
x2y2
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|
412的最小值为________．
[解析] (1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则
b2＝8，设点
M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为
x2－
y2
＝1(x≤－1)． 8
(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝22， |PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22， 则cos∠F1PF2
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝
2|PF1|·|PF2|?42?2＋?22?2－423
＝＝.
42×42×22
x2y2
(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲
412线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋
[答案]
(1)x2－
y23
＝1(x≤－1) (2) (3)9 84
[解题技法]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦
?4－1?2＋?0－4?2＝4＋5＝9.
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