2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章+第六节+双曲线和答案

第六节双曲线

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零?常数(小于|F1F2|)?的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2- 1 - / 13

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图形 范围 对称性 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±bx ce＝a，e∈(1，＋∞) c2＝a2＋b2 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 顶点 渐近线 离心率 a，b，c的关系 性 质 by＝±ax 实虚轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 若将双曲线的定义中的“差的绝对值等

于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而

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定．

设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距

离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．

①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； ②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；

③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

[熟记常用结论]

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min

＝c－a.

2b2

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最

a短的为实轴，其长为2a.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝

θ，其中θ为∠F1PF2. tan2b2

x2y2

5．若P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别

ab为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.

6．等轴双曲线

(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①a＝b；②e＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离

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是它到两焦点距离的等比中项．

7．共轭双曲线

(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．

(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) x2y2

(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )

mn

x2y2x2y2xy

(3)双曲线方程2－2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即m±n＝0.( ) mnmnx2y2x2y21(4)若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)与2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则2

abbae1

1

＋2＝1.( ) e2

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、选填题

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 C．4

解析：选C 双曲线

2x2－y2＝8

B．22 D．42

x2y2

的标准方程为－＝1，故实轴长为4.

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2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.C.

?2，0? ?2??6，0? ?2?

B.

?5，0?

?2?

D．(3，0)

x2y2

解析：选C ∵原方程可化为－＝1，

11

213

∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，

22∴右焦点坐标为

?6，0?. ?2?

x2y2

3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是

2＋mm＋1

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