掌门1对1教育 高中数学 【数学】2014版《6年高考4年模拟》

第七章 不等式 第一部分 六年高考荟萃

2013年高考题

一、填空题

1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x的不

等式x?5?x?3?a无解,则实数a的取值范围是_________ 答案：???,8?

【命题立意】本题考查绝对值不等式的基本解法。因为不等式x?5?x?3的最小值为8，所以要使不等式x?5?x?3?a无解，则a?8，即实数a的取值范围是???,8?。

2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2,

则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______. 答案：2

利用柯西不等式求解，

（am?bn)(an?bm)?(am?an?bn?bm)2?mn?(a?b)2?2?1?2,且仅当

ambn??m?n时取最小值 2 anbm3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数

范围内,不等式x?2?1?1的解集为_________ 答案：[0,4]

BCOEDAP本题考查绝对值的基本求法。由x?2?1?1得?1?x?2?1?1，即0?x?2?2，即?2?x?2?2，解得0?x?4，所以原不等式的解集为[0,4]。

4 ．（2013年高考湖北卷（理））设x,y,z?R,且满足:x2?y2?z2?1,x?2y?3z?14,

则x?y?z?_______. 答案：

314 7本题考查柯西不等式的应用。由柯西不等式可知，

(x?2y?3z)2?(x2?y2?z2)(12?22?32)，即x2?y2?z2?1，因为x2?y2?z2?1，

所以当且进行

xyz??时取等号。此时y?2x,z?3x代入x?2y?3z?14得123x?14214314314，即y?，所以x?y?z?。 ,z?1414147二、解答题

5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;

不等式选讲

设a,b,c均为正数,且a?b?c?1,证明:

1a2b2c2(Ⅰ)ab?bc?ca?; (Ⅱ)???1.

3bca

6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式

选讲

已知函数f?x??x?a,其中a?1.

(I)当a=2时,求不等式f?x??4?x?4的解集;

(II)已知关于x的不等式f?2x?a??2f?x??2的解集为?x|1?x?2?,求a的值.

??

7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲:设

不等式x?2?a(a?N)的解集为A,且(1)求a的值;

(2)求函数f(x)?x?a?x?2的最小值.

*31

?A,?A. 22

解:(Ⅰ)因为

3131?A,且?A,所以?2?a,且?2?a 2222解得

13?a?,又因为a?N*,所以a?1 22(Ⅱ)因为|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?3

当且仅当(x?1)(x?2)?0,即?1?x?2时取得等号,所以f(x)的最小值为3

8 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））

D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.

3322已知a?b>0,求证:2a?b?2ab?ab

[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 答案：D证明

:∵

2a3?b3?2ab2?a2b??2a3?2ab2?(a2b?b3)??2aa2?b2?b(a2?b2)

??

?a2?b2(2a?b)?(a?b)(a?b)(2a?b)

又∵a?b>0,∴a?b>0,a?b?02a?b?0, ∴(a?b)(a?b)(2a?b)?0 ∴2a?b?2ab?ab?0 ∴2a?b?2ab?ab

9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲

33223322??已知函数f(x)=|2x?1|?|2x?a|,g(x)=x?3. (Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)

(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[?a1,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 22答案：当a=-2时,不等式f(x)

1??5x, x??2?1?设函数y=|2x?1|?|2x?2|?x?3,y=??x?2, ?x?1,

2??3x?6, x?1??其图像如图所示

从图像可知,当且仅当x?(0,2)时,y<0,∴原不等式解集是{x|0?x?2}.

(Ⅱ)当x∈[?a1,)时,f(x)=1?a,不等式f(x)≤g(x)化为1?a?x?3, 224a1a,)都成立,故??a?2,即a≤,

32224]. 3∴x?a?2对x∈[?∴a的取值范围为(-1,

10．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达

点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径

MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别

位于平面xOy内三点A(3,20),B(?10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.

(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小. 解: 设点P(x,y),且y?0.

(Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d,

等于水平距离?垂直距离，即d?|x - 3| + |y - 20|,其中y?0,x?R.

(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.

点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;显然当x?[?10,14]时,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ?24,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.

所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.

2012年高考题

一、选择题

11 ．（2012年高考（重庆理））设平面点集

?1?A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?1,则A?B所表示的平面

x????图形的面积为 A．

（ ）

B．?

3? 435C．

4? 7D．

? 2 【答案】D

【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 12 ．（2012年高考（重庆理））不等式A．??x?1?0的解集为 2x?1（ ）

1?1??1??1???,1? B．??,1? C．???.????1,??? D．???,????1,???

2?2??2??2????x?1?(x?1)(2x?1)?01 【答案】A 【解析】?0????x?1

2x?12??2x?1?0【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于

基础试题,属基本题.

13 ．（2012年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ）

A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元1. [答案]C

[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y

?X?2Y?12?2X?Y?12?且? ?X?0??Y?0画可行域如图所示,

目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y=?3zx? 这是随Z变化的一族平行直线 4400解方程组??2x?y?12?x?4 ?? 即A(4,4) ?Zmax?1200?1600?2800

?x?2y?12?y?4[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标

函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).

?x?2y?2?14 ．（2012年高考（山东理））已知变量x,y满足约束条件?2x?y?4,则目标函数

?4x?y??1?z?3x?y的取值范围是

A．[?（ ）

3,6] 2B．[?3,?1] 2C．[?1,6] D．[?6,]

32

【解析】做出不等式所表示的区域如图,由z?3x?y得y?3x?z,平移直线y?3x,由图象可知当直线经过点E(2,0)时,直线y?3x?z的截距最小,此时z最大为z?3x?y?6,当直线经过C点时,直线截距最

1??4x?y??1?x?大,此时z最小,由?,解得?2,此时

?2x?y?4??y?3z?3x?y?

15 ．（2012年高考（辽宁理））若x?[0,??),则下列不等式恒成立的是 A．e?1?x?x

x2333?3??,所以z?3x?y的取值范围是[?,6],选A.

222（ ）

B．111?1?x?x2

241?x1?C．cosx… 【答案】C

12x 2x?D．ln(1?x)…12x8

【解析】设f(x)?cosx?(1?所

以

121x)?cosx?1?x2,则g(x)?f?(x)??sinx?x, 22?≥，c所x?以

当

g?(?x)x?[0,??)时,g(x)为增函数，所以g(x)?f?(x)≥g(0)?0,

?cosx?(1?同理f(x)≥f(0)?0，121x)≥0，1?x2,故选C 即cosx…22【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查

转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大.

?x?y?10?16 ．（2012年高考（辽宁理））设变量x,y满足?0?x?y?20,则2x?3y的最大值为

?0?y?15? （ ）A．20B．35C．45D．55 【答案】D

【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值.

17 ．（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 （ ） A．50,0 B．30.0 C．20,30 D．0,50

B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为

z?(0.55?4x?1.2x)?(0.3?6y?0.9y)?x?0.9y.线性

?x?y?50,?x?y?50,?1.2x?0.9y?54,?4x?3y?180,??约束条件为 ?即?作出不

?x?0,?x?0,???y?0.?y?0.?x?y?50,?4x?3y?180,?等式组?表示的可行域,易求得点

x?0,???y?0A?0,50?,B?30,20?, C?0,45?.

平移直线z?x?0.9y,可知当直线z?x?0.9y经过点B?30,20?,即x?30,y?20时,z取得最大值,且zmax?48(万元).故选B.

【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:

(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;

(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.

体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.

18 ．（2012年高考（湖北理））设a,b,c,x,y,z是正数,且a2?b2?c2?10,x2?y2?z2?40,ax?by?cz?20,则

a?b?c?

x?y?z（ ）

A．

11 B． 43C．

1 2D．

3 4 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.

解析:由于(a?b?c)(x2?y2?z2)?(ax?by?cz)2

222

等号成立当且仅当

abc???t,则a=t x b=t y c=t z ,t2(x2?y2?z2)?10 xyz所以由题知t?1/2,又

abca?b?ca?b?c???,所以?t?1/2,答案选C. xyzx?y?zx?y?z?y?2?19 ．（2012年高考（广东理））已知变量x、y满足约束条件?x?y?1,则z?3x?y的最

?x?y?1?大值为 A．12

（ ）

B．11 D．?1

C

．

3

?y?2解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最大值.联立?,

?y?x?1?x?3解得?,所以z?3x?y的最大值为11.

y?2?

?x?y?3?0??x20．（2012年高考（福建理））若函数y?2图像上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0,

???x?m则实数m的最大值为 A．

（ ）

1 B．1 2C．

3 D．2 2 【答案】B

【解析】x?y?3?0与y?2x的交点为(1,2),所以只有m?1才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力.

21．（2012年高考（福建理））下列不等式一定成立的是 （ ） A．lg(x?)?lgx(x?0) C．x?1?2|x|(x?R) D． 【答案】C

【解析】由基本不等式得x?1?2|x|(x?R),答案C正确.

【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,

22214B．sinx?1?2(x?k?,k?Z) sinx1?1(x?R) x2?1

掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.

22．（2012年高考（大纲理））已知x?ln?,y?log52,z?eA．x?y?z

B．z?x?y

C．z?y?x

?12,则 （ ）

D．y?z?x

答案D

【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法. 【解析】ln??lne?1,log52?log5二、填空题

1?11115?,z?e2???,故选答案D.

2e42?x,y?0?23．（2012年高考（新课标理））设x,y满足约束条件:?x?y??1;则z?x?2y的取值

?x?y?3?范围为_________

【解析】z?x?2y的取值范围为[?3,3] 约束条件对应四边形OABC边际及内的区域:O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0) 则z?x?2y?[?3,3]

24．（2012年高考（浙江理））设a?R,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.

【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A)?(B)??(a－1)x－1?0, 无解; 2x－ax－1?0??(a－1)x－1?0, 无解. 2x－ax－1?0?因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,—1). 考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(

1,0),还可分析得:a>1; a?11,0),代入a?1考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(

2a33?1???1?0,解之得:a?0or得:?,舍去a?0,得答案:a?. ?22?a?1?a?1【答案】a?3 2225．（2012年高考（上海春））若不等式x?kx?k?1?0对x?(1,2)恒成立,则实数k

的取值范围是______. (??,2]

26．（2012年高考（陕西理））设函数f(x)???lnx,x?0,D是由x??2x?1,x?0y 轴和曲线y?f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则

z?x?2y在D上的最大值为___________.

-1 1 x ?1?,x?0解析:y?f?(x)??x,f?(1)?1,曲线y?f(x)及该曲线在点(1,0)???2,x?0处的切线方程为y=x-1,围成的封闭区域为三角形,z?x?2y在点(0,-1)处取得最大值2.

27．（2012年高考（陕西理））观察下列不等式

13? 2221151?2?3?,

23311171?2?2?2?

23441?照此规律,第五个不等式为________________________________________. ．．．解析:第五个不等式为1?．．．

1111111????? 22324252626

b，c满足:5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则28．（2012年高考（江苏））已知正数a，b的取值范围是____. a【答案】?e， 7?.

【考点】可行域.

，cln≥b?alcn可c化【解析】条件5c?3a≤b≤4c?a?ab?3???5?cc?ab为:???4. ?cca?b??ec?c 设

ab=x，y=,则题目转化为: cc?3x?y?5?x?y?4y?已知x,求的取值范围. ，y满足?xx?y?e?x>0，y>0?作出(x，y)所在平面区域(如图).求出y=ex的切

线的斜率e,设过切点P?x0，y0?的切线为y=ex?m?m?0?, 则

y0ex0?mm==e?,要使它最小,须m=0. x0x0x0∴

y的最小值在P?x0，y0?处,为e.此时,点P?x0，y0?在y=ex上A,B之间. x?y=4?x?5y=20?5xy当(x???y=7x?=7, ，y)对应点C时, ?x?y=5?3x?4y=20?12xy的最大值在C处,为7. xyb∴的取值范围为?e， 7?,即的取值范围是?e， 7?.

ax∴

??),若关29．（2012年高考（江苏））已知函数f(x)?x2?ax?b(a，b?R)的值域为[0，于x的不等式

f(x)?c的解集为(m，m?6),则实数c的值为____. 【答案】9.

【考点】函数的值域,不等式的解集.

a2??),当x?ax?b=0时有V?a?4b?0,即b?【解析】由值域为[0，,

422a2?a???x??. ∴f(x)?x?ax?b?x?ax?4?2?222a?aaa?∴f(x)??x???c解得?c?x??c,?c??x?c?.

2?222?m?6),∴(c?)?(?c?)?2c?6,解得c?9. ∵不等式f(x)?c的解集为(m，

2a2a2

?x?y?1?0??30．（2012年高考（大纲理））若x,y满足约束条件?x?y?3?0,则z?3x?y的最小

???x?3y?3?0值为_________________.

答案:?1 【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.

【解析】做出不等式所表示的区域如图,由z?3x?y得y?3x?z,平移直线

y?3x,由图象可知当直线经过点C(0,1)时,直线y?3x?z的截距最 大,此时

z最小,最小值为z?3x?y?-1.

?x?0?31．（2012年高考（安徽理））若x,y满足约束条件:?x?2y?3;则x?y的取值范围为_____

?2x?y?3?【解析】x?y的取值范围为_____[?3,0]

约束条件对应?ABC边际及内的区域:A(0,3),B(0,),C(1,1) 则t?x?y?[?3,0]

322011年高考题

一、选择题

14?ab的最小值是 1.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=

7A．2

B．4

9C． 2 D．5

【答案】C

?x?2y?5＞0??2x?y?7＞0,?x≥0，y≥0，x,y2.（浙江理5）设实数满足不等式组?若x,y为整数，则3x?4y的最小

值是

A．14 B．16 【答案】B

C．17

D．19

3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是

22A．a＞b?1 B．a＞b?1 C．a＞b

D．a＞b

33

【答案】A

A?{x????x????},B?{x4.（江西理2）若集合 A．

x????}x，则A?B?

{x???x??}{x??x??} B．

{x??x??}

C． D．

{x??x??}【答案】B

?21?x,x?1f(x)???1?log2x,x?1，则满足f(x)?2的x的取值范围是 5.（辽宁理9）设函数

（A）[?1，2] （B）[0，2] （C）[1，+?） 【答案】D

（D）[0，+?）

6.（湖南理7）设m＞1，在约束条件m 的取值范围为

?y?x??y?mx?x?y?1?下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则

A．（1，1?2） B．（1?2，??）

D．（3，??）

C．（1,3 ） 【答案】A

7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式则z的取值范围为 A．[-2，2] 【答案】D

B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]

x?y?1，

?0?x?2??y?2?x?2y8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?给定。若

?????????M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z?OM?OA的最大值为

A．42 B．32 C．4 D．3

【答案】C

9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆

数，可得最大利润z= A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 【答案】C

?0?x?8?0?y?7???x?y?12?10x?6y?72??2x?y?19【解析】由题意设派甲，乙x,y辆，则利润z?450x?350y，得约束条件??x?7?x?y?12??y?5代入目标函数z?4900 2x?y?19画出可行域在?的点??x?y?2??x?1?y?2?10.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，

?????????上的一个动点，则OA·OM的取值范围是

A．[-1．0] 【答案】C

B．[0．1] C．[0．2]

D．[-1．2]

11.（安徽理4）设变量x,y满足|x|?|y|?1,则x?2y的最大值和最小值分别为 （A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1 【答案】B

12.（上海理15）若a,b?R，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是

22A．a?b?2ab

B．a?b?2ab

112ba????2abababC．D D．

【答案】

二、填空题

13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000

14.（浙江理16）设x,y为实数，若4x?y?xy?1,则2x?y的最大值是 ．。

22210【答案】5

?3?2x?y?9?6?x?y?9，则z?x?2y的最小值

15.（全国新课标理13）若变量x，y满足约束条件?是_________． 【答案】-6

x?1?316.（上海理4）不等式x的解为 。

x?12

【答案】x?0或

17.（广东理9）不等式【答案】[1,??)

x?1?x?3?0的解集是 ．

A?{(x,y)|18.（江苏14）设集合

m?(x?2)2?y2?m2,x,y?R}2,

B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 若A?B??,则实数m的取值范围是

______________

1[,2?2]【答案】2

三、解答题

19.（安徽理19） （Ⅰ）设x?1,y?1,证明

x?y?111???xy;xyxy，

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.

（Ⅱ）1?a?b?c，证明

本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.

证明：（I）由于x?1,y?1，所以

x?y?

111???xy?xy(x?y)?1?y?x?(xy)2,xyxy

将上式中的右式减左式，得

(y?x?(xy)2)?(xy(x?y)?1)?((xy)2?1)?(xy(x?y)?(x?y))?(xy?1)(xy?1)?(x?y)(xy?1)?(xy?1)(xy?x?y?1)?(xy?1)(x?1)(y?1).

即然x?1,y?1,所以(xy?1)(x?1)(y?1)?0,

从而所要证明的不等式成立. （II）设

logab?x,logbc?y,由对数的换底公式得

111,logba?,logcb?,logac?xy.xyxy

x?y?111???xy,xyxy

logca?

于是，所要证明的不等式即为其中

x?logab?1,y?logbc?1.

故由（I）立知所要证明的不等式成立.

20.（湖北理17）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

v?x?（Ⅰ）当0?x?200时，求函数的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）

f?x??x.v?x?可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当0?x?20时,v(x)?60；当20?x?200时,设v(x)?ax?b

1?a??,??200a?b?0,?3解得???20a?b?60,?b?200.?3 ?再由已知得

0?x?20,?60,?v(x)??1(200?x),20?x?200?v(x)?3故函数的表达式为

0?x?20,?60x,?f(x)??1x(200?x),20?x?200??3 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当0?x?20时,f(x)为增函数，故当x?20时，其最大值为60×20=1200；

当20?x?200时，

f(x)?11x?(200?x)210000x(200?x)?[]?3323

当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立。

10000.x?100时,f(x)所以，当在区间[20，200]上取得最大值3

10000?3333f(x)x?1003综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

21.（湖北理21）

（Ⅰ）已知函数f(x)?Inx?x?1，x?(0,??)，求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设

ak,bk(k?1,2?，n)均为正数，证明：

knk1k2ab?ab?abb?b?baa?a?1； 1122nn12n12n?（1）若??，则

1knk1k2222bb?b?b?b???b.b?b?b12n12n2（2）若1?n=1，则n?

本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分） 解：（I）f(x)的定义域为(0,??)，令

f'(x)?1?1?0,解得x?1.x

时,f'(x)?0,f(x)在（0，1）内是增函数； 当0?x?1 当x?1时，f'(x)?0,f(x)在(1,??)内是减函数； 故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0. （II）（1）由（I）知，当x?(0,??)时， 有f(x)?f(1)?0,即lnx?x?1.

?ak,bk?0，从而有lnak?ak?1， bklnak?akbk?bk(k?1,2,?,n)，

得

求和得k?1n?lnank1k??akbk??bk.k?1k?1nnn

??akbk?k?1?b,??lnakk2k?1k?1nk?0,

knknk1k2k1k2ln(aa?a)?0,?aa?a?1. 12n12n 即

（2）①先证

knk2b1k1b2?bn?1.n

ak? 令

n1(k?1,2,?,n),nbk

nn1akbk???1??bk,?k?1nk?1 则k?1于是

1k11k21kn1k1?k2???kn)()?()?1?n?n,knk1k2nb1nb2nbnbb?bn 由（1）得，即12

(1knk2?b1k1b2?bn?.n

knk1k2222bb?b?b?b???b. 12n12n ②再证

n 记

S??bk2,令ak?k?1nbk(k?1,2,?,n)S，

n1n2akbk??b1?1??bk?Sk?1k?1 则k?1，

bbb(1)k1(2)k2?(n)kn?1.SS 于是由（1）得S

knk1?k2???knk1k2bb?b?S?S, 12n 即

knk1k2222?bb?b?b?b???b. 12n12n

综合①②，（2）得证。

2010年高考题

一、选择题

?2x?y?3,?x?2y?3,?1.（2010上海文）15.满足线性约束条件?的目标函数z?x?y的最大值是

x?0,???y?0（ ）

（A）1. （B）答案 C

解析：当直线z?x?y过点B(1,1)时，z最大值为2

3. （C）2. （D）3. 2?x?3y?3?0,?2.（2010浙江理）（7）若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，

?x?my?1?0,?则实数m?

（A）?2 （B）?1 （C）1 （D）2 答案 C

解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题

x2?x?6＞0的解集为 3.（2010全国卷2理）（5）不等式

x?1（A）xx＜?2,或x＞3 （B）xx＜?2，或1＜x＜3

????1，或1＜x＜3 （C） x?2＜x＜1，或x＞3 （D）x?2＜x＜【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

????【解析】

法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

利用数轴穿根

?x??1?4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件?y?x 则z=2x+y的最大值为

?3x?2y?5?（A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C：本题考查了线性规划的知识。

∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y?x 与3x?2y?5的交点为最优解点，∴即为（1，1），当x?1,y?1时

5.（2010全国卷2文）（2）不等式

zmax?3

x?3＜0的解集为 x?2（A）x?2?x?3 （B）xx??2 （C）xx??2或x?3 （D）xx?3 【解析】A ：本题考查了不等式的解法

????????x?3?0x?2 ∵ ，∴ ?2?x?3，故选A

x?2x?2?x 的解集是（ ） 6.（2010江西理）3.不等式 x2) B. (??，0) C. (2，??) D. （-?，0）?(0，??) A. (0，【答案】 A

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。

x?2?0，解得A。 x?2x?y?6?0,?7.（2010安徽文）（8）设x,y满足约束条件?x?2y?6?0,则目标函数z=x+y的最大值

?y?0,?是

（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 答案 C

【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z?x?y在(6,0)取最大值6。

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.

8.（2010重庆文）（7）设变量x,y满足约束条件

?x?0,?则z?3x?2y的最大值为 ?x?y?0,?2x?y?2?0,?（A）0 （B）2 （C）4 （D）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z?3x?2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大 由B（2,2）知zmax?4

解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题

10.（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. 答案 B

解析：考察均值不等式

92112?x?2y?2x?2y?8?x?(2y)?8???，整理得?x?2y??4?x?2y??32?0

?2?2

即?x?2y?4??x?2y?8??0，又x?2y?0，?x?2y?4

?y?0?11.（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件?x?y?1?0，则z=2x+y的最大值

?x?y?3?0?为

A.—2 B. 4 C. 6 D. 8 答案 C

解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6

?x?y?11?0?12.（2010北京理）（7）设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D，若指数函

?5x?3y?9?0?数y=a的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是

（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??] 答案：A

13.（2010四川理）（12）设a?b?c?0，则2a?小值是

（A）2 （B）4 （C） 25 （D）5 解析：2a?22x11??10ac?25c2的最 aba(a?b)11??10ac?25c2 aba(a?b)22＝(a?5c)?a?ab?ab?11? aba(a?b)＝(a?5c)?ab?≥0＋2＋2＝4

211?a(a?b)? aba(a?b)当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立

如取a＝2,b＝答案：B

22,c＝满足条件. 2514.（2010四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案：B

解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱

70 (15,55) y 80 ?x?y?70?则?10x?6y?480 ?x,y?N?目标函数z＝280x＋300y

结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.

70 x 0 48 ?x?y?3,?15.（2010天津文）(2)设变量x，y满足约束条件?x?y??1,则目标函数z=4x+2y的最大

?y?1,?值为

（A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B

【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10. 16.（2010福建文）

17.（2010全国卷1文）（10）设a?log32,b?ln2,c?5?2则 （A）a?b?c（B）b?c?a (C) c?a?b (D) c?b?a 答案C

【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=log32=

12111, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a

1211111e3,b=ln2=, ，???1； 1?log?log?2223e3elog2log22log2log2c=5??111??，∴c

?x?y?2?0,?值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 答案B

【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），z?x?2y?y?y y?x A x?y?0 11x?z，22l0:x?2y?01 2 A O x x?y?2?0 ?2

由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为zmax?1?2?(?1)?3.

19.（2010全国卷1理）（8）设a=log32,b=ln2,c=5?12

,则

（A） a

20.（2010全国卷1理）

21.（2010四川文）（11）设a＞b＞0，则a?（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：D 解析：a?2211的最小值是 ?aba?a?b?11? aba?a?b?11? aba(a?b)＝a?ab?ab?2

＝ab?11 ?a(a?b)?aba(a?b)≥2＋2＝4

当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝2,b＝

2满足条件. 222.（2010四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为

（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案：B 解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱

70 x 0 48 70 (15,55) 80 y ?x?y?70?则?10x?6y?480 ?x,y?N?目标函数z＝280x＋300y

结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.

23.（2010山东理）

?x?1?24.（2010福建理）8．设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1?y?x?关于直线3x?4y?9?0对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于( ) A．

2812 B．4 C． D．2 55【答案】B

【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域?1中的点到直线3x?4y?9?0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3x?4y?9?0的距离最小，故|AB|的最小值为

2?|3?1?4?1?9|?4，所以选B。

52?x?0的解集是 。 x?4二、填空题

1.（2010上海文）2.不等式【答案】?x|?4?x?2? 解析：考查分式不等式的解法

2?x?0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4

?x?2?0,?为 . 【答案】5

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z＝3x－y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小 此时z取得最大值5

3.（2010辽宁文）（15）已知?1?x?y?4且2?x?y?3，

则z?2x?3y的取值 是 . （答案用区间表示） 【答案】 (3,8)

?x?y??1?x?y?4?【解析】填(3,8). 利用线性规划，画出不等式组?表示的平面区域，即可求解.

?x?y?2??x?y?34.（2010辽宁理）（14）已知?1?x?y?4且2?x?y?3，则z?2x?3y的取值范围是_______（答案用区间表示） 【答案】（3，8）

【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

【解析】画出不等式组???1?x?y?4表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直

?2?x?y?3线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.

5.（2010安徽文）(15)若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①ab?1； ②a?b? ④a?b?3； ⑤【答案】①，③，⑤

【解析】令a?b?1，排除②②；由2?a?b?2ab?ab?1，命题①正确；

332； ③ a2?b2?2；

11??2 ab11a?b2??2，命题⑤正a2?b2?(a?b)2?2ab?4?2ab?2，命题③正确；??ababab确。

6.（2010浙江文）（15）若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。 【答案】18

7.（2010山东文）（14）已知x,y?R?，且满足【答案】3

8.（2010北京文）（11）若点p（m，3）到直线4x?3y?1?0的距离为4，且点p在不等式2x?y＜3表示的平面区域内，则m= 。 【答案】-3

9.（2010全国卷1文）(13)不等式

xy??1，则xy的最大值为 . 34x?2?0的解集是 .

x2?3x?2【答案】x?2?x??1,或x?2??

【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】:

x?2x?2?0??0??x?2??x?2??x?1??0，数轴标根2x?3x?2?x?2??x?1?得：x?2?x??1,或x?2

10.（2010全国卷1理）(13)不等式2x2?1?x?1的解集是 . ??

?y?x,?11.（2010湖北文）12.已知：2x?y,式中变量x,y满足的束条件?x?y?1,则z的最大值

?x?2?为______。 【答案】5 【解析】同理科 12.（2010山东理）

13.（2010安徽理）

?2x?y?2?0?14.（2010安徽理）13、设x,y满足约束条件?8x?y?4?0，若目标函数

?x?0 , y?0?z?abx?y?a?0,b?0?的最大值为8，则a?b的最小值为________。

【答案】 4

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8，

2所以8?ab?4?ab?4，所以a?b?2ab?4，在a?b?2时是等号成立。所以a?b

的最小值为4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得ab?4，要想求a?b的最小值，显然要利用基本不等式.

?y?x,?15.（2010湖北理）12.已知z?2x?y，式中变量x，y满足约束条件?x?y?1,，则z的

?x?2,?最大值为___________. 【答案】5

【解析】依题意，画出可行域（如图示），

则对于目标函数y=2x-z， 当直线经过A（2，－1）时， z取到最大值，Zmax?5.

16.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称

2ab为a，b的调和平均数。a?b如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，

线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。 【答案】CD DE

【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2?AC?CB，故CD?ab，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=a?a?ba?ba?b代入?, CD?ab, OD?222(a?b)2a?b22OD?CE?OC?CD可得CE?，所以ab故OE?OC?CE?2(a?b)a?b2ab，故DE的长度为a,b的调和平均数. a?b2ED=OD-OE=

x2x317.（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值

yy是 。。 【答案】 27

【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。

111x22x3x221x3()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。

xy83yyyyxy三、解答题

1.（2010广东理）19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z?2.5x?4y。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0， x∈N y≥0， y∈N 即

3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0， x∈N y≥0， y∈N

作出可行域如图所示：

经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为z?2.5x?4y=2.5×4+4×3=22元． 2.（2010广东文）19.（本题满分12分）

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，

6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F?2.5x?4y，由题意知：

12x?8y?64 6x?6y?42 6x?10y?54 x?0,y?0

画出可行域：

变换目标函数：y??5Fx? 84

3.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称

2ab为a，b的调和平均数。如a?b图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，

线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。 【答案】CD DE

【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2?AC?CB，故CD?ab，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=a?a?ba?ba?b代入?, CD?ab, OD?222(a?b)2a?b22OD?CE?OC?CD可得CE?，所以ab故OE?OC?CE?2(a?b)a?b2ab，故DE的长度为a,b的调和平均数. a?bED=OD-OE=

2009年高考题

第一节 简单不等式及其解法

一、选择题

1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是A.p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d

B.p:a＞1,b>1 q:f(x)?ax?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限C.p: x=1, q:x?x2 D.p:a＞1, q: f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数答案 A

解析 由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d a＞b且c＞d，可举反例。选A。

2.（2009安徽卷文）“A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 答案 A

解析 易得a?b且c?d时必有a?c?b?d.若a?c?b?d时，则可能有a?d且c?b，选A。

3.（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－

”是“

且

”的

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

d”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B

解析 显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b

即由“a－c＞b－d”?“a＞b”

224.（2009天津卷理）0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)＞(ax)的解集中的整数恰

有3个，则

A.?1?a?0 B.0?a?1 C.1?a?3 D.3?a?6 答案 C

5.（2009四川卷理）已知a,b,c,d为实数，且c?d。则“a?b”是“a?c?b?d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7） 答案 B

解析 a?b推不出a?c?b?d；但a?c?b?d?a?b?c?d?b，故选择B。

c?3d,???解析2：令a?2,b?1,，则a?c?1?b?d3?(?5?)；8?由

a?c?b?可得，da?b?(c?d)因为c?d，则c?d?0，所以a?b。故“a?b”

是“a?c?b?d”的必要而不充分条件。

6.（2009重庆卷理）不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．(??,?1]?[4,??) B．(??,?2]?[5,??) C．[1,2] 答案 A

D．(??,1]?[2,??)

21?4对x?3?x?1?a解析 因为?4?x?3?x?2?3a对任意x恒成立，所以

a2?3a?4即a2?3a?0，解得a?4或a??1

二、填空题

4 5 x7.（2009年上海卷理）若行列式1 x 3中，元素4的代数余子式大于0，

7 8 9则x满足的条件是________________________ . 答案 x?8 3 2

解析 依题意，得： (-1)×(9x-24)＞0，解得：x?8 3 三、解答题

8.（2009江苏卷）(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单 价为m元，则他的满意度为mm?a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度

为n.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种

n?a交易的综合满意度为h1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的 单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与 卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 (1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA(2)设mA3?mB时，求证：h甲=h乙； 53?mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 5大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和

h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

(1)

3当mA?mB时，h甲?5mBmB2??

,3m?5(m?20)(m?5)BBmB?12B53mB5h乙?3mBmBmB25??,h甲=h乙

3(mB?5)(mB?20)mB?3mB?205 3（2）当mA?mB时，

5mB211h甲=??,

20511(mB?20)(mB?5)(1?)(1?)100()2?25?1mBmBmBmB

由mB?[5,20]得111?[,]， mB205 故当

11?即mB?20,mA?12时， mB2010。 5甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（3）（方法一）由（2）知：h0=由h甲=10 5 m?12mB?55mAmB10得：A??， ??h0?mm2mA?12mB?55AB令

1535?x,?y,则x、y?[,1]，即：(1?4x)(1?y)?。

42mAmB510得：(1?x)(1?4y)?

25同理，由h乙?h0?1?x、1+y?[,2], 另一方面，x、y?[,1]1?4x、1+4y?[2,5],155(1?4x)(1?y)?,(1?x)(1?4y)?,当且仅当x?y?，即mA=mB时，取等号。

422所以不能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立，但等号不同时成立。

1452

第二节 基本不等式

一、选择题

1.（2009天津卷理）设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项，则 A . 8 B . 4 C. 1 D.

ab11?的最小值为 ab1 4考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。 答案 C

ab解析 因为3?3?3，所以a?b?1，

ba1111baba?即??(a?b)(?)?2???2?2??4，当且仅当

abababababa?b?1时“=”成立，故选择C 211??2ab的最小值是（ ） ab2.（2009重庆卷文）已知a?0,b?0，则A．2 答案 C 解析 因为

B．22

C．4

D．5

111111??2ab?2?2ab?2(?ab)?4当且仅当?，

abababab且 ，即a?b时，取“=”号。 二、填空题

3.（2009湖南卷文）若x?0，则x?答案22

2的最小值为 . x解析 ?x?0?x?三、解答题

22?22，当且仅当x??x?2时取等号. xx4.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）

围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

2

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则y2-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=

360, x 3602?360(x?0) 所以y=225x+x3602?2225?3602?10800 (II)?x?0,?225x?x36023602?y?225x??360?10440.当且仅当225x=时，等号成立.

xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

第三节 不等式组与简单的线性规划

一、选择题

x-y+2=0

?3x?y?6?0?1. (2009山东卷理)设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ， ?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，

y z=ax+by

2 x 23则?的最小值为 ( ). ab25811A. B. C. D. 4 633

答案 A

-2 O 2 3x-y-6=0 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,

目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而A.

【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求

23232a?3b13ba1325?=(?)??(?)??2?,故选abab66ab6623?的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. ab?x?042.（2009安徽卷理）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面

?3?3x?y?4?积相等的两部分，则k的值是A.

7343 B. C. D. 3734 答案 B

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?∴Sy ?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4△ABC

y=kx+ 3D C O A x 4144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 2331512交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

22235147∴?k??,k?选A。 2233=

3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A. 解析 由?32 B.

23 C.

43 D.

34?x?3y?4?014可得C(1,1)，故S阴 =?AB?xc?，选C。

23?3x?y?4?0答案 C

4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元

答案 D

解析 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： 甲产品x吨 乙产品y吨 A原料 3x y B原料 2x 3y （0，6） （3，4） 13 y ?x?0?y?0? 则有：? 3x?y?13???2x?3y?18 目标函数z?5x?3y

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D

O （13，0） 9 3x ?2x?y?4?5.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足?x?y??1,则z?x?y

?x?2y?2?A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B

解析 画出可行域可知，当z?x?y过点（2，0）时，zmin?2，但无最大值。选B.

?2x?y?4,?6.（2009宁夏海南卷文）设x,y满足?x?y?1,则z?x?y

?x?2y?2,?A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值

答案 B

解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B

7.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组??x?2y?0，所确定的平面区域，则圆

x?3y?0?x2?y2?4 在区域D内

的弧长为 [ B] A .

3?3??? B. C. D.

4242

答案 B

解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率

11|?(?)|113?1，分别是,?，所以圆心角?即为两直线的所成夹角，所以tan??211321?（??）|23??所以??，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。

42?x?y?3?8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：?x?y??1.则目标函数z=2x+3y的最小

?2x?y?3?值为

A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B

【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。

?x?y?3?解析 画出不等式?x?y??1表示的可行域，如右图，

?2x?y?3?让目标函数表示直线y??2xz?在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解33方程组??x?y?3得(2,1)，所以zmin?4?3?7，故选择B。

?2x?y?3 8f?x? = -x+3g?x? = x+1h?x? = 2?x-3q?x? = -2?x3+76A4x-y=1x+y=322x-y=3B-15-10-551015-2 9.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B

-4原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元

答案 D

【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）

解析 设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即

?3x?y?13?2x?3y?18?已知约束条件?，求目标函数z?5x?3y的最大

x?0???y?0值，可求出最优解为?择D。

?x?3，故zmax?15?12?27，故选

?y?4

?x?y?1?0?10.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组?x?1?0（?为常数）所表

?ax?y?1?0?示的平面区域内的面积等于2，则a的值为

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

答案 D

解析 如图可得黄色即为满足x?1?0与x?y?1?0的可行域，而ax?y?1?0 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是D.

3；当a=3时，面积恰好为2，故选2

二、填空题

?x?y?2,?11.（2009浙江理）若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小值是 ．

?x?y?0,? 答案 4

解析 通过画出其线性规划，可知直线y??

2x?Z过点?2,0?时，?2x?3y?min?4 3?x?y?2,?12.（2009浙江卷文）若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小

?x?y?0,?是 ．

【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划，可知直线y??2x?Z过点?2,0?时，?2x?3y?min?4 3

?x?y?2?0,?13.（2009北京文）若实数x,y满足?x?4,则s?x?y的最大值为 .

?x?5,?答案 9

解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.

如图，当x?4,y?5时，

s?x?y?4?5?9为最大值.

故应填9.

?x?y?2?0?14.（2009北京卷理）若实数x,y满足?x?4则s?y?x的最小值为__________.

?y?5?答案 ?6

解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.

如图，当x?4,y??2时，

s?y?x?2?4??6为最小值.

故应填?6.

15.(2009山东卷理)不等式2x?1?x?2?0的解集为 .

答案 {x|?1?x?1}

1?x?2?x?2??解析 原不等式等价于不等式组①?或②? 2?2x?1?(x?2)?0??2x?1?(x?2)?01?x?11?或③?不等式组①无解,由②得?x?1,由③得?1?x?,综222??(2x?1)?(x?2)?0?上得?1?x?1,所以原不等式的解集为{x|?1?x?1}.

16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.

答案 2300

解析 设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则

z?200x?300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:

产品 A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(≥50) (件)(≥140) 甲设备 乙设备 5 6 10 20 200 300 (元) ?6x?y?10?5x?6y?50???5则满足的关系为?10x?20y?140即:?,

x?2y?14??x?0,y?0???x?0,y?0 ?6?x?y?10作出不等式表示的平面区域,当z?200x?300y对应的直线过两直线?的交5??x?2y?14点(4,5)时，目标函数z?200x?300y取得最低为2300元.

【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..

?y?2x?17.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.

?x?3? 答案 －9

解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：y?11x－z，画直线y?x及22其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。

2008年高考题

第一节 简单不等式及其解法

一、选择题

1.（2008天津）已知函数f(x)???x?2,??x?2,x?02，则不等式f(x)?x的解集是( ) x?0

A.[?1,1] B.[?2,2] C.[?2,1] D.[?1,2] 答案 A

2.（2008江西）若0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1，则下列代数式中值最大

的是

（ ）

A．a1b1?a2b2 B．a1a2?b1b2 C．a1b2?a2b1 D．答案 A

1 23.（2008浙江）已知a，b都是实数，那么“a2?b2”是“a>b”的（ ）

A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D

4.（2008海南）已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范

围是 A.（0，

（ ）

1） a1 B. （0，

2） a12） a3C. （0，

1） a3 D. （0，

答案 B 5、（2008山东）不等式

x?5≥2的解集是

(x?1)2?1??2? （ ）

A．??3，?

??1?2?B．??，3?

C．?，1???1，3?

?1??2?D．??，1???1，3?

?1??2?解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知x?1排除B;由x?0符合可排除C;由

x?3排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。

答案D

6、（2007广东）设a,b?R，若a?|b|?0，则下列不等式中正确的是（ ）

3322A、b?a?0 B、a?b?0 C、a?b?0 D、b?a?0

解析 利用赋值法：令a?1,b?0排除A,B,C,选D