湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文

3.1函数非一致连续的定义

设f(x)为定义在区间I上的函数，若对任给的??0，存在???(?)?0，当

x',x\?I，x'?x\??时，有f(x')?f(x\??，则称函数f(x)在I上非一致连续.

3.2 函数在区间上非一致连续的判定方法

关于f(x)在区间I上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下三种方法来判定非一致连续：

（1）非一致连续的定义.

（2）f(x)在区间(a,b)上非一致续的充要条件是limf(x)与limf(x)至少有一个??x?ax?b不存在.

（3）f(x)在区间上非一致连续的充要条件:在区间I上的两数列{xn},{yn}，满足

lim?xn?yn??0，必有lim[f(xn)?f(yn)]?0.

n??n??假设函数f(x)在区间[a,??)上一致连续,则对于任意??0,存在??0,（不妨设

???）, 对于任意x?,x???[a,??), 且当x??x????时,f(x?)?f(x??)????成立.又因为2?f(x)dx收敛,故对上述的?,必存在M?0，当x?,x???M时,有|?ax??x?f(t)dt|??22,

?x?M，总存在x?,x??使x???x?x??M且x???x???,于是有:

??f(x)??x\x'f(x)dt??f(t)dt??f(t)dt

x'x'?x\x\?x??x?f(x)?f(t)dt??x??x?f(t)dt

?即

?2????22,

f(x)?

?????????, 2222x???x???于是, ???0,?M?0,当x?M时,有f(x)??,即limf(x)?0与limf(x)?0矛盾,所以假设不成立, 从而f(x)在区间[a,??)上非一致连续.

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定理3.2.1 函数f(x)在区间I上非一致连续的充要条件是在I上存在两个数列

'\'\'\?xn)?0，但当n??使，[f(xn，使lim(xnxn,xn)?f(xn)]不趋于0.

n??证明 （1）必要性，因为f(x)在区间I上非一致连续，则存在?0?0，取

?n?n??11'\'\'\,xn?I.当xn?0，存在数列xn?xn?时，有f(xn)?f(xn)??0，即当

nn'\'\)?f(xn)]不趋于0(n??). lim(xn?xn)?0时，[f(xn（2）充分性：若f(x)在区间I上一致连续，则对任给的??0，存在??0,对任

'\意x',x\?I.只要x'?x\??，就有f(x')?f(x\??.又因为lim(xn?xn)?0，则对上述

n??'\'\??0，存在N，对任何的n?N，有xn?xn??，所以f(xn)?f(xn)??，即

'\lim[f(xn)?f(xn)]?0，这与已知矛盾.所以f(x)在区间I上非一致连续. n??3.3 应用举例

例3.3.1 证明f?x??x2在区间?0,M?上一致连续（M为任意整数），在?0,???上非一致连续.

分析 利用定义. 证明 ???0，????2M，使得?x?,x????0,M?，x??x????，有

f?x???f?x????x?2?x??2?x??x??x??x????x??x???x??x???2M???.

f?x??x2在区间?0,M?上一致连续（M为任意整数）.

??n?1,xn???n,lim?xn??xn????0但是 在?0,???上取两个数列xnn?????f?xn?????1?0. lim?f?xnn??所以f?x??x2在?0,???上非一致连续.

例3.3.2 证明函数①f(x)?x2；②f(x)?ex在R上非一致连续.

'\证明 （1）在R上取两个数列xn?n?1,xn?n.

'\lim[xn?xn]?lim(n?1?n)?limn??n??n??1?0,

n?1?n但

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'\lim[f(xn)?f(xn)]?lim[(n?1)?n]?1?0 . n??n??由定理2.3.1.4知函数f(x)?x2在R上非一致连续.

'\(2)在R上取两个数列xn?ln(n?1),xn?lnn.

'\?xn)?lim[ln(n?1)?lnn]?limln lim(xnn??n??n??n?1?0. n但

'\lim[f(xn)?f(xn)]?lim[leln(n?1)?elnn]?lim[(n?1)?n]?1?0. n??n??n??由定理3.3.4知，f(x)?ex在R上非一致连续.

例3.3.3 设f?x?在?a,b?上连续，且处处不为0，证明

1f2?x?在?a,b?上一致连续.

分析 利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理2.3.1.5和一致连续定义的灵活应用.

证明 f?x?在?a,b?上连续，则f?x?在?a,b?上一致连续.

故???0,??0?0，对任意的x'，x\?I只要x'?x\??0，就有

f?x'??f?x\???2.

f?x?在?a,b?上连续，所以?M,m使m?f?x??M

1f2?x'??1 2f?x\?

?f2?x\??f2?x'?f2?x\?f2?x'? ? ?因此，

f?x'??f?x\?f?x'??f?x\?m4

2M?, m41f

2

?x?在?a,b?上一致连续.

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【参考文献】

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