湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文

推论2 f(x)在[a,??)内一致连续的充分条件：f(x)在(a,??)内连续，且

x???limf(x)存在且有限.

推论3 函数f(x)在(??,b]上一致连续的充分条件是f(x)在(??,b]上连续且

f(??)都存在.

推论4 函数f(x)在(??,b)上一致连续的充分条件f(x)是在(??,b)上连续且

f(b?o)和f(??)都存在.

定理2.3.1.5 若对于定义在区间I上的函数f(x)和g(x),?L?0,?x?,x???I, 有f(x?)?f(x??)?Lg(x?)?g(x??)成立,而g(x)在I上一致连续,则f(x)在I上也一致连续.

证明 对于任给??0，由于g(x)在I上一致连续，所以???0,使得对于?x?,x???I,只要x??x???,就有g(x?)?g(x??)??成立.故对于上述??0，结合已知条件有 L?=?成立， Lf(x?)?f(x??)?Lg(x?)?g(x??)?L?从而可知f(x)在I上一致连续.

推论6 若函数f(x)在区间I上满足下述Lipschitz条件,即?L?0,?x?,x???I,有f(x?)?f(x??)?Lx??x??成立,则f(x)在X上一致连续.

定理2.3.1.6 设f(x)在[a,??)上连续，且当x??时，f(x)以y?cx?d为渐近线，即lim[f(x)?(cx?d)]?0(c?0)，则f(x)在[a,??)上一致连续.

x???证明：已知lim[f(x)?(cx?d)]?0(c?0)，则由柯西收敛准则给的??0，存在正

x???数A?0，使得对任意的x',x\?[a,A]，就有

f(x')?(cx'?d)?f(x\?(cx\?d)??, 2?2f(x')?f(x\)?c?x'?x\?f(x')?f(x\)?c(x'?x\)?,

? 所以f(x')?f(x\)?c?x'?x\?，

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不妨设c?x'?x\?取?1??2，则x'?x\??2c.

?2c，于是??0，存在正数??0，x',x\?(a,A)，当x'?x\??时有

f(x')?f(x\?c??1??2??，

又已知：f(x)在闭区间[a,A?1]上连续，则f(x)在[a,A?1]上一致连续，对上述

??0，存在?2?0，x',x\?[a,A?1]，当x'?x\??2时，有f(x')?f(x\??，取

1,?1,?2}， ?=max{则当x',x\?(a,??)且x'?x\??时，则可同属于[a,a?1]或[A,??)无论哪部分都有 f(x')?f(x\??， 所以f(x)在[a,??)上一致连续.

2.3.2函数f(x)在区间上一致连续的充要条件

定理2.3.2.1 若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是

??0?x',x\?Ix'?x\??limsupf(x')?f(x\?0.

证明 (1)必要性:因f(x)在I区间上一致连续,则对任给的??0,存在?0?0,对任何x',x\?I,只要x'?x\??，就有f(x')?f(x\???，从而supf(x')?f(x\?，故当

2x',x\?I2x'?x\??0????0时，supf(x')?f(x\?x',x\?Ix'?x\???2??.所以limsupf(x')?f(x\?0. ???0x',x\?Ix'?x\??(2）充分性：由limsupf(x')?f(x\?0知，对任给的??0,存在?0?0,对任何???0x',x\?Ix'?x\??x',x\?I，只要x'?x\??0，就有supf(x')?f(x\??，取整数???0，当x',x\?I，

x',x\?Ix'?x\??x'?x\??时，f(x')?f(x\?supf(x')?f(x\??，所以函数f(x)在区间I上一致

x',x\?Ix'?x\??连续.

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定理3.2.2 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件为对任给的??0，对

x',x\?I存在N?0，当limn??f(x')?f(x\?N，有f(x')?f(x\)??.

x'?x\定理3.2.3 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是：f(x)在区间I上满足lim(xn?yn)?0的两个数列{xn},{yn}必有lim[f(xn)?f(yn)]?0

n??n??? 是 导函数是否有界 否 用定义是否易证 否 否 是否是周期函数 是 结束 连续函数f的一致连续性判断 是 由命题2.2.1证明一致连续 是 用命题2.2.5证明一致连续 I是否能看作I1?I2 否 I是否是有限区间 由命题2.2.2证明一致连续 是 由定理2.3.1.1 是 否 有限端点处极限是否存在 I是否闭区间 否 否 不一致连续 否 端点处极限是否存在 证明 否 由命题2.2.4知不一致连续 limf(x)是否存在 x??是 由命题2.2.4否 由命题2.2.4证明 A是否有限 limx??f'(x)?A 否 是 7 湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文

由命题2.2.6知一致

由定义证明 连续

否 由命题2.2.6不一致连续 2.4 应用举例

例 2.4.1： 证明：f(x)?cosx在?0,???上一致连续. 证明：?0,???=[0,1]??1,???，在?1,???上成立不等式 |cosx'－cosx\|≤|x'－x\|≤x'?x\|，

f(x)在?1,???上满足Lipthitz 条件，从而在?1,???上一致连续。又cosx在?0,1?上连

续，由Cantor定理cosx在?0,1?上一致连续。综上所述，cosx在?0,???上一致连续。

应用：我们利用Cantor定理还可以得到较为实用的判定方法。

设I=?a,???,f(x)在I上连续，f(x)?A(x???)，则f(x)在I上一致连续。 证：因为f(x)?A(x???)，由Cauthy准则知，对

???0,?M?0,当x1,x2?M时，有

|f(x1)?f(x2)|?? （1）

又由于f(x)在?a,M?1?上连续，有Cantor定理知f(x)在?a,M?1?上一致连续，故对上述的??0,存在?1?0,当x3,x4??a,M?1?且|x3?x4|??1时，有

|f(x3)?f(x4)|?? （2）

(2)两式均有取??min??1,1?，则对x',x\??a,???,且|x'?x\|??时，有(1)，|f(x')?f(x\)|??，有一致连续性定义，f(x)在?a,???上一致连续，命题得证。

例2.4.2 函数

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