湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文

关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法

胡辉（指导老师，许绍元教授）

（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）

1.前言

本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论 ，并举例说明其应用。这对证明函数的一直连续性具有一定的指导作用，函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一，大多数学分析教材对这方面的讨论较少，学生对一直连续性证明的掌握往往不够，单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难，因此本文给出了几个证明函数一致连续的方法，并举例说明其应用，以供读者参考。

本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍，首先是给出了函数一致连续的定义，用?,?语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致连续的概念，并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理，总结了函数一致连续的充分条件和充要条件，并给出了函数非一致连续证明的充要条件，然后是给出了证明函数一致连续的程序流程图，仔细地分析了各类函数是否一致连续，并给出了相关证明的技巧。

在给出证明技巧以后，我又总结了各种证明技巧的典型例题，给出例题的同时，给出了证明的各种思路和技巧，分不同的方法和思路给出了证明，在证明过程中先给出证明思路，然后给出了证明过程，为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技巧。最后，我觉得函数一致连续的证明，一切都是源自于一致连续的定义，在理解函数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性质。

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2.函数一致连续

2.1函数一致连续的定义

设f(x)为定义在区间I上的函数，若对任给的??0，存在???(?)?0，使得对任何x',x\?I，只要x'?x\??，就有f(x')?f(x\??，则称函数f(x)在区间I上一致连续.

2.2 证明函数一致连续的相关真命题

命题2.2.1 设f(x)在区间I上有有界导数，则f(x)在区间I上一致连续. 命题2.2.2 设f(x)为连续的周期函数，则f(x)一致连续.

命题2.2.3 设f(x)在有限开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limf(x)及limf(x)存在.对于区间[a,b)和区间(a,b]也有类似的结果. ??x?ax?b证明：充分性：由f(x)在有限开区间(a,b)上连续，有对任给的??0，存在正数

??0，?x',x\?(a,b),x'?x\??，有f(x')?f(x\??.特别的，当x',x\?(a,a??)时，

有f(x')?f(x\??.根据柯西收敛准则知，limf(x)存在.同理可证limf(x)存在. ??x?ax?b必要性：因为limf(x)与limf(x)存在，令 ??x?ax?b?lim?f(x),x?ax?a??F(x)??f(x),x?(a,b)

?limf(x),x?b??x?b?F(x)在[a,b]上连续，从而F(x)在[a,b]上一致连续，因此f(x)在(a,b)上一致连续.

推论 1 函数f(x)在(a,b]内一致连续的充要条件是f(x)在(a,b]上连续且

x?a?limf(x)存在.

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推论 2 函数f(x)在 [a,b)由一致连续的充要条件：f(x)在[a,b)内连续，且

x?b?limf(x)存在.

命题2.2.4 若f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)?A（有限），则在[a,??)上

x???一致连续.

证明 因为limf(x)?A，则对任给的??0，存在正数M?a，只要x',x\?M，

x???就有f(x')?f(x\??.又因为f(x)在[a,M?1]上连续，则f(x)在[a,M?1]上一致连续，即对上述??0，存在??0，对任何x',x\?[a,M?1],x'?x\??，有

f(x')?f(x\??.于是对任何x',x\?[a,??)，只要x'?x\??或x',x\?M，就有

f(x')?f(x\??，所以f(x)在[a,??)上一致连续.

对于区间(??,a]和(??,??)也有类似的结果，对于区间(??,a)和(a,??)可以用命题3和命题4判别一致连续性.

命题2.2.5 设区间I1的右端点为c?I1，区间I2左端点也为c?I2，若f(x)分别在区间I1和I2上一致连续，则f(x)在I1?I2上也一致连续.

命题2.2.6 设f(x)在[a,??)上可导，且limf(x)?A，则f(x)在[a,??)上一

x???致连续的充要条件A为有限数。对于(??,a]和(??,??)也有类似的结果.

2.3 函数一致连续相关定理

2.3.1函数f(x)在区间上一致连续的充分条件

定理2.3.1.1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续. 定理2.3.1.2 设f(x)在[a,??)上连续，g(x)在[a,??)上一致连续，且

lim[g(x)?f(x)]?0，则f(x)在[a,??)上一致连续.

x??证明：因为lim[g(x)?f(x)]?0，则对任给的??0，存在正数M?a，当x?Mx??时，有g(x)?f(x)??3.又因为g(x)在[a,??)上一致连续，则对上述??0，存在

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??1?0，只要x'?x\??1，就有g(x')?g(x\?，因此对任何x',x\?[a,??)，

3x',x\?M，x'?x\??，有:

f(x')?f(x\)?f(x')?g(x')?g(x')?g(x\)?g(x\)?f(x\)??，

而f(x)在闭区间[a,M?1]上一致连续.即对上述?2?0，只要x',x\?[a,M?1]，

1,?1,?2}，则当x',x\?[a,??)，x'?x\??2，就有f(x')?f(x\??，取?=max{x'?x\??时，有f(x')?f(x\??，所以f(x)在[a,??)上一致连续.

定理2.3.1.3 设函数f(x)在区间I上可导，其导数f'(x)在区间I上有界，则

f(x)在区间I上一致连续.

证明：因为f'(x)在区间I上有界，则存在正数M，对任意x?I，有f'(x)?M.对任给的??0，取?n??M?0，对任何x',x\?I.只要x'?x\??，则

f(x')?f(x\?f'(c)x'?x\?M???，

M其中c在x'与x\之间，所以f(x)在区间I上一致连续.

定理2.3.1.4 设函数在(??,??)内一致连续的充分条件：f(x)在(??,??)内连续，且limf(x)和limf(x)存在且有限.

x???x????证明：（1）先证f(x)在[a,??)上一致连续.

因为limf(x)?A（有限），则对任给的??0，存在正数N?a，使得对任意的

x???x',x\?N，就有f(x')?f(x\??.又因为f(x)在[a,N?1]上连续，则f(x)在[a,N?1]上一致连续，即对上述??0，存在??0，对任何x',x\?[a,N?1],x'?x\??，有

f(x')?f(x\??.于是对任何x',x\?[a,??)，只要x'?x\??或x',x\?N，就有f(x')?f(x\??，所以f(x)在[a,??)上一致连续. 同理可证明f(x)在(??,a]上一致连续.

推论1 f(x)在(a,??)内一致连续的充分条件：f(x)在(a,??)内连续，且

x?a?limf(x)与limf(x)存在且有限. ?x?b 4