数字通信复习题
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第一章 通信信号和系统的特性与分析方法 1.1 信号的正交表示 1.1.1 N维空间 ??N维向量空间性?P3?N维信号空间?内积定义、信号的正交
?波形抽样正交法1.1.2 白噪声中的信号正交表示?
Schmidt正交法?白噪声以任意正交基展开，它们的分量{nj}都是相互独立的高斯变量，即，nj~N(0,?2) （证明 P8）
1.1.3 非白噪声中的信号正交表示 P9
1.2线性均方估计与正交性原理 P13
?H空间的特点?1.2.1 希尔伯特空间?最小均方估计
?正交性原理?最小均方误差的条件?1.2.2随机变量的H空间与最小均方误差估计 P15
1.3匹配滤波器（MF）
MF等效于相关器 证明 P18
1.4 实带通信号与系统的表示
形式?s(t)的能量P19?实带通信号的三种表示?就是其对应的复带通信号P21 ?关于解析信号?实带通信号的解析信号?等效低通分析方法?带通信道的等效低通模型P22?
1.5带通平稳过程（带通高斯噪声）
及其统计特性?实带通高斯噪声的表示?函数P23 ?相关函数与功率谱?窄带高斯噪声的自相关?噪声平均功率（方差）的计算?1.6 数字调制信号的表示（线性无记忆调制信号）P26
?数字调制信号-带通信号??数字调制模型-g(t)波形设计的考虑-P26?带信号举例?数字调制信号的等效基?号的表示方法-信号向量、星座图、欧氏距离、互相关函数P29?线性无记忆数字调制信?七种线性无记忆数字调制信号的表示PAM/DSB、PSK、QAM、正交多维信号、双正交信号??生成的信号波形-P31?---------------------------------单纯信号、由二进制码1
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?带通信号的相关?方法?求实带通信号功率谱的?1.7 数字调制信号的功率谱?求?uu(?)及?uu(f)的一般式-P42
?{I}实不相关序列、{In}实相关序列?n?功率谱?uu(f)?P45?数字调制信号复包络的
1.8 CPFSK（相位连续FSK）与CPM（连续相位调制）信号及其功率谱 —P51 MSK（最小频移键控）P57
1.9 数字通信系统性能的评估：单极性基带传输、双极性基带传输、OOK、BPSK、QPSK
第二章 数字信号最佳接收原理 2.1 引言
?最小错误概率准则?MAP）2.2 最佳接收准则?最大后验概率准则（ P67
?最大似然函数准则（ML）?2.3 白噪声中确知信号的最佳接收
2.3.1二元确知信号的最佳接收机的结构 P71
2.3.2二元确知信号的最佳接收机的性能及最佳信号形式P73 2.4非白噪声中确知信号的最佳接收（M元）P76
2.5在有符号间干扰和非白噪声中确知信号的最佳接收P80
第三章 加性高斯噪声中数字信号传输
3.1 数字调制信号的波形及信道的特征P85
*3.1.1 匹配滤波器输出判决变量的统计特性P87
不相关与统计独立的关系?两个随机变量的正交、?噪声的统计特征?匹配滤波器输出复高斯 ?量的统计特性?匹配滤波器输出判决变?两个相互正交匹配滤波器输出判决变量的统计特性?3.2 在AGN信道中二元确知信号的最佳解调
3.2.1 在AGN信道中二元确知信号的最佳解调—性能P92
?最佳解调器结构?3.2.2 M元正交信号最佳解调?性能分析—PM、Pb P95
?带宽效率?*3.2.3 M元双正交信号最佳解调P99 3.2.4 M元PSK信号的最佳解调P102 3.2.5 M元PAM信号的最佳解调 P111
3.2.6 APM（或APK）信号最佳解调（组合多幅多相调制信号）P115
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?为什么采用APM??APM的星座图对Pav、PM的影响??QAM系统P120 ??QAM信号最佳解调性能分析?QAM系统的带宽效率???QAM系统与MPSK系统的比较3.3 在加性高斯噪声中（AGN）随信号的最佳解调
P126?系统的描述—等效低通复高斯噪声 ??最佳接收机的结构3.3.1 在AGN中二元正交随相信号的最佳解调（非相干检测）P129
?最佳解调器及判决变量 ??性能分析Pb3.3.2在AGN中M元正交随相信号的最佳解调P132
??最佳解调器及判决变量? ?求PM?R?M元频率正交信号非相干检测的W?3.4 加性高斯白噪声信道的最佳接收机P136
3.4.1受AWGN恶化信号的最佳接收机(5.1节学习要点)
1. AWGN信道下最佳接收机 2. 最佳接收准则与相关度量
3.4.2无记忆调制的最佳接收机（5.2节学习要点）P146
1. 二进制调制的错误概率(5.2.1) 2. M元正交信号的错误概率(5.2.2) 3. M元PAM的错误概率(5.2.6) 4. M元PSK的错误概率(5.2.7) 5. QAM错误概率(5.2.9)
3.4.3 AWGN信道中随相信号的最佳接收机(5.4节学习 要点)P152
二进制随相信号的最佳解调(5.4.1)
补：关于匹配滤波器输出噪声方差的分析P160
第五章 在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输
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ISI的分析?对信道及其产生?计?消除ISI的条件及信号波形的设? P187 ?最佳接收机的分析方法?最佳解调器的结构???最佳接收机性能的比较?信道的数学模型??c(t)对ISI的影响5.1 带限信道的特性? P192
?群时延特性?(f)影响?举例：DSB、QAM?5.2带限信道的信号设计 系统模型（等效低通）P193
5.2.1 零符号间干扰的带限信号的设计P194
?零符号间干扰的条件? ?奈奎斯特准则?升余弦特性?5.2.2 具有受控ISI的带限信号的设计（部分响应信号）
?零ISI波形的优点 P200 ??PRS波形的基本思想?双二进制信号的产生??接收机检测双二进制部分响应信号的传输? P203
题及其解决方法?双二进制信号存在的问?双二进制信号的预编码?变型双二进制部分响应信号的传输P204
补：双二进制PRS系统、变型双二进制PRS系统P207 5.2.3 部分响应信号传输的一般原理
??PRS结构部分响应信号的产生??频域分析P212?部分响应系统的时域和?? ?符号的检测与性能分析?方法P218?消除差错传播的条件及?预编码及系统性能分析???预编码器结构?5.3 在不变信道条件下的最佳解调P221
5.4在可变信道条件下的最佳解调（自适应接收机）P224 等效的离散信道模型?5.5 线性均衡P233
?系统的非白AGN信道的等效模型等效模型?系统的白化噪声信道的
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?对最佳离散系统的要求? ?最佳离散系统的结构?调整抽头系数{cj}的最佳准则?5.5.1 峰值失真准则和迫零算法
则?峰值失真和峰值失真准?ZF均衡器P238?无限抽头系数的??无限抽头ZF均衡器的性能 ??有限抽头的ZF均衡器?最速下降递推算法（或迫零算法）???ZF均衡器存在的两个问题5.5.2 均方误差准则（MSE）和LMS算法P247
1. 均方误差准则；
2. 无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）； 3. 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）； 4. LMS算法；
5. 均衡器的操作；
6、递推LMS算法收敛特性的分析
5.6判决反馈均衡（DFE）P263 5.7 分数均衡器（FSE）
第六章 多径衰落信道上的数字信号传输 6.1 多径衰落信道的数学模型与分类P287
?电磁波的传播机制??散射?6.1.1无线信道的特性?大尺度衰落
?小尺度衰落??P290?多普勒频移和衰落频率??冲击响应与传输函数一般性描述??函数?信道自相关函数与散射??6.1.2信道的数学描述?之间的关系P295 ?信道相关函数与功率谱?特征描述?多径扩展谱与多径扩展???多普勒扩展谱与多普勒?扩展???信道分类P298?衰落）信道的进一步说明 6.1.3信道的分类?关于非色散（非选择性?8PSK?P299?5
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6.1.4 移动信道的模型（多径衰落信道）P300
其响应?时变线性滤波器模型及?性P301 ?多径衰落信道的统计特?频率非选择性慢衰落信道模型—瑞利衰落模型?6.2 在频率非选择性慢衰落信道上二进制数字信号传输P306 6.3 多径衰落信道的分集技术P314
?移动信道的损伤??分集的原理和方法 ??合并的方法?分集性能的评价P320?6.3.2二进制信号的分集接收性能P322
1、PSK相干检测分集接收性能
2、正交FSK相干检测分集接收性能 3、正交FSK非相干检测分集接收性能 (*)4、DPSK分集接收性能
6.4在频率选择性慢衰落信道中数字信号的传播 6.4.1信道模型P327
6.4.2RAKE接收机（解调器）P328
6.4.3频选信道模型及RAKE接收机的应用P330
一、计算和推导
1、 PAM等效低通信号为u(t)?nn需信道估计器 不用信道估计器
?Ig(t?nT)假设g(t)是幅度为A间隔为T的矩形脉冲。
{In}是不等概取值(0,1)的二进制随机序列，P(0)?P，P(1)?1?P。试求u(t)的功率谱。
P43、44 题1.5 解：?In? g (t) u(t)?n????I?ng(t?nT)
功率谱 傅里叶变换
(f) ?uu(f)??ii(f) G12G(f)?ii(f) T{In}为不相关实序列，利用式（4-4-18）
ui2?uu(f)?G(f)?2TT2?i2mmG()?(f?) ?TTm????2a．求?i，?i2
ui?E[In]?P?0?(1?P)?1?1?P
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?i2?E[(In?ui)?]?P(1?P)2?(1?P)P2?P(1?P)
代入式（4-4-18），得
?11mm22?uu(f)?P(1?P)G(f)?2(1?P)?G()?(f?)
TTTTm???b．因为g(t)是矩形脉冲
G(f)?(AT)2(2sin?fT2)?(AT)2Sa2(?fT) ?fT代入：?uu(f)?P(1?P)A2TSa2(?fT)?(1?P)2A2?(f)
2、窄带高斯噪声n(t)=Re[z(t)e式中，?zz(?)?证明：n(t)j2?fct]。证明n(t)自相关函数?nn(?)＝Re[?zz(?)ej2?fc?]，
1E[z*(t)z(t??)]。 21?[z(t)ej2?fc??z*(t)e?j2?fct] 21n(t??)?[z(t??)ej2?fc(???)?z*(t??)e?j2?fc(t??)]
21?nn(t,?)?E{z(t)z(t??)ej2?fc(2t??)?z(t)z*(t??)e?j2?fc?4故
?z*(t)z(t??)ej2?fc??z*(t)z*(t??)e?j2?fc(2t??)}但是
E{z(t)z(t??)}?0 ，故
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?Re[?zz(?)ej2?fc?]3、PAM/DSB信号表示为
?nn(?)?E{z(t)z*(t??)e?j2?fc??z*(t)z(t??)ej2?fc?}
sm(t)?Re[Amg(t)ej2?fct]?Amg(t)cos2?fct，0≤t≤T, m=1, 2,…, M。
1. 试论证标准正交函数（1维）为
sm(t)?smf(t)
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f(t)?sm(t)Amg(t)cos2?fct??Em12AmEg22g(t)cos2?fct Eg并画出2ASK的标准星座图（坐标要求标上）。
2. 讨论单载波的标准正交函数集（2维）
sm(t)?sm1f1(t)?sm2f2(t)
即证明以下函数的标准正交性。
?f1'(t)2f(t)??g(t)cos2?fct?1EgEm1? ?'?f(t)?f2(t)??2g(t)sin2?ftc?2EEgm2?证明：1、sm(t)?Re[Amg(t)ej2?fct]?Amg(t)cos2?fct，0≤t≤T,m=1,2,…,M
Am?(2m?1?M)d
sm(t)的能量为 其中
Em??T02sm(t)dt?12AmEg 2Eg??g2(t)dt 为g(t)的能量
0T标准正交函数（一维）：
sm(t)?smf(t)
f(t)?sm(t)Amg(t)cos2?fct??Em12AmEg22g(t)cos2?fct Eg2ASK
2、信号表示：sm(t)?Re[g(t)ej2?(m?1)/Mej2?fct]
?g(t)cos[2?fct?2?(m?1)] M8
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?g(t)cos2?2?(m?1)cos2?fct?g(t)sin(m?1)sin2?fct M?M?????????????????????????f1'(t)?Em1f2'(t)?Em2能量：Em?E?T?T02sm(t)dt?1T211g(t)dt?Es?E?AEg gmmm?0222
Em1??f1'2(t)dt?0Em2??T012?
Egcos2(m?1) 2M12?f2'2(t)dt?Egsin2(m?1)
2M标准正交函数集（2维）：
sm(t)?f1'(t)?f2'(t)?sm1f1(t)?sm2f2(t)
?f1'(t)2f(t)??g(t)cos2?fct(4?3?14)?1EEm1g? ?'?f(t)?f2(t)??2g(t)sin2?ft(4?3?15)c?2EEgm2?sm1?Em1?Eg2Eg2cos2?(m?1) M2?(m?1) Msm2?Em2?信号向量：sm?[sm1,sm2]
sin4、若实带通信号为 a(t)?Reu[t(e)?j2?cft和q](t)?Re[v(t)ecj2?fct]。试论证互相关函数为
12?aq(?)??a(t)q(t??)dt?Re[?uv(?)ej2?f?]，式中，?uv(t)????u?(t)v(t??)dt。以及
???自相关函数为?aa(?)?Re[?uu(?)ej2?fc?1]，式中，?uu(t)????u?(t)u(t??)dt
2?证明：具有相同载频fc的两个实带通信号分别为
a(t)?Re[u(t)ej2?ft] q(t)?Re[v(t)ej2?ft]
则a(t)和g(t)的互相关函数为
11?aq(?)??a(t)q(t??)dt?Re{ej2?fc??u(t)v(t??)ej4?fctdt}?Re{ej2?fc??u*(t)v(t??)dt}22??????上式的第一个积分的被积函数中u(t)和v(t)是低通函数，其变化相对于周期函数
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exp(j4?fct)的周期12fc缓慢得多，所以对t按逐个周期进行积分，所得结果为0.因此，
在窄带条件下，互相关函数?aq(?)可以简化为
?aq(?)?Re{ej2?fc?1*j2?fc?u(t)v(t??)dt}?Re{?(?)e} u??2????1其中复包络?u?(?)??u*(t)v(t??)dt
2??利用上述互相关函数的分析结果，容易得到实带通信号x(t)的自相关函数
?aa(?)?Re{ej2?fc?1*u(t)u(t??)dt}?Re{?uu(?)ej2?fc?} ?2???1其中?aa(?)??u*(t)u(t??)dt
2??
1、 试证明匹配滤波器等效于一个相关器。 证明：
?s(t)(0,T)?y(t)MFh(t)u(t)??h(t??)y(?)d?0tn(t)t0h(t)?s(T?t)t0
u(t)??h(t??)y(?)d???s?T?(t??)?y(?)d?
当t?T时，u(T)??s(?)y(?)d?
0T
6、在一般情况下，由误码率转换到误信率PM?Pb取决于映射规则。试论证
2k?11Pb?kPM?PM
22?1
并论证采用Gray 编码时
Pb?1PM k证明：1、在最坏情况下，M元信号，（M-1）种差错等概出现，（注：只有一种情况是正确
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的）则单种符号差错的发生概率为
PMk。令M?2，则一个符号差错，可能M?1有n?k个比特发生了差错，且发生n个比特差错的情况随比特的位置不同而不同，即共有???Ckn种组合或情况。故这k个比特中（一个符号中）平均有
?k??n??k?PM?k?PMk!k?1PM n?n???k2???k???kkn2?1n!(k?n)!2?12?1n?1???n?1?k个比特发生差错。除以k（种位数）可以得到
2k?11Pb?kPM?PM
22?1对一个符号来说，发生误比特一定发生误码，但发生误码不一定发生误比特。
2、Gray Coding
相邻符号只相差1bit，而每一符号包含k?log2Mbit。
Pb?
1PM（误比特率最小情况） kT2、 若白高斯噪声经过相关器，则输出噪声为Nm?Nmr?jNmi?的复高斯随机变量。则其方差为
?0?z(t)um(t)dt。是零均值
?2?var(Nm)?2EN0，且有
)?2?vaNrm(?)Nv?(marr证明：
。N)m ivar(??ENm????T0T2m2?T?T??????E??z(t)um(t)dt?z(?)um(?)d?????0???0?T0T?E?z(t)z?(?)?um(t)um(?)dtd??N0?(t??)um(t)um(?)dtd??um(t)um(t)dt
??N?00T00所以：
??N0?um(t)dt02mT2
?2EN01T2其中，E??um(t)dt
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8、实带通正交信号可以表示为sm(t)?Re[um(t)e11
j2?fct]，若其复包络为
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um(t)?Aej2?(m?1)?ft，m=1,2,…,M。相邻频率间隔为?f，试论证相邻频率复包络相关系数
为??1T*?j??fTu(t)u(t)dt?Sa(?T?f)e。以及实带通信号相关系数为 12?02E?r?Sa(?T?f)cos?T?f?Sa(2?T?f)和|?|?Sa(?T?f)。正交条件各是怎样的，具有
什么意义？
112证明：波形能量Em??S(t)dt??um(t)dt?A2T
20202mTT相邻频率复包络相关系数：
11*?j2??ft??u(t)u(t)dt?A?Aedt122?2E?AT001111??e?j2??ftdt?[e?j2??ft]T?[1?e?j2??fT]0 T0T?j2??fj2??fT?11e?j??fT[ej??fT?e?j??fT]?sin(??fT)e?j??fTj2??fT??fTTTT?Sa(?T?f)e?j??fT实带通信号相关系数：?r?Re[?]?Sa(?T?f)cos(?T?f)?Sa(2?T?f)
??Sa(?T?f)
1 (k?0)时 ，???r???0 T1即频率间隔为?f?k(k?0)的两个信号正交
T可知，当?f?k
9、N维空间中，r(t)在{fk(t)}k?1,2,?,N上的投影分量为rk?smk?nk。式中，第k个分量，即在fk(t)上的投影为
?s?(s(t),f(t))?Ts(t)f(t)dtmk?0mk?mkT?n?(n(t),f(t))??kk?0n(t)fk(t)dt ?T?rk?(r(t),fk(t))??0r(t)fk(t)dt?在RN空间,信号没有任何损伤,带外噪声被滤除了。试证明，nk~N(0,?2)，统计独立，
?2?1N0。 22证明：根据定义?2?E(nk，则 )（实信号和噪声）
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T2T??E(?n(t)fk(t)dt?n(s)fk(s)ds)00TTTT?E??n(t)fk(t)n(s)fk(s)dsdt???E[n(t)n(s)]fk(t)fk(s)dsdt0000TTTT???Rn(t?s)fk(t)fk(s)dsdt???0000N0?(t?s)fk(t)fk(s)dsdt2
N?02T?0fk2(t)dt?N0210、非白AGN信道的等效模型中收信号为r(t)?声自相关为
?Ih(t?nT)?z(t)，试证明MF输出噪
nn??vv?m??E(vkvk?m)?N0xm,|m|?L
12式中L是信道的阶数，噪声已经非白色的。 证明：噪声经过MF有：
????v(t)?h?(?t)?z(t)?对上式抽样可以得到
???（t??))z(?)d???h(??t)z(?)d? ?h(???
?h?(??kT)z(?)d?
vk?v(kT)???故有MF输出噪声自相关为
11??vv?m??E(vkvk?m)?E[?h(??kT)z?(?)d??h?(t?(k?m)T)z(t)dt]22??????1??h(??kT)h(t?(k?m)T)?E[z(?)z(t)]d?dt??2????????????????h(??kT)h(t?(k?m)T)?N?(??t)d?dt0???????
?N0?N0??h(t?kT)h(t?(k?m)T)dt?N0h(t)h(t?mT)dt?N0?????h(t)h?(t?mT)dt?????h(t)h?(?(mT?t))dt??N0?ht?h????t????t?mT?N0xm,|m|?L式中L是信道的阶数，噪声已经非白色的。
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11、采用无限长LMS均衡器,试证明合成(等效)均衡器的表达式为C??z???1X?z??N0，以
及估计的最小均方误差为Jmin?1?0j????cj?jf。并说明当采用有限长LMS均衡器时
Jmin(K)?1?j??K?cj?jf。
证明：1、从正交条件出发，
E??kv*k?l??0，或E[(I??cvkj????jk?j*)vk?l]?0
则
j????cE?vj?*k-jvk-l??E?（*） 正交条件 vI*?k????kl
（*）式左边：
?????***???E?vv?EfI??fI?????nk?j?nk?j???mk?l?mk?l???k?jk?l?nm???????***? ?E???fnfmIk?j?nIk?l?m??k?j?k?l??nm?** ???fnfmE?Ik?j?nIk?l?m??N0?ljnm
式中，vk??fInnnk?n??k，E[?k]?0
***?E[vk?jvk]?ff??N??f??nmn,m?l?j0lj?mfm?l?j?N0?lj?lmm ??fn*fn?l?j?N0?ljn?0L
? l?j?L?xl?j?N0?lj， ??????(A) (10-2-29)??0，其他
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?X?z??F?z?F*?z*?1??xk?fn?f?*n??f?*lfk?ll??fl*fl?k，??fn*fn?k，ln?0L
?（*）式右边：
?fn?0L*nL?(l?j)fn?l?j??fn?0*nfn?l?j?xl?j
*******E(Ikvk)?E{I[fI??]}?fE{II}?E{I????lknk?l?nk?lnkk?l?nkk?l} ?????nnc?k,k?l?n, c?1式中，?k,k?l?n??l,?n?1，当n??l ??0，当n??l??f?*l ， ?L?l?0，??fn?，n?0，，， 1 2?，L??E?Ikv??? (B)
??0*k?l将（A）、（B）两式代入（*）式：
j????c[xj?l?j?N0?lj]?f?*l
???1取z变换： C?z?[F?z?F(z)?N0]?F?(z??1)
F?(z??1)则 C?z?? ???1F(z)F(z)?N0 等效均衡器： C??z??2、
2*?*)]?E[?I*]?E[??c*v*]J?E[?k]?E[?k(Ik?Ikkkkjk?jj11 ????1F(z)F(z)?N0X?z??N0?)I*]?E[I2]?E[I*(?cv)]?Jmin?E[(Ik?Ikkkkjk?jj* ?c??cjE[vk?jIk]?c(1??cjf?j)jj
归一化，c?E[Ik]?1?Jmin?1?
12、试证明无限抽头ZF均衡器的输出噪声功率为
j???2?c?jf?j (10-2-34)15
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TN0?Td?N0?d? ?????j?Tj?????2?TX?e?2?X?e?2n证明：
?nn?z???zz?z??X?z??C??z??C?*?z*?1? ?N0X?z??
1X?z?? N01**?1? ?Xz?Xz????X*?z*?1?X?z?令z?ej?T，得输出低通离散噪声?nk?的周期谱
?nn?ej?T??N0??nn??? j?TX?e?注:对于归一化的频率有?nnej??2?n???N0, 则输出噪声序列的功率为
X?ej??12??????nn?ej??d?
上式中频率为数字频率（无单位）。现将频率改为普通频率（暂时记为?），则???T。
1故得??2?2n???/T?/T?nn?ej?T?d?T，即
T??2?2nTN0??d?????Tnn??2??T????TTd?（上式中频率已改为普通角频率（rad/s）。） j?TX?e?
13、假设h(?;t)是广义平稳（WSS）的，即Rh(?1,?2;?t)?1E?h?(?1;t)h(?2;t??t)???。试2证明在多普勒频率域（?域）信道相关函数是不相关的。即，令s(?;?)=F{h(?;t)}（称为多普勒频率可变信道冲激响应），试证明下式成立
Rs(?1,?2;?1,?2)?1?E?s(?1;?1)s(?2;?2)?? 2?=Rs(?1,?2;?1)?(?1??2)。
证明：S(?,?)??????Rh(?;?t)e?j2???td?t
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14、假设h(?;t)是不相关（US）的，即
Rh(?1,?2;t1,t2)?1?E?h(?1;t1)h(?2;t2)?? 2??Rh(?1;t1,t2)?(?1??2)。
试证明在频率域（f域）信道相关函数是平稳的。 证明： RH(f1,f2;?t)? 利用??1?E?H(f1;t)H(f2;t??t)?? 2???h(?1;t)?H(f1;t)??
?h(?2;t)??H(f2;t)??H(f;t)??h(?;t)e?j2?f?d? 代入定义式可得：
???1???j2?f1?1RH(f1,f2;?t)?E?h(?1;t)ed?1?h(?2;t??t)e?j2?f2?2d?2?
???????2?1??j2?f1?1?j2?f2?2?????E?h(?;t)h(?;t??t)eed?1d?2 12??????2???????????Rh(?1;?t)?(?1??2)ej2?f1?1e?j2?f2?2d?1d?2
?j2??f?1????R(?;?t)eh1d?1?RH(?f;?t)，其中?f?f2?f1。
与时间无关，所以是平稳的
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数字通信复习题
二、 总体系统方面
1、 数字通信系统可靠性和有效性的评价指标是什么？
可靠性：可以用差错率来衡量，差错率常用误码率和误信率表示
误码率Pe：Pe?错误码元数 Pe-max=1/2
传输总码元数误信率Pb：Pb?错误比特数
传输总比特数有效性：可以用传输速率和频带利用率来衡量
码元传输速率RB：若每个码元的长度为T秒，则RB=1/T（Baud） 信息传输速率Rb：Rb?RB?log2M（b/s） 频带利用率：单位频带内传输的比特率
R(bit/s/Hz) W
2、 在AWGN信道条件下最佳接收准则。P67
AWGN(Additive White Gaussion Noise) 加性高斯白噪声，在通信上指的是一种通道模型（channel model），此通道模型唯一的信号减损是来自于宽带（Wideband）的线性加成或是稳定谱密度（以每赫兹瓦特的带宽表示）与高斯分布振幅的白噪声。
① 最小错误概率准则 在M元数字通信系统中：
接收信号向量M元 ?xi?(i?1,2,?,M)统计独立P(xi)判决变量?AWGNy判决x1xMdj?x2?j?i,正确判决e?j?i,错误判决?P?18
x3判决区域
数字通信复习题
该M元系统的错误概率为：Pe???P(di?1j?1j?iMMjxi)P(xi)，使Pe最小的准则就是最小错
?MM???误概率准则，Pe?min???P(djxi)P(xi)?
1?i?1jj???i??
②最大后验概率准则（MAP准则）
最小错误概率准则等价于最大后验概率准则：Pxiy?max 判xi ③最大似然函数准则（ML准则）
发送符号等概条件下：Pyxi?max 判xi成立，（i=1,2,…,M） 不等概条件下： P(xi)Pyxi?max 判xi成立，（i=1,2,…,M）
结论：在发送信息符号等概条件下，MAP准则与ML准则等价，亦即三个准则也是等价的。
3、 二进制数字调制系统最佳接收机的类型及结构。P71、72
?????????T0()dt?E12比较y(t)s1(t)?s2(t)T0()dt?E22
当E1?E2时，可简化为：
???T0()dth1(t)?s1(T?t)比较器y(t)s1(t)y(t)h2(t)?s2(T?t)比较器?s2(t)T0()dt相关器实现最佳接收机匹配滤波器实现最佳接收机
4、 MLSE接收机的原理结构框图。P187 四 MLSE接收机（有自适应能力）
图2
) MF c ( t
z(t)
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VA 数字通信复习题
5、 分析最佳接收机有哪两种基本点方法？给予简要说明。P187 三 1. 综合法－根据最佳接收准则（MLSE准则）导出最佳接收机的结构
（称为MLSE接收机）和算法，并分析其性能。
2. 分析法－分析影响系统性能的信道损伤（ISI和噪声），用联合最佳化得到
最佳接收机（称为最佳自适应接收机）和算法，并分析其性能。
信道损伤：ISI和噪声。
? ISI＝0。 最佳化方法：奈氏准则和信号波形设计。 ? 噪声及残余ISI影响最小化。最佳化的方法：
△ 最大SNR与MF
△ LMS（LS）准则与AF(AF)。
图1 信号 Pe最小 噪声 ISI 判决器 在不同意义准则条件下，对系统性能影响的效果不同。
两种分析方法的比较：
① 两者目标一致—最佳接收（P： e最小）
综合法导出MLSE最佳接收机。 分析法导出最佳自适应接收机。
②不完全等价，两种最佳接收机性能上有一定差别。 在理想信道条件下（AWGN信道），则等价。
6、 什么是奈奎斯特准则？满足奈奎斯特准则的最常用的传输特性是什么？P195 Nyquist准则：若X?f?满足：
?1，n?0n??，则 Xf??T??xnT?????T??n????0，n?0?1rs?T，f?(或)??n????2T2Xeq?f???X?f????
1T??n????0,f???2T含义：对速率为（
11）的符号序列，等效信道特性Xeq?f?只要满足截止频率为（）的
2TT理想低通特性，则ISI=0。
W?r11 奈氏带宽（或s），rs??2W奈氏速率，Xeq?f?奈氏等效信道。 2TT2满足奈奎斯特准则的最常用的是升余弦特性
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数字通信复习题
7、 在AWGN信道条件下最佳基带传输系统的发送和接收滤波器是什么样的滤波器？P221 一．理想信道条件下：C?f??1
?an???Xf????????????????????? C?f??1GT?f?GR?f?+gT?t?z?t????t?gT判决~??an
最佳条件：?则：
满足奈氏准则?X?f??GT?f?GR?f? ， ??GR?f??GT?f?2X?f??GR?f?
12幅频特性：GT?f??GR?f??X?f?
在理想条件下，X?f?为线性相移（设相移为0，不考虑传输时延，t?t0?0时抽样判决），则GT?f??GR?f??X?f?， 奈氏平方根滤波器。(注:平方根包括升余弦滤波器)
二．非理想信道条件：C?f??1
根据噪声影响最小化（匹配条件）
??f??GT?f?C接收滤波器：GR???f?
22则总的传输特性
??f??GT?f?C?f? 一般?X?f?（X?f?满足奈氏准则） GT?f?C?f?GR为使ISI=0，需加横向滤波器T?f?，以满足奈氏准则，
??f?T?f??X?f?。 使 GT?f?C?f?GR????GTGRC?f???????????X???????????? ??f?GT?f?C?f?GRT?f?+SNRoMFz?t? ?????????????????????????????X?f?消除ISI，但噪声影响不是最小
8、部分响应信号设计的基本思想是什么？部分响应系统中预编码的作用是什么？P200、203 在发端：以受控方式引入ISI
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数字通信复习题
在收端：再除去ISI 以达到提高频带利用率（
rs），而且拖尾小衰减快的目的。 B相关编码：可以使接收机能检测一定的差错 预编码：消除差错传播
差错传播：检测器存在判决反馈回路
8、 二进制数字传输系统的误比特率性能分析方法及性能公式。P94 分析方法： ① 从信号空间分析 ② 从最佳接收机结构分析
性能公式：
??2E(1??)??2E(1??r)1r?等概P（S1）=P（S2）=1/2， Peb?P(V?0S1)?erfc[]?Q???22N0N0??1其中，?r??S1(t)S2(t)dt
E01x1?t?t2误差函数：erfc(x)?edt Q函数：Q(x)?erfc()?edt ??2?x22?x2T2??10、什么是等效低通的分析方法。P21
将通信系统中的带通信号和系统表示成等效的低通信号和系统来进行处理的方法。 “等效”的含义：从信息传输角度讲完全是等价的
三、 信号与噪声
1、 带通信号的三种表达式。P19
s(t)?a(t)cos[2?fct??(t)] 幅相形式 s(t)?x(t)cos2?fct?y(t)sin2?fct 正交形式 s(t)?Reu(t)ej2?fct 复信号（复包络）形式
2、 窄带高斯噪声的三种表达式及统计特性。P22、23 ①n(t)?a(t)cos[2?fct??(t)] 幅相形式 ②n(t)?x(t)cos2?fct?y(t)sin2?fct 正交形式
??n(t)的统计特性：n(t)－0均，方差?2，带通平稳实高斯过程；
x(t),y(t)－0均，方差?2，低通平稳实高斯过程，
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数字通信复习题
同一时刻两变量x,y?N(0,?2)且相互统计独立。
a(t),?(t)－a(t)一维分布a~Rayleigh(瑞利)分布，
j2?fct ?(t)一维分布?~U(0,2?)， 同一时刻，a与?相互统计独立
③n(t)?Rez(t)e?? （ 复包络形式）
2
n(t)的复包络: z(t)?x(t)?jy(t) 为低通复高斯过程。
z(t)的统计特性：z(t)为0均，方差?，低通平稳复高斯过程。
3、 如何在信号空间中表示数字调制信号？P28
建立以标准正交函数集{fi(t)}，i=1,2为基底的信号空间。 表示方法：信号向量Sm，星座图，欧氏距离d(e)，互相关函数?km
4、 信号波形相关系数的计算。P85
基带波形相关系数（标准等效低通复相关系数）
T 1?jm?2EmEj1?u0m(t)u*j(t)dt??r?j?j带通波形相关系数
TRe[?im]?EmEj?s0m(t)sj(t)dt??r
T1当M=2时，且E1=E2=E时，?r??s1(t)s2(t)dt?Re[?12]（实信号）
E01*?12?u1(t)u2(t)dt（复信号） ?2E0
5、 调制方式：二维调制，正交调制。P34、51 QAM 信号表示：
Tsm(t)?Re[(Amc?jAms)g(t)ej2?fct] 0≤t≤T， m=1,2,…,M (4-3-19)
?Amcg(t)cos2?fct?Amsg(t)sin2?fct
????????????????f1'(t)?Em1f2'(t)?Em223
数字通信复习题
Em1??f1'2(t)dt?0TEm2??T012AmcEg 212f2'2(t)dt?AmsEg
2标准正交函数集（2维）：
sm(t)?f1'(t)?f2'(t)?sm1f1(t)?sm2f2(t)
?f1'(t)2f(t)??g(t)cos2?fct (4?3?14)?1EEm1g? ?'?f(t)?f2(t)??2g(t)sin2?ft (4?3?15)c?2EEgm2?sm1?Em1?Amc1Eg 21Eg 2sm2?Em2?Ams信号向量：
sm?[sm1,sm2]?[Amc11EgAmsEg] 2,26、 线性数字调制信号功率谱与什么因素有关？
数字调制信号功率谱与调制（映射）方式有关： ①g(t)的形状
②{In}的相关特性（更敏感）
7、 QAM数字调制系统的发送机和接收机的结构。P120、121
?anr??an?Graycoding?Inr?D/Ag(t)串/并Sm(t)?Re[u(t)ej2?fct]cos2?fct?ani?GraycodingD/Ag(t)?Ini??sin2?fct发射机
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数字通信复习题
?I??nru(T-t)幅度判决A/D解码?nr??aR（t)cos2?fct逆映射u(T-t)幅度判决A/D并/串?n??a解码sin2?fct?I??ni?ni??a接收机
8、MSK信号的特点是什么？（P58）
?幅度-恒定?1?MSK信号的特点是：?频率-相互正交最小频率间隔 ?f?f2?f1?2T???相位-连续
四、 滤波器（匹配滤波器、升余弦滤波器、线性滤波器信道、均衡器） 3、 匹配滤波器（Mached Filter）：依据的准则、最佳传输函数、输出信噪比和常用的基本性
质。P18
最佳准则：输出最大信噪比准则（在抽样判决时刻）
最佳传输函数：与输入信号波形有关，对不同波形匹配的MF，具有不同形式的Hopt(ω)
Hopt(w)?Si*(w)e?jwt0 或 hopt(t)?si(t0?t)
?hopt(t)???jwtH(w)edw?si(t0?t) opt? t= t0=T si(t) hopt(t) so(t) Si(ω) Hopt(ω) ?o?2E N0输出信噪比：?0?s0(t0)2n0(t)2 在t0?T时刻，?0max?2E n0?0max只是与输入信号的能量及白噪声的功率谱密度N0有关，而与输入信号的波形无关
基本性质：MF等效于相关器
4、 升余弦滤波器：（奈氏带宽、截止频率、滚降因子、符号速率等参数）P197-199 奈氏带宽：BN?r1?s 2T225
数字通信复习题
截止频率：BC?(1??)BN?rs?? 2滚降因子：???BN?B?BN BNrs2 ?BC1??符号速率：rs?2BN，
5、 描述线性滤波器信道的主要特性是什么？P189-191
u?t?C?f?c?t??r?t?z?t?带通信道的等效低通信道模型
频域： C?f??C?f幅频特性-C(f) 相频特性-?(f) 群时延特性-?(f)???ej??f?
1d?(f)? 2?df6、 在数字调制系统中线性滤波器信道的等效低通数学模型。P193
Tx?In?g?t?H??f?,h???t? y?t????????? ???h?t?? g?t?? c?t? ? z?t? ???????????????????? ????x?t??h?t??h???t??c??0?信道传输时延r?t?c?t?,C?f?+t?kT??0y?kT??0?
5、 在QAM系统中分析线性滤波器信道符号间干扰的特点。P192
soi?t??f?t?tgr?cos???g?t?tgr?sin??，????ctph??tgr???d?????c?
0
soq?t??g?t?tgr?cos???f?t?tgr?sin??
信号项
交叉干扰项
a. 使两路解调信号soi?t?、soq?t?失真且幅度衰减 b. 两路交叉干扰
6、 线性均衡器的两个基本准则是什么？各有什么特点？P233
26
tgr影响：
数字通信复习题
两个基本准则： ① 峰值失真准则（PD准则，Peak Distortion）-只考虑ISI，使峰值失真D最小。
1D?q0n???n?0?q?n（令q0?1归一化）
n???n?0?q?n?n???j???n?0??c??jfn?j
② 均方误差准则（MSE准则，Mean Square Error）-同时考虑ISI及噪声影响，调整均衡器
的抽头权值系数{Cj}，使均方误差性能系数J最小。
7、 LMS算法的表达式。基于LMS算法的线性均衡器的结构。P254、257
a)算法：Ck?1?Ck??Gk (理论算法) b)梯度： Gk?dJ* ?ΓCk?ξ??E??kvk?dCk?=C????v* c) 工程实用算法：Ck?1kkk d) 均衡器结构：
五、多径衰落信道上的数据传输
1、 无线信道对信号传输影响主要有哪几方面？P314 大尺度衰落 （1） 频率非选择性慢衰落（瑞利衰落、平坦衰落） （2） 频率选择性慢衰落（“频选”） 小尺度衰落 （3） 频率非选择性快衰落（“时选”） （4） 频率选择性快衰落（“双选”） 噪声与干扰
27
数字通信复习题
2、 什么叫做多普勒频移？它与什么因素有关？P290
多普勒频移：由接收机与媒质相对运动引起的接收信号射频的附加频率偏移
fD?v?cos?
因素：移动台的速度、波长、射频电磁波传播方向与移动台位移方向的夹角 3、 什么叫衰落频率？与多普勒频移有何区别？P292
1） 多普勒频移fD—表示信号接收频率fr相对射频频率的偏移ft
衰落频率fd—表示接收包络变化的频率 2） 表达式：fD? fd?v?cos?
v?cos?1 ，一般情况下fd不同于fD（两个方向相反波时，fd才与fD表达式相同）
4、 多径扩展与相干带宽是如何定义的？说明它们的物理概念。P295
多径扩展Tm：为多径中最大的相对时延差，反映在时域上，衰落信号散布的程度 相干带宽(?f)c：(?f)c?1，反映在频域上，衰落的快慢或选择性 Tm5、 多普勒扩展与相干时间是如何定义的？说明它们的物理概念。P296
多普勒扩展Bd：为多普勒扩展谱的带宽，反映在多普勒频域(?)上，多普勒频移扩展程度
反映在频域上(f)上，射频偏移程度
相干时间(?t)c：(?t)c?1，反映在时间域上，衰落的快慢或选择性 Bd因此，当T??(?t)c 或W??Bd时，为时间非选择性衰落或频率非色散信道 当T??(?t)c 或W??Bd时，为时间选择性衰落或频率色散信道。
6、 多径衰落信道的分类原则是什么？四种类型衰落信道的条件是什么？P297、298 分类原则：按发送信号参数（W、T）与信道特征参数（Tm，Bd）之间的关系来分类 分类：1、非色散信道—或时间/频率（双重）非选择性衰落信道
W??(?f)c，或T??Tm? 条件：? 扩展因子TmBd??1（欠扩展）
T??(?t)c，或W??Bd?2、时间色散信道—或频率选择性衰落信道
条件：W??(?f)c，或T??Tm 时间色散，频率选择性衰落
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数字通信复习题
T??(?t)c，或W??Bd 时间非选择性衰落，频率非色散
3、频率色散信道—或时间选择性衰落信道
条件：W??(?f)c，或T??Tm 频率非选择性衰落，时间色散 T??(?t)c，或W??Bd 频率色散，时间选择性衰落 4、双重色散信道—时间/频率（双重）选择性衰落信道 条件：W??(?f)c，或T??Tm 时间色散，频率选择性衰落 T??(?t)c，或W??Bd 频率色散，时间选择性衰落 另外，频率非色散条件：W??Bd 与“慢衰落”条件：（符号速率）
1??fd相当 T
7、 频率非选择性慢衰落信道的特点是什么？绘出它的数学模型P303、305 特点：1、当T??(?t)c时，为“慢衰落”，
少在一个T内不变
2、对于频率非选择性衰落信道，满足W??(?f)c，接收信号的多径分量是不可分
辨的，信道模型是单一的路径（瑞利衰落）
WGN1??Bd(fd)，信道的衰减（即C(0;t)值）至T?(t)?a(t)?jb(t)LPFz(t)?nc(t)?jns(t)z(t)?(t)sl(t)??rl(t)等效低通模型
8、瑞利衰落信号统计特性（PDF）有哪两种形式？P311 ①包络形式pR(r)??未考虑信道AWGN，仅考虑衰落信号本身特征分布?应用：衰落信号本身的AWGN?同时考虑衰落信号与
②信噪比形式p(?b)?数据传输性能分析?应用：瑞利衰落信道上
9、频率选择性慢衰落信道的特点是什么？绘出它的数学模型P303、327
对于频率选择性衰落信道，满足W??(?f)c，接收信号的多径分量是可以分辨的，其分辨
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数字通信复习题
率为
1。所以信道模型为抽头延迟线模型 W
10、分集技术的基本原理是什么？P314 发送：同样的信息
信道：划分为L个相互统计独立的衰落信道（按频率、时间、空间等划分） 接收：合并技术（最大比合并、等增益合并、选择性合并）
接收机对L个信道的接收信号进行合并，可提高接收信号电平（SNR）
11、分集接收中有哪几种合并方式？P316
线性合并：最大比合并、等增益合并、选择性合并 非线性合并：平方律
12、分集性能如何评价？试比较三种合并方式的性能。P320
评价方法：①合并器输出瞬时SNR的PDFp(?b)—精确评价，用于计算Pb
②分集增益（合并增益）K—粗略评价，用于不同合并技术比较
三种合并方式中，最大比合并性能最好，选择合并最差，当N较大时，等增益合并的合并 增益接近于最大比合并的合并增益。
13、RAKE接收机基本原理是什么？P329
在接收机中利用扩频码PN序列的正交性从接收信号（信道模型多径分支的合成信号）中分 离出信道各个多径分支输出的衰落信号，然后分别对各个分支按最大比合并进行处理（即相 移补偿、加权和合并），从而实现频率分集
14、窄带低速数据与宽带高速数据的RAKE接收机有何不同？为什么？P330
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