12 信号的运算和处理
自我检测题
一．选择和填空
1．欲将正弦波电压转换成二倍频电压，应选用 平方 运算电路。
2. 为求得两个信号vI1与vI2的乘积，首先可分别利用 对数 运算电路求得vI1、vI2的对数vO1、vO2，然后利用 加法 运算电路求得vO1与vO2之和，最后利用 反对数 运算电路求得vI1与vI2的乘积。
3．为了抑制50Hz交流电源的干扰，应采用 带阻滤波电路 。 4．为了处理接收的2.5GHz的通信信号，应采用 带通滤波电路 。
5. 从输入信号中获得低于500Hz的音频信号，应采用 低通滤波电路 。 6．从输入信号中抑制1Hz以下的信号，应采用 高通滤波电路 。
7．通带电压放大倍数等于其输入信号频率f = 0时的电压放大倍数的滤波电路是 低通滤波电路 。
8. 通带电压放大倍数等于其输入信号频率f趋于无穷大时的电压放大倍数的滤波电路是 高通滤波电路 。
9. 输入信号频率为零和趋于无穷大时电压放大倍数数值最大且相等的滤波电路是 带阻滤波电路 。
10. 当输入信号频率f = 0和f趋于无穷大时，其电压放大倍数等于零的滤波电路是 带通滤波电路 。
二．判断题（正确的在括号内画√，错误的画×）
1．带阻滤波电路的Q值愈大，它的阻带度就越窄（设特征频率不变）。 （ √ ） 2．一阶低通和高通滤波电路的特征频率f0与通带截止频率fP相等；而高阶低通和滤波电路的f0 ? fP。 （ √ ）
3．有源滤波电路传递函数的阶数愈高，其实际幅频响应愈逼近理想特性。 （ √ ） 4．带阻滤波电路可由一个无源低通和一个无源高通电路相串联后，再与同相比例运算电路组合而成。 （ ? ）
5．组成有源带通滤波电路至少需要两个电容器（设器件的带宽为无穷大）。 （ √ ） 6．各种滤波电路在通带范围内的电压放大倍数均不小于1。 （ ? ）
7. 用有源二阶带通滤波电路和反相加法运算电路，可以组成有源二阶带阻滤波电路。
（ √ ）
8．将具有通带截止频率fLP的二阶有源低通滤波电路与具有通带截止频率fHP的二阶有源高通滤波电路相串联，当fLP > fHP时，可得二阶有源带通滤波电路。 （ √ ）
9．理想情况下，有源高通滤波器在f??时的放大倍数就是它的通带电压放大倍数。
（ √ ）
习题
12.1 设图题12.1中的A为理想器件，试求出图a、b、c、d中电路输出电压vo的值。
R1i1vi21R220k?R1v1R220k?10k?vNvP2V_10k?vN_A?vovPA?vo2V(a)R(b)R20k?vN2VvNvP20k?__A?vovPA?vo2V(c)(d)
图题12.1
解：
（a） i1?i2，
0?v1v1?vo? R1R2 v1?2V
0?2V2V?vo，vo?6V ?10 k?20 k?（b） vo?(1?R220)vp?(1?)?2V?6V R110（c） vn?vp?0，vo??2V （d） vn?vp??2V，vo??2V
12.2放大倍数可以调节的放大电路如图题12.2所示，RW是放大倍数调节电位器。设A
为理想器件。
（1）计算RW的动端处在中点位置时的电压放大倍数Av?vOvI。
（2）计算电压放大倍数的调节范围。
R220k?R1vI10k?AR3R6.8k?RWRW10k?RW10k?vO
图题12.2
解：
（1）
vR????)vO(R2//RWvI??W??
??)R2R1R2(R3?R2//RW得 Av?vO??7 vI??从0～10k?时，Avmin???，Avmax??5 （2） RW
12.3图题12.3所示放大电路中，A为理想运算放大器，R1～R6均为1M?。
（1）写出输出电压vO与输入电压vI的关系式。为使失调电流的影响最小，RP应为多大？
（2）若R6短路，vI＝200mV，vO＝？RP＝？
R2R1R3SR4R5QR6vIRPA图题12.3
vO
解：
（1）R1?R2?R3???R6?R，vN?vP?vI，则
vS?2vI
vQ?(vI2vI?)R?2vI?5vI RRvQ?vSRR得： vO?13vI
?vQ?vO?vQR
RP?{{[(R6//R5）?R4]//R3}?R2}//R1?8R?615.4k? 13（2）若R6短路，则
vO?vQ?5vI?1V
3RP?[(R4//R3）?R2]//R1?R?600k?
5
12.4图题12.4所示放大电路中，已知集成运算放大器具有理想特性。 （1）写出输出电压vO与输入电压vI1～vI3之间的函数表达式。 （2）若要求输出电压vO的表达式具有标准形式vO??选多大？
R2RR电阻R4应vI1?2vI2?2vI3，
R1R3R4R220k?R110k?R310k?R4vI1vI2vI3AvO
图题12.4
解： （1）vO??R3R2RR4vI1?(1?2)(vI2?vI3) R1R1R3?R4R3?R4（2）RP＝RN时，有vO的标准形式，即R3//R4?R1//R2，则R4＝20 k?
12.5图题12.5所示放大电路中，已知A1、A2均为理想运算放大器。
24（1）当vI1＝vI2＝vI时，证明输出电压vO与输入电压vI间关系式为vO???1－RR??vI
??RR?13?（2）当vI1＝－4V时，vO＝－3.2V， 问R2应取多大?
R120k?R2R320k?R420k?RP1A1vO1RP2A2vOvI1vI2
图题12.5
解：
（1） vO1?(1?vO?(1??(1???RR?13R2)vI1 R1R4R)vI2?4vO1 R3R3R4RR)vI2?4(1?2)vI1 R3R3R124即：vO???1－RR??vI，得证。
?（2）当vI1＝－4V时，vO＝－3.2V， 则R2=4k?
12.6图题12.6所示放大电路中，已知A1、A2都是理想运算放大器。 （1）写出输出电压vO的表达式。
（2）已知输出电压vO??5.2V，问输入电压vI1＝？电阻R6中的电流i??
?R2 100k?R1iR310k?R45k?R52.5k?R620k?vI110k?A19.1k?vI2= 0.2VvI3= 0.3VA2_R81.3k?vOR7
图题12.6
解：
（1） vO?R6R2RRvI1?6vI2?6vI3 R3R1R4R5?R2vI1vI2vI3???0.26mA R1R3R4R5（2）vO??5.2V时，输入电压vI1＝-0.1V，电阻R6中的电流
i?
12.7 图题12.7所示为一增益线性调节运放电路，试求出该电路的电压增益Av?vo(vi1?vi2)的表达式。
_R2A1vo1R1vn3_vi1?A3?voR4vi2?_A2vo2R1vp3R2vo4R3vn4A4
图题12.7
解：A1、A2是电压跟随器，有
vo1?vi1，vo2?vi2
利用虚短和虚断概念，有
vo1?vn3vn3? R1R2vo2?vp3R1vo4???vp3?vo4R2
R3vo R4vn3?vp3
得
R2vo1?R2vo2??（R1R3）vo R4故 Av?voRR??24
vi1?vi2R1R312.8仪用放大器电路如图题12.8所示，设电路中R4?R3，R1为一固定电阻， R1??1k?和一电位器RP串联，若要求电压增益在5~400之间可调，求所需电阻R2、RP的阻值范围。并选取R2、R3、R4和RP，但电路中每个电阻值必须小于250k?。
v1??_A1R2R3vN3R4iR1vR1?v1-v2?R11k?RP_iR2_v3-v4R2iR2?A3v3voA2v2_?R3v4vp3R4
图题12.8
解： Avd??得
400?R42R2R(1?2)?1(1?2)
?R3R11k?R42R??Rp，(1?2)，当最大增益|Avdmax|?400时，设R1?R1当R1?R1??1k?，
R3R1R2?[(400?1)2]k??199.5k?，取R2?200k?
最小电压增益|Avdmin|?5时，为
5?1(1?2?200) 1?RpRp?400?4k??99k?，取Rp?100k? 4取R3?R4?51k?，R2?200k?，Rp?100k?（电位器）可满足Avd在（5~400）之间可调。
（7vi1?14vi2?3.5vi3?10vi4）12.9设计一反相加法器，使其输出电压vo??，允许使用的最
大电阻为280k?，求各支路的电阻。
解：设反相加法器各支路的电阻为R1、R2、R3、R4，反馈支路电阻为R5。由
vo??（7vi1?14vi2?3.5vi3?10vi4）可写为
RRRR vo??（5vi1?5vi2?5vi3?5vi4）R1R2R3R4最大电阻应为R5，故选R5?280k?，所以各支路电阻分别为
R1?R5280k???40k? 77R2?R3?R4?R5280k???20k? 1414R5280k???80k? 3.53.5R5280k???28k? 1010由已计算出的电阻值，可画出设计的反相加法器如下图所示。
vi1vi2vi3vi4R140k?R220k?R380k?R428k??R5280k?ii_Avo
12.10 同相输入加法电路如图题12.10所示。
（1）求图a中输出电压vo表达式。当R1?R2?R3?R4时，vo=? （2）求图b中输出电压vo表达式，当R1?R2?R3时，vo=?
R4R3vN_vi1vi2R1R2vPA?vovi1vi2vi3R1R2R3vN_AvPvo?
图题12.10 解：（1）图a的输出电压为
Rvo?（1?4）vp
R3式中 vp?即 vo?（1?若R1?R2?R3?R4，则
vo?vi1?vi2
(a)(b)
R2R1vi1?vi2 R1?R2R1?R2R41）(）(R2vi1?R1vi2) R3R1?R2（2）由于A是电压跟随器，故图(b)的输出电压为
vo?vp（A同相端电压）
而
vp?R2||R3R1||R3R1||R2vi1?vi2?vi3R1?R2||R3R2?R1||R3R3?R1||R2??R2||R3R1||R3R1||R2vi1?vi2?vi3R（R?R）?RRR（R?R）?RRR（R?R）?RR123232131331212R2R3vi1?R1R3vi2?R1R2vi3R1R2?R2R3?R1R3
当R1?R2?R3时，则
1vo?(vi1?vi2?vi3)
3
12.11 加减运算电路如图题12.11所示，求输出电压vo的表达式。
vi1vi2vi3vi4R140k?R2R650k?_vNvP25k?R3A?vo10k?R420k?R530k?
图题12.11
解：令vi3?vi4?0，则
???voR6Rvi1?6vi2R1R25??vi1?2vi24
再令vi1?vi2?0，则
vp?R4||R5R3||R5vi3?vi4R3?R4||R5R4?R3||R5127.5vi3?vi410?1220?7.563?vi3?vi41111????(1?voR6)vpR1||R25063?(1?)(vi3?vi4)15.411115151?vi3?vi42244
?和vo??叠加便得到总的输出电压 将vo55151??vo????vi1?2vi2?vi3?vi4 vo?vo42244
12.12 电路如图题12.12所示，设运放是理想的，试求vO1、vO2及vO的值。
_A1?R1vO1vN3R330k?30k?_V13VvP3A3?vO_A2?vO230k?R2R415k?V3R530k?V24V3V
图题12.12 解：A1、A2组成电压跟随电路
vo1?V1??3V，vo2?V2?4V
A3组成加减电路。利用叠加原理，当V3?0，反相加法时，A3的输出电压为
R3Rvo1?3vo2R1R23030?[??(?3)??4]V??1V3030
当vo1?0，vo2?0，V3??3V时，A3的输出电压为
???vo???(1?vovp3?R3)vp3 R1||R2R530V3??3V?2V R4?R515?30???(1?vo?与vo??叠加得输出电压为 vo30)?2V?6V 15??vo???-1V?6V?5V vo?vo
12.13图题12.13所示积分电路中，已知A为理想运算放大器，初始状态为t＝0时，vO?0??1V。若突然加2V的输入电压vI，经0.1s输出电压vO＝－1V，问电阻R＝？
C R1?FvIARPvO
图题12.13
解： vO??1RCt?0vIdt?vO(0)??VIt?vO(0) RC故 R?VIt?100k?
[vO(t)?vO(0)]C
12.14已知图题12.14所示积分电路中的A为理想集成运算放大器，输入电压vI的波形如图所示。已知输出电压vO的初始值为－1V。
（1）试计算时间t分别为10ms、20ms的vO； （2）画出输出电压vO(t)的波形图，并标明幅值。
vI/ VC R0.1?F101t/ms102030vI100k?AvORP100k?0vO/ Vt/ms102030
图题12.14
解： （1）vO??1RC?0tvIdt?vO(0)??VIt?vO(0) RC当 t=0时，vO?0???1V； t=10ms时，vO?10ms??0V t=20ms时，vO?20ms???1V （2）
vO/ V01102030t/ms
12.15图题12.15所示放大电路中，A1、A2为理想运放，电容C上的初始电压vC?0???1V。 （1）写出输出电压vO与输入电压vI1、vI2、vI3的关系式。
（2）vI1＝0.4V、vI2＝0.5V、vI3＝－0.1V。从接通信号起，欲使vO＝4V，需经多长时间？
vI1vI2vI3R1100k?R2 50k?R320k?C 10?FR5R4vO120k?100k?A1RP112.5k?A2vORP216.7k?
图题12.15
解：
（1） vO???R51[?R4C?0t(vI1vI2vI3??)dt?vO1(0)] R1R2R3R51[R4C?0t(vI1vI2vI3??)dt?1] R1R2R3（2）代入数值，得t?2s
12.16微分运算电路如图题12.16（a）所示，图题12.16（b）为输入电压vI波形图，A为理想运算放大器。试画出输出电压vO的波形，并标明有关数值。
RC 10?F100k?vIV10vO1vOV0( a )tstsvIA100k?10203040RP102030( b )40
图题12.16
解：
vO??RCdvIdv??I dtdt波形如下图所示
vO/ V0.100.1ts10203040
12.17图题12.17所示电路中，A为理想运算放大器，二极管D的电流与端电压的关系式为iD?ISevD/VT?1，其中vD是二极管的端电压，VT?26mV（室温），IS是反向饱和电流。
（1）若vI?0V，vD>>VT，求vO与vI的关系式。
（2）若vI?0V，vD为实现上述运算电路需要作何变动，写出vO＝f（vI）关系式。
vDiDvIRiID??ARPvO
图题12.17
解：
（1）满足上述条件时，可得iD?ISevDVT
iD?vI，vD??vO R所以 vO??VTlnvI RIS（2）当vI?0V时，原电路不能作对数运算，因二极管反向截止，运放处于开环状态。此时将二极管反接（正负极对调）即可，运算公式为
?vvO?VTlnI
RIS
12.18图题12.18所示运算电路中，D1、D2特性相同，vD>>VT，VT?26mV，A1～A3为理想运算放大器。vI1、vI2>0。试写出输出电压vO的表达式。
RRRP1D1vI1A1D2RvO1A3vOvI2RRP2A2RvO2vI3R
图题12.18
vv解：iD?ISevDVT，vD1??vO1，iD1?I1，得vO1??VTlnI1
RRIS同理vO12??VTlnvI2 RISvO?vO2?vO1?vI3
=?VTln=VTlnvI2v+VTlnI1+vI3 RISRISvI1?vI3 vI2
12.19平方律振幅检测电路如图题12.19所示，乘法器和集成运算放大器A都是理想器
vI1、vI2是正交振荡器的两个正弦信号，件。k1＝k2＝0.1V。vI1?Vimsin? t，vI2?Vimcos? t，
?1要使vO＝－V2im，问电阻R2＝？
k1uXuYvi1k2uXuYvi2vO2vO1R14.8k?R1RPR2 AvO
图题12.19
解： vO??R2(vO1?vO2) R1R22R22(vi1?vi22)??k2(Vimsin2?t?Vimcos2?t) R1R1??k??kR22Vim R1欲使vO＝－V2im，即kRR2?1，故R2?1?48k?。
kR1
?1?112.20图题12.20所示电路中，设所有器件均有理想特性。k 1＝0.5V，k 2＝0.25V。 （1）写出输出电压vO的表达式。
（2）若R1＝10k?,vI＝3V时，vO＝－3V，问R2＝？
k1uXuYR2vO1k2uXuYXvO2YvIR1RPXYAvO
图题12.20
解： （1）
vvI3 ??O1，vO1?k1k2vOR1R2R2vI
R1k1k2vO??3（2）将R1＝10k?、vI＝3V、vO＝－3V代入上式，求得R2?11.25k?。 12.21图题12.21所示一阶低通滤波电路，设A为理想运算放大器。 ??V?V?。 （1）导出该电路的电压放大倍数Avoi（2）求通带截止频率fP=？
.ViR10k?C 0.1?FARf10k?.Vo
图题12.21
解：
?1??Vo?（1）A v?fVi1?jfp（2）fp?f0?1?159.2Hz 2?RC
12.22图题12.22所示二阶低通滤波电路中，A为理想运算放大器。
??V?V?。 （1）导出该电路的电压放大倍数Avoi?A?? （2）求当f = f0时，20lgAvvPR1R2.ViRC MRC A.Vo
图题12.22
解：
???VVVRoo?（1）Avp??????o?1?2
R1ViVPVN?V??A?VovPP
((2??1V??1V? ?j?C)VMPiRRR1??1V??0 ?j?C)VPMRR??VAovP?Av???
Vi1?j3?RC?(j?RC)2解以上联立方程，得
??（2）Av1?(?AvPf2f)?j3f0f0，f0?fP?1 2?RC?A?20lg13??9.54dB 当f = f0时，20lgAvvP12.23二阶压控电压源低通滤波电路如图题12.23所示。若要求电路的特征频率f0
=500Hz，品质因数Q=0.8。求电路中R1、R2和R各应取多大？设A为理想运算放大器。
R1R2.ViRC 0.1?FRC 0.1?FA.Vo
图题12.23
解： f0?1?500Hz，得R=3.18k? 2?RCQ?1??3Q?1?1.75 ?0.8，得Avp?Q3?AvP即： 1?R2?1.75 R1又由运放平衡条件： R1//R2?2R 联解上两式，得 R1?4.67R?14.85k?
R2?3.5R?11.13k?。
12.24图题12.24所示高通有源滤波电路中，A为理想运算放大器。
??V?V?的表达式。 （1）试导出电压放大倍数Avoi（2）求通带截止频率fP =？
（3）画归一化幅频响应波特图。
C .Vi0.047?FR10k?.VoA
图题12.24
解：
?V?（1）Av??o? Vi1?jffpjffp（2）fp?f0?1?338.8Hz 2?RC.Av20lgAvp02040+20dBdec0.1（3）波特图如下图所示。
dB110ffp
12.25图题12.25所示电路中，A1和A2为理想运算放大器。
??V?V?的表达式。 （1）导出电路的电压放大倍数Avoi?V?和V?V?的幅频特性表达式，（2）写出V并画出幅频特性，说明电路实现何种功能。
o1ioiC R1.ViR1R2A1.Vo1R2R2A2.Vo
图题12.25
解：
??VVi? ??o1?j?CVo1R1R1?V1o1??即 ? 1?j?RCV（1）
i1???V??V? 又 Voo1i?1??Vo??j?R1C??所以 A v?11?j?RCV1i1?j?R1C（2）fp?f0??V1o1?20lg时， 20lg?Vi2?R1C1f1?()2f011?(f02)f
20lg?Vo?20lg?Vi
幅频特性如下图所示
?Vo120lg?Vi03dBdB03dB?V20lg?oVidB?0??0?
A1组成低通滤波电路；整个电路为高通滤波电路。
12.26图题12.26所示电路中，A为理想运算放大器。
??V?V?的表达式，这是一个什么类型的滤波电路？ （1）写出电路的电压放大倍数Avoi（2）计算特征频率或中心频率f0 =？（设R1?R2?10k?，C1?C2?0.033μF ）
R2C2 .ViR1C1A.Vo
图题12.26
解：
1?Vj?C2?（1） Av??o?
1ViR1?j?C1R2//??j?R2C1
1?j?(R1C1?R2C2)??2R1R2C1C2这是一个二阶带通滤波电路。
（2）f0?1?483Hz 2?RC