∵CD为圆O的切线， ∴OC⊥CD，又AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠APO＝∠COP， ∵∠AOP＝∠COP， ∴∠APO＝∠AOP， ∴OA＝AP， ∵OA＝OP，

∴△APO为等边三角形， ∴∠AOP＝60°， 又∵OP∥BC，

∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB， ∴△BCO为等边三角形， ∴∠COB＝60°，

∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形， ∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC， 又∵∠OCD＝90°， ∴∠PCD＝30°，

在Rt△PCD中，PD＝PC， 又∵PC＝OP＝AB， ∴PD＝AB， ∴AB＝4PD＝4．

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【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．

3. （2019?天津?10分）已经PA,PB分别与圆O相切于点A，B，∠APB=80°，C为圆O上一点. （I）如图①，求∠ACB得大小；

（II）如图②，AE为圆O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求∠EAC的大小.

【解析】（I）如图，连接OA，OB ∵PA,PB是圆O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即：∠OAP=∠OBP=90° ∵∠APB=80°

∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100° ∵在圆O中，∠ACB=∴∠ACB=50°

1∠AOB 2

（II）如图，连接CE ∵AE为圆O的直径 ∴∠ACE=90°

由（1）知，∠ACB=50°，∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°

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∴∠BAE=∠BCE=40° ∵在△ABD中，AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=

1(180?-?BAE)?70? 2又∠ADB是△ADC的一个外角，有∠EAC=∠ADB-∠ACB ∴∠EAC=20°

4.（2019?浙江杭州?12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC＝60°， ①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；

（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．

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【解答】解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴OD＝OB＝OA； ②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝， △ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；

（2）如图2，连接OC，

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，

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