【解析】

（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； （2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．

9. （2019?广东省广州市?3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ） A．0条

B．1条

C．2条

D．无数条

【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2， ∴d＞r，

∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外， ∵过圆外一点可以作圆的2条切线， 故选：C．

【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键． 10.

三.解答题

1. （2019?江苏宿迁?10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2； （2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

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【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出结论；

（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．

【解答】解：（1）证明：如图①，连接OF，

∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠OFB， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠2， ∴∠1＝∠2．

（2）如图②所示⊙M为所求．①

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①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆， 即⊙M为所求．

证明：∵M在BF的垂直平分线上， ∴MF＝MB， ∴∠MBF＝∠MFB， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠MBF＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠MFB， ∴MF∥BC， ∵∠C＝90°， ∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切．

【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，

2. （2019?贵阳?10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． （1）求证：OP∥BC；

（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

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【分析】（1）由题意可知

＝

，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝

∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；

（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．

【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． ∴

＝

∴∠AOP＝∠COP， ∴∠AOP＝∠AOC， 又∵∠ABC＝∠AOC， ∴∠AOP＝∠ABC， ∴PO∥BC；

（2）解：连接PC，

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