习 题
1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r?R(cosωti?sinωtj)
其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由r?R(cosωti?sinωtj)知 x?Rcosωt y?Rsinωt
消去t可得轨道方程 x2?y2?R2
2） v?drdt??ωRsinωti?ωRcosωtj
12 v?[(?ωRsinωt)2?(ωRcosωt)2]?ωR
1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，
t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时
刻的速度。
解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知
x?4t y?3?2t
2 消去t得轨道方程为：x?(y?3) 2）v?Δr?drdt102
?8ti?2j
?vdt??10(8ti?2j)dt?4i?2
3） v(0)?2j v(1)?8i?2j
1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）v? a?drdtdvdt?2ti?2j ?2i
2
2）v?[(2t)?4]212?2(t?1)212 at?dvdt?2tt?12
an?a2?at2?2t?12 1-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
y1?v0t?12at （1） 12gt （2）
22图 1-4
y2?h?v0t? y1?y2 （3）
解之 t?2dg?a 1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的
drdtdvdt速度v0水平抛出，求：
，，
dvdt.
解：（1） x?v0t 式（1）
y?h?12gt 式（2）
12gt)j
22 r(t)?v0ti?(h-（2）联立式（1）、式（2）得 y?h?gx2v2
20 （3）
drdt?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?drdt22hg
所以
v?2?v0i-22ghj
2dvdt??gj
vx?vy?v0?(?gt)
g2ghg2tdv ??12dt[v2?(gt)2]12(v0?2gh)201-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明
人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得 图 1-6
x2x2?x1?h1h2 而 x1?v0t
所以，人影中头的运动方程为 x2?h1x1h1?h2?h1th1?h2v0
人影中头的速度 v2?dx2dt?h1h1?h2v0
1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解：v?dxdt?4?4t 若v?0 解的 t?1s
?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
2 ?x3?x3?x1?(2?4?3?2?3)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度
h?20cm，斜面对水平的倾角??30?，问它
第二次球碰斜角)。
图 1-8
碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射
一
解：小球落地时速度为v0?点为坐标原点如图
2gh建立直角坐标系，以小球第一次落地
0 vx0?v0cos60 x?v0cos60t?01212gcos60t （1） gsin60t （2）
0202 vy0?v0sin60 y?v0sin60t?第二次落地时 y?0 t?2v0g00
所以 x?v0cos60t?012gcos60t02?2v0g2?0.8m
1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为
29.80m/s.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?2
3.4?10R?2 现在赤道上物体???
????9.83.4?10?2?17
1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度v?v0cos?，顶点处切向加速度为0。
v2因此有：g???(v0cos?)2? ??2v0cos?gv0222
在落地点速度为v0 gcos??v0? ??gcos?
1-11. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?x12gt
20联立方程解得：x?447m ??arctan?77.5
h1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为 ?i?(v0sin??gt)j vA?v0cos?-gt)j vB?v0cos?i?(v0sin
?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j
与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。
1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为 vy?v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度?v?9.8m第三秒末物体速度 ?v?0 第四秒末物体速度 ?v??9.8mss
1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t).
解：
dvdtdxdt??kv ?v0e?kt?vv01vdv??tt0?kdt v?v0e?kt?kt
?x0dx??0v0edt
x?v0k(1?e?kt)
1-15. 跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度
a??kv，k?0.4m2?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。
解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴 跳水运动员入水速度 v0?22gh?14mv0s
x0?kv?1kdvdt?vdvdx
?10v01vdv???kdx
x?ln10?5.76m
1b?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧
1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：（1）v?dxdt??uln(1?bt)
（2）a?dvdt?ub1?bt
y?Rsin?t,z?h2?1-17. 质点的运动方程为：x?Rcos?t,?t,式中
（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的R、h、?为正的常量。求：加速度大小。
解：（1）轨道方程为 x2?y2?R2
z?h2??t 这是一条空间螺旋线。
在Oxy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h （2）vx?dxdt2x??R?sin?t
v?v?v?v2y2z??R?2h224?
（3）ax??R?2cos?t ay??R?sin?t az?0
a?ax?ay?R?
22221-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）v?v,v?v；（2）v?v,v?v；（3）v?v,v?v；（4）v?v,v?v
答： （3）
1-2. 质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度一个速度小？
答：va?vb?vc
1-3. 结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度?v在?t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。
1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？ 答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。
示三个大？哪
1-5. 如图所示，两船A和
B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最
近的距离．图中?和?为已知。
答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v??vB?vA.
v?是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v?方向的直线BC,它不与船A相交,
这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin?Rsin? 作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有 sin??vBsin??vAsin?v?
在三角形BEF中,由余弦定理可得 v??rmin?vA?vB?2vAvBcos?(??)
22vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR
方法二：
两船在任一时刻t的位置矢量分别为 rA?(vAtcos?)i?(vBtsin?)j rB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)j
r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j
任一时刻两船的距离为
r?[R?(vBcos??vAcos?)t]?[(vBsin??vAsin?)t] dr(t)dt?0
22令
t?vBcos??vAcos?(vBcos??vAcos?)?(vBsin??vAsin?)22R
rmin?vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)drdtdvdt2A2BR
1-6. 若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （1）
drdt?0，
?0；（2）
?0，
dvdt?0；（3）
dadt?0，
dadt?0
答: (1) 质点作圆周运动. (2) 质点作匀速率曲线运动.
(3) 质点作抛体运动.
1-7. 一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，.
（1）说明下面三个积分的意义：
t1t1xt1y?v0dt,?v0Bdt,?vdt.
0B（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
B?dr,A?dr,A?dr.
At1 答:
?v0t1xdt 表示物体落地时x方向的距离
?v0t1ydt 表示物体落地时y方向的距离
?vdt 表示物体在t1时间内走过的几何路程.
0B?dr 抛出点到落地点的位移
AB?drA 抛出点到落地点位移的大小
B?dr 抛出点到落地点位移的大小
A2-1. 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：f??kv?mkmdvvdtdvdt，
?kmt分离变量，可得：?? 两边同时积分，所以：v?v0e
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则： 由?xmax?km?dvvdt0v0 可推出：vdt???mmdv?v 。 kk0mkdv，而这个式子两边积分就可以得到位移：
?vdt??2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，
竖直转轴OO′上，并以恒定角速度?在水平面上旋转．设中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中T( r)．
一端拴在转动过程的张力
解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：dm?MdL，
分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出：
dT（r）??rdm??r22MdrL。
距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：T（r）??LrdT（r）?M?2L2 （L?r）222-3. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在x?A时的速度为零，求质点在x?A/4处的速度的大小。 解：由题意和牛顿第二定律可得：f??再采取分离变量法可得：?两边同时取积分，则：?所以：v?6kmAA/4Akx2?mdvdt?mdvdxdxdt?mvdvdx
kx2dx?mvdv ， kx2?dx??v0mvdv
2-4. 一质量为2kg的质点，在xy平面上运动，受到外力F?4i?24t2j(SI)的作用，
t?0时，它的初速度为v0?3i?4j(SI)，求t?1s时质点的速度及受到的法向力Fn.
解：由题意和牛顿第二定律可得：f?ma?mdvdt，代入f与v，并两边积分，
?10(4i?24tj )dt?v?5i
2?vv0mdv， 4i?8j ?2?[v?(3i?4j)]
速度是i方向，也就是切向的，所以法向的力是的，则F??24j
j方向
2-5. 如图，用质量为m1的板车运载一质量为m2的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为?，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动？
解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：
a?Fmsxm1?m2?f?m2??m2gm2
可得：F??(m1?m2)g
2-6. 如图所示一倾角为?的斜面放在水上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为
平
面
?(?tg?)。为使木块相对斜面静止，求斜面a的范围。
加速度
解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），
将分别的两个
列式为：
?Nsin??Ncos??mg
Nsin???Ncos??ma 可计算得到：此时的a1?tan???1??tan?g
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：?Nsin??mg?Ncos? Nsin???Ncos??ma 可计算得到：此时的a2?tan???1??tan?g
所以
tan???g?a?1??tan?ta?n??g
?1?ta?n2-7. 一质量为M、顶角为?的三滑物体上。放有一质量为m的物块，示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。列三种方法：（1）用牛顿定理及约束（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）性系中力学定律；求解三角形物块的解：隔离物块和斜面体，画图分析力，发现方程完备性不够，即未知数比方键在于，M与m的运动有联系的，运动，m沿斜面运动，这就是约束条作为参考系，则m的运动为：
??ma ?Nsinx （1）
角形光如图所试按下方程；用非惯加速度aM. 列出方程，程数多，关M沿地面件。取地面
Ncos??mg?may （2）
M的运动方程为：Nsin??MaM （3）
下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为a?，在x,y
方向的分量分别为a?a?a?yx与y，那么：tan??a?
x利用相对运动的公式，am?aM?a? 所以：a?x?ax?aM a?y?ay 于是：tan??a?ya??ayxa
x?aM即：axsin??aycos??aMsin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
aM?msin?cos?M?msin2?g
2-8. 圆柱形容器内装有一定量的若它们一起绕圆柱轴以角速度?匀速试问稳定旋转时液面的形状如何？ 解：受力分析如图
Nsinα?Δmω2y （1） Ncosα?Δmg （2）
ω2 两式相比 tanα?yg?dzdy
22
?dz??ωyωgdy z?2gy2?C
当 y?0 时 z?z0 所以 C?z0
z?ω222gy?z0 稳定旋转时液面是一个抛物面
由于旋转后成为立体，故方程变为【z??22g(x2?y2)?z0】
2-9. 质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为?，求
液体，转动，
滑动，劈释放后
两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：
?Nsin??m2ax （1）
Ncos??m2g?m2ay （2）
m1的运动方程为：Nsin??m1a1 （3）
下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为a?，在x,y方向的分量分别为ax?a?y?a与y，那么：tan??
a?x利用相对运动的公式，a2?a1?a?
?ax?a1 所以：a?x a?y?ay 于是：tan??a?ya?x?ayax?a1
即：axsin??aycos??a1sin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得： a1?m2sin?cos?m1?m2sin2?g；a2??m1sin?cos?m1?m2sin2?g
g；a??(m1?m2)sin?m1?m2sin2?g
相互作用力N=
m1m2cos?m1?m2sin?22-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角?绕竖直轴作匀角速
度转动，角速度为?，求：小环平衡时距杆端点O的距离r. 解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：
Nsin??mg Ncos??m?rsin?
2z ?r O g所以，可得：r??tan?sin?2
2-11. 设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力F?(b?cx)i，计算粒子在任一时刻t的速度和位置，假定t?0时，v0?0,F、x、t的单位分别为kg、N、m、s.
x0?0.其中b、c为与时间无关的常数，m、
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：F?(b?cx)i?mdxdt22，
整理可得二阶微分方程：m令?2?cmdxdt22?cx?b?0。
下面分c为正负再做进一步讨论。
2bbdxb当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?cos?t?
ccmdt 一次求导，得到：v??2bc?sin?t
bbdxb?t??t(e?e)? 当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?2ccmdt 一次求导，得到：v?b?2c(e?t?e??t)
2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一靠圆筒内壁运动，摩擦系数为?，在t?0时，球的速率为v0，时刻球的速率和运动路程。 解：在法向上有 N?mv2小球紧求任一
R 而 f?μN
v2 在切向上有 ?f?mdvdt 由上面三个式子可得
dvdt??μR
v0RR?v0μt ??vv01vdv?2?t0μRtdt v?
S??t0vdt?v0R?dtR?v0μt0?Rμln1(?v0μtR)
2-1. 质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小
的压力将怎样变化？
解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。 由受力分析图可知：
N2sin??mg
保持平球对木板
所以当所以?增大，小球对木板的压力为N2将减小；
同时：N2cos??N1
N1?mgct?g 所以?增大，小球对墙壁的压力N1也减小。
2-2. 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤
消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
F??(m1?m2)g F?kx??m1g kx??m2g
所以aA??m1?m2m1g,aB?0.
2-3. 如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？ 解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
Fsin??G??N N?Fcos?
重为木块
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：
12F?G??32F 即当
12F??32F 此式中F无论为多大，总成立，则可得：
??33
桌面上，
系统原
2-4. 质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平如图所示．A、B间静摩擦系数为?s，滑动摩擦系数为?k，
处于静止．今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则F应取什么范围？
解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：a?可得：F??sm（m?M）g
MFmsxm?M??smgM
2-5. 如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
轮与绳计．系统
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
m1g?T?m1a1 2T?m2a2
a2?12a1
45g
则可计算得到：a1?2-6. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。 (B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。 (D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
轨道是的？
在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，N?mgsin??mv2R
则E的说法正确。
2-7. 一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度?转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：
Ncos??mg Nsin??m?Rsin?
2所以，可得：cos?? 2?R2-8. 几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一
g上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60°． (B) 45°． (C) 30°． (D) 15°．
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：
12gsin?t2竖直面端的时
?scos?
t2?4sgsin2? 当θ=45。时，时间最短。
?B与O?2B系2-9. 如图所示，小球A用轻弹簧O1A与轻绳O2A系住；小球B用轻绳O1住，今剪断O2A绳和O?2B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由簧的拉力提供的合力T，所以：
Fsin??T?ma
有变化，重力和弹
Fcos??mg
所以加速度大小为：a?gtan?，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
mgsin??mat T?mgcos??man?mv2R?0
所以加速度大小为：a?gsin?，方向为与绳垂直的切线方向。
2-10. 两质量均为m的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
Tsin450?ma （1）
0mg?Tsin45?ma （2）
两式联立消去a T?mg2sin450?2mg2
3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：?r?rB?rA??20i?20j
由做功的定义可知：W?F??r?0.6i?(?20i?20j)??12J
3-2. 质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
?r?r4?r2?(80i?0.5j)?(20i?0.5j)?60i
a ?dv/dt?d2r/dt2?10i F?ma ?m?10i?5i
由做功的定义可知：W?F??r?5i?60i?300J
3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，k?x?mg 可得此时弹簧的伸长量为：?x??xmgk
12mg由做功的定义可知：W??0kxdx?kx20k?mg2k22
3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。 解：求在B点的速度： N-G=mv2R 可得：
12mv2?12(N?G)R
mgR?Wf?12mv2?012 由动能定理：
Wf?12
(N?3mg)R(N?G)R?mgR?3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，其中
F和x单位分别为N和m．
2（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：
（1）由做功的定义可知：
W?x21.34?x1F?dx??0.522(?52.8x?38.4x)dx??26.4(x2?x1)?12.6(x2?x1)22233?69.2J（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。
3-6. 一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
2
v??Fmt??m1(ati?btj)dt?21m2(1ati?213btj)
3所以功率为：
N?F?V?(ati?btj)?21m2(1ati?213btj)?31m2(1at?2313bt)
253-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为
Ep??ax2?bxy?cz.
（1）求作用力F；
（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N. 解：（1）由作用力和势能的关系： F???EP?r???(?ax2?bxy?cz)?r?(2ax?by)i?bxj?ck
（2）取一个比较简单的积分路径：r?dxi?dyj?dzk，则积分可得：
W??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)
=9a-9b-3c
3-8. 轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l，劲
0度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x，
0如图所
O?；力
示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置O?为重力势能和弹性势能
零点，则重物在任一位置P（坐标设为x?）时系统的总势能：EP??mgx??12零点，试的势能
kx?
2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P（坐
EP??mgx?而mg?kx012k（x?x0）?212标设为x）时系统的总势能：
kx02
所以EP??mgx?12k（x?x0）?212kx02?12kx
23-9. 在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运
动，在
?12??2??1的条件下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的最大
深度H。
解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：?2lsg??1hsg ，则h??2?1l。
h12?slv??2sglh????1gsydy
022在下落过程中，利用功能原理：
?2gl ?1所以：vmax?进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时： ??2sglh????1gsydy 所以H?0H?1?1??2?l 23-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即f??kv，试求质量为m的卫星，开始在离地心
r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫
v2星运动的力为万有引力：mr?G0Mmr2，所以
v2v1?r0R?2
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
fdt??kvdt?mdv
通过分离变量取积分，可 得t?：
v21??v2v1mkl d?mvnt?k3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
W??EP?111mg?l?mgl 48323-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速
率v0
匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)
解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由可得：
x?mkv0
12mv02?12kx，
2分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： T?mg?kx?mg?mkv0
3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求：
（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后．A还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：
12(mA?mB)v2?12kx0，所以：v?2kmA?mBx0;x?l
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
12mAv2?12kx ，则： xA?2mAmA?mBx0
3-14. 已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??和半径)。
Gmemr3r（me,Re为地球的质量
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：
?EP??Re??f?dr?rb??Gmemrarb11 dr??Gmmer2Re（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
ReE??????f?dr???Gmemra11 dr?Gmmer2Re两种情况下势能差是完全一样的。
3-15. 试证明在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.
解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能为：
?G0Mm(Re?h)??G0Mm(Re?h)2(Re?h)??G0MmRe2(Re?h)??mg(Re?h)
如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为mgh. 3-1. 求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
证明：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：A=f1?dr1?f2?dr2 由于外力的存在，质点1.2的运动情况是不同的。
??dr1?dr2,f1??f2
???????上式可写为：A=f1?dr1?f2?dr2?f?(dr1?dr2)
????也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。
3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。
?质点的动能变化定理：物体受外力F作用下，从A运动B，其运动状态变化，速度为V1变化到V2，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 A1?2??21?11?22f?dr?mv2?mv1?EK2?EK1
22质点系的动能定理： 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点
系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。
公式表达：A外?A内非?A内保?EK2?EK1
3-3. A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
??答：根据功的定义：W=F??r
所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的；
当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。
3-4. 按质点动能定理，下列式子：
x2???x1y2y1z2Fxdx?Fydy?Fzdz?121212mvmvmv2x2???121212mvmvmv2x1
2y22y1z12z22z1是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。 答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。
3-5. 在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如
瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg=kx，所以x?如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx?x?2mgk122mgk
kx，所以
3-6. 试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?
图[d]、[f]为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零。
4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量I；
（2）质点所受张力T的冲量IT。 解：（1）根据冲量定理：?Fdt?t0t??P?P0dP??P
其中动量的变化：mv?mv0
在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零
（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?，方向为竖直向上。 4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F在1s到3s间所做的功； （2）其他力在1s到s间所做的功。 解：（1）由做功的定义可知：
W?x233?x1Fdx??1Fvdt?v?Fdt?v?S椭圆?125.6J
1（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。
4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为r?acos?ti?bsin?tj，求： （1）质点在任一时刻的动量；
（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：P?mv?m(??asin?ti??bcos?tj)
（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： mv0?mv?Mv1
代入数据 0.02?600?0.02?30?2v1 可得：v1?5.7m/s
v2根据圆周运动的规律：T-G=MRv12 T?Mg?MR?84.6 N（2）根据冲量定理可得： I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s
4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为
1.2?10?22（1）求核kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向彼此垂直。
反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为5.8?10?26kg，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式： m1sin??m2cos?
P?m1cos??m2sin?
所以P?1.4?10?22kg?m/s ??????151.9
P2?0.17?10?18J （2）反冲的动能为：Ek?2m?4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?10t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求： （1）子弹走完枪筒全长所用的时间t； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I；
（3）子弹的质量。
解：（1）由F?400?4?10t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：
F?400?4?10t/3?0 算出t=0.003s。
555（2）由冲量定义： I??0.0030Fdt??0.0030（400?4?105t/3）dt?400t?2?105t2/30.0030?0.6N?s
（3）由动量定理：
I??0.0030Fdt??P?mv?0.6N?s
所以：m?0.6/300?0.002kg4-7. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。 xc?m1x1?m2x2m1?m2 因为m1?m2?m，x1?3x 2cxc2
故 xc?mxc?2mx24m,x2?4-8. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?m，m2?3m）求：
（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；
（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
12m2v202?12kx0
2m2v20?（m1?m2）v
所以v?（2）
1234x02k3m?
12kx122m2v2012?（m1?m2）v 2那么计算可得：x?x0
0
4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度的恢复系数e?0.5.
解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得
与另一个小球作对心碰撞，求碰撞
后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞
（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0?2mv 所以：v?12v0
（2）假设碰撞是完全弹性的，
mv0?mv1?mv2 12mv02?12mv1?212mv2
2两球交换速度， v1?0 v2?v0 （3）假设碰撞的恢复系数e?0.5，也就是
mv0?mv1?mv2
v2?v1v10?v20?0.5
1434所以：v1?v0 ， v2?v0
4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30?，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量m?0.01kg的子弹，方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
11Mv12?kx2?Mgxsin? ?v1?0.8 3(碰撞前木快的速度) 220.89Mv1?mvcos??（m?M）v? ?v???
沿水平的劲度
度。 碰撞过
4-11. 水平路面上有一质量m1?5kg的无动力小车以匀速率
0
?2m/s运动。小车由不
可伸长的轻绳与另一质量为m2?25kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m3?20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为??0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s) 解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得
m1v0?（m1?m2?m3）v? ?v??0.2ms
2
m1v0?(m1?m2)v v?1m1m1?m2v0?5?25?25?13ms
?m3gs?1122(m1?m2)v?（m1?m2?m3）v? 2212(m1?m2)v?（m1?m2?m3）v?12?m s?2?m3g60（2）m3v??μm3gt t?v?μg?0.20.2?10?0.1s
4-12. 一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面
上，弹簧的劲度系数为k.一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L.
(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。 解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得，
mv0?（m?M）v? 1122（m?M）v??kL 22计算得到：v0?Lmk（m?M）
（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：
fx?fx??1212m（v0?v?）
Mv? 其中x?x??s
222所以：f?MkL2ms2
4-13. 质量为M、长为l的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m的人，开始时人
与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即f??kv.求在整个过程中船的位移?x.
4-14． 以初速度0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M； （2）质点的角动量L
???解：（1）M?r?F??mgv0?cos?tk
???L?r?mv?（2）
?mgv?0Mdt??2t0?cos?tk
24-15． 人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求： （1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；
（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。 解：利用角动量守恒：L?r1mv1?r2mv2 ?2v1?4v2 同时利用卫星的机械能守恒，所以：
12mv1?G02Mm2R?12mv2?G02Mm4R
G0MmR2?mg
所以： v1?Mm2Rg3?mv v2?2Rg6
83（2）G0?2? 可得到：??R
4-16火箭以第二宇宙速度v2?2Rg沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程
中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。 解：第二宇宙速度E?0，由机械能
0?1MmmvA2?G 24R守恒:
vA?GM?2R1gR 2mv2R?mvA4Rsin?
v2?2Rg代入：???30?
4-1. 一?粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x轴成120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出?粒子所受到的冲量I的大小和方向。
见图4-25。
4-2. 试用所学的力学原理解释逆
?风行舟的现
象。
可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它吹向帆面和离开
帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然对帆有一个反作用力f?，此力的方向偏向船前进的方向，将f?分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3. 两个有相互作用的质点m1和m2（m2?m12），已知在不受外力时它们的总动量为
零，m1的轨迹如图，试画出m2质点的运动轨迹。 见图4-26。
4-4. 当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
12mv2?2Gmemr2?12mv1?2Gmemr1
mv2sin?2?mv1sin?1
mvr2?Gmemr2
试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；
4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.
选择C。
5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物
2
的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图 2mg?T2?2ma （1） T1?mg?ma （2） (T2?T1)r?J? （3）
(T?T1)r?J? （4）
a?r? (5)
联立 a?14g， T?118mg
5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的线??ml，在杆上取一小质元
dm??dx
df??dmg???gdx
dM???gxdx 考虑对称
lM?2?2??gxdx?014?mgl
d? dt（2） 根据转动定律M?J??J
?t0?Mdt?14?0w0Jd? 112ml?0
2 ??mglt?? 所以 t??0l3?g
5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
mg?T?ma?mdvdt2/2，
TR?J? dvdt?R?
12t整理 (m?
M)dvdt?mg
?v0dv??mm?12M0gdt v?mgtm?M2
5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动
J?MR2均匀分的另一惯量间无相
设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮/4，
对滑动，求B端重物上升的加速度？
解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，系统对轴的角动量
L?M432vR?M(u?v)R?(MvR?MuRdLdtddtM4R)?2
?
根据角动量定理 M?3MgR?
(32MvR?MuR) 34MgR?32MRdvdt?32MR a4dudt?0
所以 a?g2
5-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
证明：设球的半径为R，总重量为m，体
密度??3m4?R3，
将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为 ?(R2?Z2)2dZ 1J?2?R?R2??(R?Z)dZ?228?2?R5?mR2 155
5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧
的劲度
系数k?40N/m，当??0?时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0?的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？
解：机械能守恒
mg12?12J?2?12kx
2 根据几何关系 (x?0.5)2?1.52?12 ??3.28rad?s?1 5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）位置轴对圆盘的作用力。
解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程
机械能守恒
mgR?12J? J?2铅直面在虚线
12mR2?mR
2??4g3R vc?R??734Rg3
vA?2R??16Rg 3R2? Fy?mg?m?m g 方向向上
2m的小
5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分和
23l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以
12别为
13l水平速度
v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
解：根据角动量守衡 有
23mv0l?(2ll2212)m??()?2m??ml?v0 3332 ??3v02l
5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的量为
12MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)
2的竖直子弹以边上，过多少转动惯
解（1）角动量守恒 mvR? ??（2）M?2312MR??mR?
222mv
(2m?MR)?dM?12??dmgr?22?R0?grM?R22πrdr?23?MgR
?MgR??t?(MR?mR)??0，??t?2?M?2m?4?MgR?
由（1）已得：??2mv?M?2m?R，代入即得?t?3mv
2?Mg
5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O点的转动惯量J? 碰撞时角动量守恒
m2v1l?1m1l2??m2v2l 313m1l)
2放在滑动桌面垂直滑块，从短。已知求碰撞后
??3m2(v1?v2)m1l
细棒运动起来所受到的摩擦力矩 M??l0?m1lgxdx?12?m1gl
?M?Jd?dt
21?t0dt??31m1ld?
2?m1gl2m2(v1?v2)t?2l?3?g??m1g
5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大
无相对
无伸长值时的
2
位置及最大速率。
（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h
12kh2?mg h?0.49m mv2 h?（2）
12kx22mgk?12?122J?122?mgx
?x?2mg? v??Jm???r2?k?x ???若速度达最大值，
x?mgkdvdx?0
?0.245(m)
1212??2mgx?kx2v??Jm???r2???2?5?9.8?0.245?200?0.2452????0.015????(7?10?2)2?????1.31m/s ??5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
d?解：（1）通电时根据转动定律有 M?Mr?J
dt M?P? Mr?k?
J?d?
代入两边积分
?t0dt???0P?k?2 ??Pk(1?e?2kJt)
（2）电扇稳定转动时的转速 ?m?（3） ?k??J?JkPkd?d?Pk
??0?kJd????d?
m0 ??
5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳
的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？
解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒
12J?0?212J?2?12mv v?R?
2v?1R?0 3T??mg?ma ?TR?J? T??mg3 a?R?
5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？
解：此过程角动量守恒 0?mrv?J?
??mRvJ
5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所反力。
解：（1）角动量守恒 mv0根据转动定律 mg（2）Nx?mal2l2??23cn货物箱
货物箱受的支
23ml? ??23v04l3g4l0
ml? ??cos4502
cx?ma?mactcos45
5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳分别悬有质量m1和m2的物体 (m1 m1g?T1?m1a （1） T2?m2g?m2a （2） 插入图5-29 (T1?T2)r?J? （3） 的两端相对滑 a?r? (4) 联立方程可得 T1、T2。 T2?T1 5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则度?怎样变化？ 答：增大 5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒. 答：（C） 5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。 以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma2 以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma2 以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma2 5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最度多大？ 答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1?0?J2? ??J1?0J2?按图示向相反但盘的角速 量都是转动惯示；（2） 现在将相互间停止时，终角速 时处于 在细棒被 5-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向 x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论 球撞击后的运动情况。 答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后衡位置。 度向上回到平 6-1. 设固有长度l0?2.50m的汽车，以v?30.0m/s的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解：l?l01?(v2c) 21?(v2c2)?1?1v2c22 ?l?l0?l?l0?1v2c22?1.25?10?14m 6-2. 在参考系S中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了x?1.5?108m处，经历时间为?t?1.00s，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S?系 ?t???t1?(v2c2)?0.866s 6-3. 从加速器中以速度v?0.8c飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为S系，离子为S?系 vx?v??ux1?uv?xc2?c 6-4. 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对 速度。 解：设宇宙船A为S系，速度0.8c，宇宙船B为S?系，速度?0.8c 根据洛伦兹速度变换公式：vx?'vx?u'uvx1?2c，有： 0.8c??0.8c?u u?0.97c6 ?0.8cu1?c26-5. 从S系观察到有一粒子在t1?0时由x1?100m处以速度v?0.98c沿x方向运动，10s后到达x2点，如在S?系(相对S系以速度u?0.96c沿x方向运动)观察，粒子出发?,t2?,x2?各为多少？(t?t??0时，S?与S的原点重合)，并算出粒子和到达的时空坐标t1?,x1相对S?系的速度。 t1?uc22x1?c20?)0.96cc2?100?1.147?102?6解：t1??1?(v1?(0.96c)cs t2???t2uc22x2?c210?)0.96cc2?9.8c?2.11s 1?(v21?(0.96c)c??x1x1?ut11?(u2?2100?0.96c?01?(0.96c)c2?357.14m c)??x2x2?ut21?(u2?29.8c?0.96c?1021?(0.96c)c?2.14?10m 8c)'vx?vx?u1?uvc2x?0.98c?0.96c?1.014?108m/s 0.96c1??0.98cc26-6 .一飞船静长l0以速度u相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为v，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。 解：设恒星系为S系，飞船为系S? ?t??l0v uc22?t???x??c2?t?(1?u?x?c22 ?t??t?c2)?l0(1?uc22v) c?1?(u)1?(u)?v1?(u2)6-7. 一个静止的K0介子能衰变成一个π介子和一个π介子，这两个π介子的速率均为0.85c．现有一个以速率0.90c相对于实验室运动的K0介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个π介子可能有的最大速率和最小速率是多少？ 解：最大速度 vx?v??ux1?uv?xc2?0.85c?0.9c1?0.9c?0.85cc2?0.992c 最小速度 vx?v??ux1?uv?xc2?(?0.85c)?0.9c1?0.9c?(?0.85c)c2?0.213c 6-8. 一个电子从静止开始加速到0.1c，需对它做多少功？，若速度从0.9c增加到0.99c又要做多少功？ 解：Ek?m0c{211?(v22?c2)11?(v21}?0.51?10{c2)611?(0.1cc)2?1} ?2.57Me VEk?m0c{211?(v22?c2)11?(v21}?0.51?10{c2)611?(0.99cc)2?1?(10.9cc)2} ?2.44Me V6-9. 一静止电子(静止能量为0.51MeV)被1.3MeV的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：(1)电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要多少时间？(2)在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解：m0c2?0.51MeV Ek?1.3MeV mc2?m0c?Ek?1.81MeV m?2m01?vc22 v?2.88?108m?s?1 t?v2 l??l1?2clv?8.42.88?108?2.92?10s ?8 ?2.37m6-10. 有两个中子A和B，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为?c．试证明相对中子A静止的参考系中测得的中子B的总能量为： 1??1??222E?m0c 其中m0为中子的静质量。 证明：设中子A为S系，实验室为S?系，中子B相对于中子A速度为 vx?v??ux1?uc22 ?2?c1??2 v?x E?mc?m0c1?222?m0c1?(2vxc2?1??2?)21??1??22m0c 26-11. 一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为9.11?10（1）问电子应通过多大的电势差（2）此时电子的速率是多少？ 解： （1） Ek?eU ?31kg. 才加0.4%？ m?m0m0?0.004 eU?mc2?m0c2?0.004m0c2 U?0.00m40c2e?2.0?531V0 （2） m?1.004m0?m01?vc22 v?2.7?107m?s?1 6-12. 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，求：(1)粒子的速率，(2)粒子的动量。 解：（1） Ek?nm0c2 而 Ek?mc2?m0c2?m0c(211?vc22?1) 整理得 v?cn(n?2)n?1 222242 （2） E?Pc?m0c 而 E?(n?1)m0c P?m0cn(n?2) 26-13. 太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核(1H)和氘核(1H)聚变13为氦核(2He)，同时放出?光子，反应方程为 11H?1H?2He?? 233已知氢、氘和He的原子质量依次为1.007825u、2.014102u和3.016029u. 原子质量单 位1u?1.66?10?27kg. 试估算?光子的能量。 ?29解：?m?1.007825u?2.014102u?3.016029u?0.979?102kg 820.979?10?29?(3?10)?5.51MeV 根据质能方程 ?E??mc?1.6?10?19思考题6 6-1. 关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述： （A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速； （B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （D）在真空中，光的速度与光的频率有关。 答： （D） 6-2. 两飞船A、B均沿静止参照系的x轴方向运动，速度分别为v1和v2. 由飞船A向飞船B发射一束光，相对于飞船A的速度为c，则该光束相对于飞船B的速度为多少？ 答： 光速c 6-3. 在惯性系S和S?，分别观测同一个空间曲面。如果在S系观测该曲面是球面，在S?系观测必定是椭球面。反过来，如果在S?系观测是球面，则在S系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的 6-4. 一列以速度v行驶的火车，其中点C?与站台中点C对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？ 答：根据?t???(?t?uc2?x)由于?t?0?x?0 所以 ?t??0 即对C?点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在先。 6-5. 一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度l0，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？ 答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。 6-6. 假设在海拔9000m高山处产生的?子，静止时的平均寿命为?0?2?s，以速度 v?0.998c向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚下能否测到?子？（1）在地面参考 系中观测；（2）在?子参考系中观测。 2答：在?子参考系中观测?子飞过的距离 l??0v?5.988?10m 对于地面的观测者?子飞过的距离l??l1?vc22?9.46?10m 3 l?大于9000m，所以可以到达地面。 6-7. 在地球上测量来自太阳赤道上相对的两端辐射的Hα线，其中一条Hα线的波长为 656nm，且与另一条Hα线的波长相差9?10?3nm. 假定此效应是由于太阳自转引起的， 求太阳自转的周期（太阳的直径是1.4?10km）。 答：此题可根据多普勒效应求解，具体解略。 6-8. 设在S?系中有一粒子，原来静止于原点O?，在某一时刻粒子分裂为相等的两半A和B，分别以速率u沿x?轴的正向和反向运动。设另一参考系S以速率u沿?x?方向运动。 （1）S系中测得B的速度多大？ 6 （2）S系中测得A和B的质量比( 答：S系中测得B的速度为0。 A相对于S系中的速度： v?u?u1?uc22mAmB)多大？ ?2uc222c?u mA?m01?vc22?m0(cc22?u)22m A?um?cc2?u?u222 B7-1. 原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8） 解：振动方程：x?Acos(?t??), k?m9.8?0.1在本题中，kx?mg，所以k?9.8； ??98 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 （98t??）所以：x?0.1cos 即 x??0.1cos(98t) 7-2. 有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g.t?0时，小球正好经过 ????0.06rad处，并以角速度??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振 动，试求：（g取9.8） （1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 解：振动方程：x?Acos(?t??) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 g?l（1）角频率：??9.8?3.13rad/s， 频率：??12?g9.8??0.5Hz ， l2?l2???2s g9.8周期：T?2? （2）根据初始条件：cos?0??A sin?0????A??0(3,4象限）{?0(1,2象限） 可解得：A?0.088，???2.32 （3.13t?2.32）所以得到振动方程：??0.088cos 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手， 此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。 解：（1）由题知 2A=10cm，所以A=5cm； Km?g?x?9.85?10?2?196 又ω= km?196?14,即 ??12?km?7? （2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=3cm的位置，所以：cos?0?x3? A5那么此时的sin?0??v4?? A?5那么速度的大小为v?4A??0.56 57-4. 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：由题已知 A=12×１０-2m，T=2.0 s ∴ ω=2π/T=π rad·s-1 又，t=0时，x0?6cm，v0?0 ∴由旋转矢量图，可知：?0??（?t?故振动方程为x?0.12cos?3 ?3） (2)将t=0.5 s代入得 x?0.12cos（?t??3）?0.12cos?6?0.104m v??0.12?sin（?t??3）?0.12cos?6??0.188m/s 3方向指向坐标原点，即沿x轴负向． a??0.12?2cos（?t??）??0.12?2cos?6??1.03m/s 2(3)由题知，某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动 即x０=-A/2，且v＜0，故?t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以： ∴t=Δ?/ω=(π/3)／(π) =1/3s 7-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2??A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时， 相位为π/3， 而质点2在 x2??A/2 处，且向右运动， 相位为4π/3 。 所以它们的相位差为π。 7-6. 质量为m的密度计，放在密度为?的液体中。已知密度的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐计算周期。 解：平衡位置： 当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的a：?gSa?mg 可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力 F??g(a?x)S??gaS???gSx??kx 计圆管振动。并深度为 a?Fm???gSxm2?dxdt22 令?2??gSm??g?d4m2 可得到： dxdt2??x?0 可见它是一个简谐振动。 2周期为：T?2?/??4d?m?g 7-7. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：??12?k1k2(k1?k2)m 证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：K1x1?K2x2?Kx和x1?x2?x 可得： 1K?1K1?1K2 所以：K?K1K2K1?K2 代入频率计算式，可得：??12?km?12?k1k2(k1?k2)m 7-8. 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ EP= 12kx2?12k（12A）?214EM，EK?34EM 当物体的动能和势能各占总能量的一半： 12kx21112?（kA）?EM， 222所以：x??2A??0.707A。 27-9. 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 先分析两个振动的状态： （1） A1：?1??2，A2：?2???2， 两者处于反相状态，（反相 ????2??1??(2k?1)?，k?0,1,2,?） 所以合成结果：振幅 A?A2?A1 振动相位判断：当A1?A2,???1；当A1?A2,???2； 所以本题中，???2???2， ） T27-10. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位 ?相差为 。若第一个振动的振幅为103cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两 6简谐振动的位相差为多少？ t?（A2?A1）cos（振动方程：x?2?? 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 A22?A12?A2?2A1Acos30? ２２ =(0.173)+(0.2)-2×0.173×０.２×3／２=0.01 ∴A２=0.1 m 设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ 即cosθ= A1?A2?A2A1A2222?(0.173)?(0.1)?(0.02)2?0.173?0.1222 =0 即θ=π/2，这说明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/2 7-11. 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为A0?3cm，经过t1?10s后，振幅变为A1?1cm。问：由振幅为A0时起，经多长时间其振幅减为A2?0.3cm？ ??tcos(?t??0) 解：根据阻尼振动的特征，x?A0e??t振幅为 A?A0e ?10?若已知A0?3cm，经过t1?10s后，振幅变为A1?1cm，可得：1?3e 那么当振幅减为A2?0.3cm 0.3?3e??t 可求得t=21s。 7-12. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为T0，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求: （1）求振子在水中的振动周期T （2）如果开始时振幅A0?10厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解：（1） 有阻尼时 T?2πω?β202 T0?2πω0 ?βt?βT A?A0e 0.9A0?A0e β??ln0.9T T? （2） T02?4?2?(ln0.9)2?1.00014T0 7-13. 试画出x?Acos(2?t??4)和y?Bcos?t的李萨如图形。 略，可参考书上的图形。 7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： ???x?4cos8?t???6??（1） ????y?4cos?8?t??6????????????x?4cos8?t????6??? ?2????y?4cos?8?t???3??? ????x?4cos8?t????6???（2） ? （3） 5????y?4cos?8?t???6???试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 xA22?yA22?2xyA2cos(?2??1)?sin(?2??1) 2（1）????2??1?则方程化为： x（2）???22?3 ?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆。 ?2??1?? xA1?yA2)?0 y??2则方程化为：(A2A1x 轨迹为一直线。 （3）????2??1??222 则方程化为： x22A1?yA2?1 轨迹为一圆。 弦式交水平方 7-15. 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知向振动频率为2.7?10Hz，求垂直方向的振动频率。 解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它方向的振动频率比3：2。由水平方向振动频率为 2.7?10Hz，可得垂直方向的振动频率为1.8?10Hz。 444满足两 7-1. 试说明下列运动是不是简谐振动： （1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用 d?dt22+ω２ξ=0描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力． (2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsinθ，如题4-1图(b)所示．题中所述，ΔS< ２ d?dt22＋ω２θ=0 7-2. 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度：v= -Aωsin（ωｔ＋φ）； 2 加速度：a=- Aωcos（ωｔ＋φ）； 要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。 7-3. 分析下列表述是否正确，为什么? （1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1； （2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 7-4. 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1：使其从平衡位置压缩?l，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2?l，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用T1、T2和E1、E2表示，则它们满足下面那个关系？ (A) T1?T2E1?E2 (B) T1?T2E1?E2 (C) T1?T2E1?E2 (D) T1?T2E1?E2 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择B。 7-5. 一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从x1?所需要的最短时间为多少？ 答：质点从x1?A2A2运动到x2?A处 运动到x2?A处所需要的最短相位变化为 ?4，所以运动的时间为： ?T。 ?t?4??87-6. 一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置x?0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于x?A/2处时；其势能的瞬时值为多少？ 答：由题意，在平衡位置x?0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于x?A/2处时；其势能的瞬时值为： 12kx2?12k（12A）?214EM?504?12.5J。 8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点?落后，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6解：根据题意，对于A、B两点，????2??1??6，?x?2m 而相位和波长之间又满足这样的关系：????2??1??x2?x1?2????x?2? 代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s 8-2． 已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为 y?Acos(?t??)，波速为u，求: （1）平面波的波动式； （2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）根据题意，距坐标原点O为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来的，其O x1uxu点振动状态传到p点需用 ?t?，也就是说t 时刻p处质点的振动状态重复t? 时刻 O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当于t?x1u 时刻p处质点的振动状 态，则O点的振动方程为：y?Acos[?（t?x1ux?x1x）??]?Acos[?(t?)??] uux1u）??] 波动方程为： y?Acos[?（t??（2）若波沿x轴负向传播， O处质点的振动状态相当于t?x1u 时刻p处质点的振动状态， 则O点的振动方程为：y?Acos[?（t?x1u）??] x1ux?x1x）??]?Acos[?(t?)??] uu（t?波动方程为：y?Acos[??8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d解：（1）仿照上题的思路，根据题意，A点的振 点的振 处）。 动规律 为y?Acos(2??t??)，它的振动是O点传过来的，所以O点的振动方程为： y?Acos[2??（t?lu）??] lu?xu）??] 那么该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程： y?Acos[2??（t?lu?d?lu）??]?Acos[2??（t?du）??] 也可以根据B点的振动经过 du时间传给A点的思路来做。 138-4. 已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； s时的波形如图所示，且周期T为2s. （4）写出A点离O点的距离。 解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0 由图形可知： t?将此条件代入，所以： 2?313s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3， ??13??0 所以?0??3 O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m （2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知： A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0 由图形可知： t?13s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2， 将此条件代入，所以：??2??13??A0 所以?A0??5?6 A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m （4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］ 可得到：xA?730?0.233m 8-5. 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ） t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=??3 t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= ?2 代入振动方程， φ=??3 ω＋φ= ?2 可得：ω= 5?6 T=2π/ω=12/5