第三章 多元随机变量及其分布 一、填空题

1. 设随机变量X~N(?3,1),Y~N(2,1)，且X与Y相互独立。若Z?X?2Y?7，则Z~_________。

x2y22. 设随机变量（X，Y）在区域D?{(x,y)2?2?1}上服从均匀分布，则(X,Y)的分布密度为

ab?f(x,y)??

?3. 已知随机变量X与Y相互独立，P(X?k)?ab,P(Y??k)?2(k?1,2,3)，则kka?_____b_?______,___；联合概率分布为_________；

Z?X?Y的概率分布为____________。

??csin(x?y),0?x,y??4. 已知(X,Y)~f(x,y)??4，则c?____，Y的边缘分布___________。

??0,其他?A(x2?y2),x2?y2?1_5.设随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??，则A?______，

?0,其他1P(X2?Y2?)?_____________。

95. 设随机变量X与Y相互独立，且服从同分布

1，则P(X?Y)?_________。 2126.若X1,X2,?Xn是正态总体N(?,?)的一组简单随机样本，则X?(X1?X2???Xn)服从

nP(X??1)?P(Y??1)?P(X?1)?P(Y?1)?____________。

7. 如果X,Y相互独立，其分布密度用下列表格给出， （X,Y） P （1，1，） 1 6（1，2） 1 9（1，3） 1 18（2，1） 1 3（2，2） ? （2，3） ? ??__________则??_______,。

8.设（X,Y）的分布密度: (X,Y) (-2,-1) (-2,1/2) (-2,3) (-1,-1) (-1,1/2) (-1,3) )

1

(0,-1(0,1/2) (0,3) P 1 12 2 12 2 12 1 12 1 12 0 3 120 2 12则Z?X?Y的分布为______________； U?X?Y的分布为______________。

10. 设相互独立的随机变量X,Y服从同一分布，且??P??X01??Y01????，则随机变量,???0.50.5??P0.50.5?Z?Max(X,Y的分布律为_____________。

二、选择题

1. 设随机变量（X,Y）的联合分布密度函数为F(x,y)，则P(X?a,Y?b)?__________。 （A）1?F(a,b)；

（B）F(a,??)?F(??,b)；

（D）F(a,b)?1?F(a,??)?F(??,b)。

（C）F(a,b)?1?F(a,??)?F(??,b)；

2. 设（X,Y）的联合分布函数为F(x,y)，则其边缘分布函数FX(x)?_______________。 （A）limF(x,y)； （B）limF(x,y)； （C）F(0,y)； （D）F(x,0)

x???y???3. 设随机变量（X,Y）只能取下列数值中的值：(?1,0),(0,1),(2,0),(2,1)，且取这些值的相应概率依次为,1115,,，则c?（ ）。 c2c4c4c（A）2； （B）3； （C）4； （D）5 4. 设随机变量X,Y相互独立，且X~??0.2??01?1??0???，则必有（ ） ,Y~???0.8??0.20.8?（A）X?Y； （B）P(X?Y)?0； （C）P(X?Y)?0.68； （D）P(X?Y)?1。 5. 设随机变量（X,Y）在区城G?{(x,y)0?x?1,0?y?2}上服从均匀分布，则P(Y?X)=（ ） （A）

21125； （B）； （C）； （D） 63366. 设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(?1,2)，则（ ）

11；（B）P(X?Y?1)?； 2211（C）P(X?Y?0)?；（D）P(X?Y?1)?。

22（A）P(X?Y?0)?

三、计算题

2

1. 将A，B两枚硬币各投掷一次，以X表示A币得到的正面数，以Y表示A，B两枚硬币得到的正面总数 ，

求（X，Y）的联合分布律及边缘分布律。 2. 设随机变量（X，Y）在区域G?{(x,y)0?x?1,0?y?2}上服从均匀分布，求P(Y?X2)。

?Ae?2x?3y,(x?0,y?0)3. 设（X，Y）的联合密度函数f(x,y)??，求：常数A；（2）P(X?1,Y?2)（3）

?0,(其他)（4）P(X?Y?3)。 fX(x),fY(y)；

??2y,(0?y?1)?13,(?1?x?2)4. 设随机变量X,Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)??， ,fY(y)??0,(其他)???0,(其他) 求Z?X?Y的密度函数fZ(z)。

3?4??1?25. 设两个独立的随机变量X,Y的分布X~??0.30.7??,Y~??0.60.4??，求随机变量Z?X?Y的分布

????律。

?e?y,y?0?1,0?x?16. 设两个独立的随机变量X,Y其概率密度分别为fX(x)??，试求随机,fY(y)???0,其他?0,y?0变量Z?X?Y的概率密度。

7. 设甲乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X，Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X，Y的联合分布律。 8. 已知P(X1X2?0)?1且X1~??0.250.5???101?1??0??,X~2?0.50.5??； 0.25????求：（1）X1与X2的联合分布律；（2）问X1与X2是否相互独立？为什么？

9. 盒子里装有3个黑球，2个红球，2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的个数，试求P?X?Y?

10. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?k(6?x?y), 0?x?2,2?y?4,p?x,y???

?0, 其他 试求

（1） 常数k;

3

（2） P?X?1,Y?3?; （3） P(X?1.5); （4） P(X?Y?4).

11. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?6(1?y), 0?x?y?1,p?x,y???

0, 其他 ?（1） 求P(X?0.5,Y?0.5); （2） 求P(X?0.5)和P(Y?0.5); （3） 求P(X?Y?1).

12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?2xy?x?, 0?x?1,0?y?2,p?x,y??? 3??0 其他 求P(X?Y?1).

13. 设二维离散随机变量(X,Y)的可能取值为(0,0)，(?1,1)，(?1,2)，(1,0)，且取这些值的概率依次为16，13，112，512，试求X与Y各自的边际分布列。 14. 如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

??x??y??max?x,y?, x?0,y?0,??x??y??1?e1?e2?e1212F(x,y)??0, 其他??

试求X与Y各自的边际分布函数。

15. 求以下给出的(X,Y)的联合密度函数的边际密度函数pX(x)和pY(y)：

?522??x?y?, 0?y?1?xp(x,y)??4,

??0, 其他 16. 设随机变量X与Y相互独立，其联合分布列为

4

Y y y y 123X x1 x2 试求联合分布列中的a,b,c

17. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

a 19 c 19 b 13 ?3x, 0?x?1,0?y?x,p?x,y???

?0 其他 试求（1）边际密度函数pX(x)和pY(y); （2）X与Y是否独立？ 参考答案: 一、填空题 1. N(0,5);

?1,x?D?2. f(x,y)???ab;

??0,x?D3. a?636,b?; 1149X Y Y 1 2 3 -1 -2 -3 联合分布：

ab ab 2ab 3ab 4ab 8ab 12ab 9ab 18ab 27012???2?11??? ，. Z?X?Y的概率分布：Z~??24?66?251?539?126?72a??4. c?5. A?6.

2?1,fy(y)?(2?1)2?2sin(y?11,P(X2?Y2?)?. ?9812?8),0?y??4.

1. 25

7. N(?,?2) 8. ??21,?? 99??X?Y???P?9. ??X?Y???P?10. ??321132121212123?1012311112121212?3?2?1?1?13?2?122??121212?

5?35?2?222??121212??01??Z?。 ??P0.250.75?二、选择题：1)C； 2)B；3）B；4）C；5）D；6）C。 三、计算题

?01. X~?1??22.

0??0??1?,Y~?12??41122??1? 4?5 6?2?6?2e?2x,(x?0)?2e?3y,(y?0)?6?93. A?6;(1?e)(1?e);fX(x)??；1?3e?2e ;fY(y)?3??0,(x?0)?0,(y?0)?0,z??1?0,z??1?z2?1?(z?x)dx,?1?z?0?(z?1)2,?1?z?0???13?3?????z2?14. fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx???。 (z?x)dx,0?z?2??,0?z?2??z?133??212?2?4(z?x)dx,2?z?3z?z?1,2?z?3??z?13?33??0,z?3????0,z?35. ???X,Y?P(1,2)(1,4)(3,2)(3,4)??X?Y?，??0.180.120.420.28???P3570.180.540.28??? ???0,z?0?0,z?0????z6. fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx???e?(z?x)dx,0?z?1??1?e?z,0?z?1。

??0?1?e?z(e?1),z?1?(z?x)??edx,z?1??07. X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5)，X,Y独立。

6

?X??P?012??Y012????，， ???0.640.320.04??P0.250.50.25?X Y Y 0 1 2 0.16 0.08 0.01 0.32 0.16 0.16 0.08 0.02 0.01 0 1 2 8. 由于P(X1X2?0)?1?P(X1X2?0)?0，于是

X2 -1 0 1 PX2(xj) X1 Y 0 1 PX1(xi) 0.25 0 0.25 0 0.5 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.5 1 9. 解

P(X?Y)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?3??2??2??3??2??2?????????????112220 =??????????????7??7?????4???4? =

10. 解 （1）由

639???0.25713535352??0242k(6?x?y)dydx?k?(6?2x)dx?8k?1，解得k?18

0113113(6?x?y)dydx?(3.5?x)dx? ???02088811.5411.527（3）P(X?1.5)???(6?x?y)dydx??(6?2x)dx?

8028032（2）P(X?1,Y?3)?（4）p(x,y)的非零区域与?x?y?4?的交集如图1的阴影部分，

7

图1

由图1得

124?x(6?x?y)dydx??028

122 =?(0.5x2?4x?6)dx?803P(X?Y?4)? 11. 解

（1）p(x,y)的非零区域与?x?0.5,y?0.5?的交集为图2（a）阴影部分，所以

P(X?0.5,Y?0.5)?6?dy?(1?y)dx0.50.51y1 =6?(?y2?1.5y?0.5)dy?0.581

（2）p(x,y)的非零区域与?x?0.5?的交集为图2（b）阴影部分，所以

0.510.5117P(X?0.5)?6?dx?(1?y)dy=6?(x2?x?)dx?

0x0228又因为p(x,y)的非零区域与?y?0.5?的交集为图2（c）阴影部分

0.50.50.5131P(Y?0.5)?6?dx?(1?y)dy=6?(x2?x?)dx?

0x0282（3）p(x,y)的非零区域与?x?y?1?的交集为图2（d）阴影部分，所以

P(X?Y?1)?6?0.50?1?xx13(1?y)dydx=6?(?x)dx?

0240.5 8

图2（a） 图2（b）

12. 解 p(x,y)的非零区域与?x?y?1?的交集为图3阴影部分，

所以

1xyx2P(X?Y?1)???(x?)dydx??(x2y?y2)1?xdx01?x036122 图2（c） 图2（d）

41?41?65?5?5 =??x3?x2?x?dx??x4?x3?x2??0632?94?072??2411

图3

9

13. 解 由题设条件知，(X,Y)的联合分布列为

X Y 0 1 2 Y\\ -1 0 1 0 1/6 5/12 1/3 0 0 1/12 0 0

在上面表格中按行相加，得X的边际分布列；按列相加，得Y的边际分布列：

?X??P??10511261??Y01?,?5??P7112??1232??1? 12?14. 解 因为

y???x????lim?1?elim1?e??1x?e??2y?e??1x??2y??12max?x,y??1?e??1x，

??1x?e??2y?e??1x??2y??12max?x,y????1?e??2y，

所以X和Y各自的边际分布函数为

?1?e??1x, x?0,FX?x??F?x,????limF?x,y???

y??0, 其他??1?e??2y, y?0,FY?y??F???,y??limF?x,y???

x???0, 其他

可见，这两个边际分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立。

15. 解 因为p?x,y?的非零区域为图4阴影部分，

10

图4

所以当?1?x?1时，有

px?x???1?x20525255222x?ydy?x1?x?1?x?1?x4?, ???????4488所以X的边际密度函数为

?54?(1?x), ?1?x?1, pX?x???8??0, 其他

又因为当0?y?1时，有

1?ypY?y????52531?y105x?ydx?x|?y1?y?1?y(1?2y)， ??121?y46?1?y4所以Y的边际密度函数为

?5?1?y(1?2y), 0?y?1, pY?y???6?0, 其他?

16. 解 先对联合分布列按行，按列求和，求出边际分布列如下：

Y y1 y2 y3 P?X?xi? X x1 x2 P?Y?yi? a 19 c 19 b 13 a+ c +19 b+49 a+19 b+19 c+13 11

1

由X与Y的独立性，从上表的第2行、第2列知b?(b?49)(b?19)，从中解得b?29。再从上

表的第2行、第1列知19?(b?49)(a?19)，从中解得a?118。最后由联合分布列的正则性知：

a?b?c?49，由此得c?16。

17. 解 （1）因为当0?x?1时，有

pX?x???????p(x,y)dy??3xdy?3x2，

0x所以X的边际密度函数为

?3x2, 0?x?1,pX?x???

0, 其他?这是贝塔分布Be(3,1)。

又因为当0?y?1时，有

pY?y???????p(x,y)dx??3xdx?y13213x|y?(1?y2)， 22所以Y的边际密度函数为

?32?(1?y), 0?y?1,pY?y???2

?0, 其他?

(2)因为p(x,y)?pX(x)pY(y)，所以X与Y不独立。

12