d2?2?22Ⅱ区：????0其中??E 22dxh处处有限的解是：?2(x)?Bsin(?x??),B,?是任意常数。
d2?2?22Ⅲ区：????0其中??(V0?E) 22dxh处处有限的解是：?3(x)?De有上面可以得到：
??x,D是任意常数。
1d?11d?21d?3??,??ctg(?x??),???,
?1dx?2dx?3dx有连续性条件，得：
??ctg??{???ctg(?L??) ?解得：
???? tg(?L)????21?2?因此得：?L?n??2tg(?/?) 这就是总能量所满足的关系式。
（2） 有上式可得：
?1?n??L?tg(?) ?22?{2?Lctg??n?奇数2?tg?L??n?偶数，包括零
?L??(?L)ctg亦即
?L2
?L?(?L)tg令?L?L2?u,?L?v，则上面两方程变为：
uv??utg??（1）2 uv?utg??（2）2（3）另外，注意到u和v还必须满足关系：u?v?2?V0L/h??
所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。
3.8 有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V??；在势箱内，V?0。式计算出粒子可能具有的能量。
解：势能分布情况，由题意知：
2222Vx?0,0?x?a;Vy?0,0?y?b;Vz?0,0?z?c;Vx??,x?0和x?aVy??,y?0和y?bVz??,z?0和z?c在势箱内波函数?(x,y,z)满足方程：
?2??2??2?2m??2?2[E?(Vx?Vy?Vz)]??0 222x2y2zh解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。
令?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)
代入（1）式，并将两边同除以X(x)Y(y)Z(z)，得：
1d2X2m1d2Y2m1d2Z2m2m(?V)?(?V)?(?V)??E xyz2222222XdxYdyZdzhhhh方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下：
1d2X2m2m?V??Exx222Xdxhh1d2Y2m2m?V??Eyy222Ydyhh
1d2Z2m2m?V??Ezz22Zdz2hh其中E?Ex?Ey?Ez,Ex,Ey,Ez皆为常数。将上面三个方程中的第一个整数，得：
d2X2m?2(Ex?Vx)X?0??（2） 2dxh边界条件：X(0)?X(l)?0
可见，方程（2）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为：
n?2sinxxaa
22?h2Ex?nx,nx?1,2,3??2?a2Xn?类似地，有
Yn?ny?2sinybbZn?Ez??2h22Ey?ny,ny?1,2,3??22?bnz?2c2sin2cz??(x,y,z)?E?(?h2nz,nz?1,2,3??22?cny?ynx?x8abc?nysina2
sinbsinnz?zc2?2h2nx22ma2b2n?z2)c可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。
对于方势箱，a?b?c,波函数和能量为：
?(x,y,z)?E?ny?ynx?xnz?z8sinsinsinaaaa3222?h22
2ma2n2,n2?nx?ny?nz第四章 碱金属原子
4.1 已知Li原子光谱主线系最长波长??6707A，辅线系系限波长???3519A。求锂原子第一激发电势和电离电势。
解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为V1，电离电势为V?，则有：
??eV1?h?V1?c?
hc?1.850伏特?ecceV??h?h????V??hc11(?)?5.375伏特。e?????4.2 Na原子的基态3S。已知其共振线波长为5893A，漫线系第一条的波长为8193A，基线系第一条的波长为18459A，主线系的系限波长为2413A。试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。
解：将上述波长依次记为
???pmax,?dmax,?fmax,?p?,即?pmax?5893A,?dmax?8193A,?fmax?18459A,?p??2413A容易看出：
????
~?T3S?v?T3P?11?P???4.144?106米?11?2.447?106米?1
?P??pmax1T3D?T3p?T4F?T3D??dmax1?1.227?106米?1?0.685?106米?1???fmax4.3 K原子共振线波长7665A，主线系的系限波长为2858A。已知K原子的基态4S。试求4S、4P谱项的量子数修正项?s,?p值各为多少？
~?1/? 解：由题意知：?pmax?7665A,?p??2858A,T4s?vP?P由T4S???R，得：4??s?Rk/T4S
(4??s)21?1
设RK?R,则有?s?2.229,T4P?与上类似
?P??Pmax?p?4?R?/T4P?1.764