dn12ze22d?……（3） ?Nt()(2)?n4??0Mvsin42式中立体角元d??ds/L,t?t/sin60?2t/3,??20

'N为原子密度。Nt为单位面上的原子数，Nt??/mAg??(AAg/N0)，其中?是单位

'?12'0'0面积式上的质量；mAg是银原子的质量；AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

dn2?N01ze22d? 2?()()?nMv23AAg4??0sin42由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为

10?10米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过

计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设?粒子和铅原子对心碰撞，则?粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

01Mv2?2Ze2/4??0R?3.78?10?16焦耳?2.36?103电子伏特 2由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：

6F?2Ze2/4??0R2和F?2Ze2r/4??0R3。可见，原子表面处?粒子所受的斥力最大，越

靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设?粒子擦原子表面而过。此时受力为F?2Ze/4??0R。可以认为?粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v,

22?粒子的动能为Mv2?K，因此，

12v?2K/M，所以，t?D/v?DM/2K

根据动量定理：

?t0Fdt?p??p??Mv??0

0而

?t0Fdt?2Ze/4??0R2222?t0dt?2Ze2t/4??0R2

所以有：2Zet/4??0R?Mv? 由此可得：v??2Zet/4??0RM

22?粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

tg??v??2Ze2t/4??0R2Mv?2Ze2D/4??0R2Mv2 v?2.4?10?3?3‘这时?很小，因此tg????2.4?10弧度，大约是8.2。

这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的? 粒子被铅原子散射，不可能产生散射角??90的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当?粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生??90的散射，甚至会产生??180的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。

000第二章 原子的能级和辐射

h2?2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

p??mvr?n

vnhh??可得：频率 ??22?a12?ma12?ma12?6.58?1015赫兹

速度：v

?2?a1??h/ma1?2.188?106米/秒

22222w?v/r?v/a?9.046?10米/秒加速度： 12.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。 解：电离能为Ei?E??E1，把氢原子的能级公式En??Rhc/n代入，得：

211Ei?RHhc(2?)?Rhc=13.60电子伏特。

?1电离电势：Vi?Ei?13.60伏特 e1133E?Rhc(?)?Rhc??13.60?10.20电子伏特 第一激发能：iH224412第一激发电势：V1?E1?10.20伏特 e2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

11E?hcRH(2?2) 其中hcRH?13.6电子伏特

1n1E1?13.6?(1?2)?10.2电子伏特

21E2?13.6?(1?2)?12.1电子伏特

31E3?13.6?(1?2)?12.8电子伏特

4其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n?4的能级上去，所以只能出现n?3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

1?11?RH(11?)?5RH/362223??1?6565A?21?RH(113?)?RH22412?

?2?1215A?3?RH(118?)?RH22913??3?1025A2.4 试估算一次电离的氦离子He、二次电离的锂离子Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：

??4??0h2n2n2r??a1,n?1,2,3??Z4?2mZe24??0h2?10其中a1??0.529177?10米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；224?me

??Z是核电荷数，对于H,Z?1；对于H,Z?2；对于Li，Z?3；rHeZHZ1rLi??1因此，玻尔第一轨道半径之比是??,?H?rHZH?2rHZLi??3e?b) 氢和类氢离子的能量公式：

2?2me4Z2Z2E???E1?2,n?1,2,3??

(4??0)2n2h2n2?2me4??13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。其中E1?? 22(4??0)h电离能之比：

0?EHe0?EH?2ZHe?2?4,ZH0?ELi0?EHc)

???2ZLi??

Z2H?9第一激发能之比：

2222E12?E1221EHe?EHe21?4?21EH?EH1212E12?E1221 2233E?E211122ELi?ELi21?9?212EH?EH112E12?E1221d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：

n1?1,2,3??112~v?ZR(2?2)，{n2?(n1?1),(n1?2)??

n1n22?2me4其中R?是里德伯常数。

(4??0)2h3氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：