数学建模第四章 习题

1．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是?。用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、

s、?的关系。

2．深水中的波速v与波长?、水深d、水的密度和重力加速度g有关。用量纲分析方法证明它们之间的关系可以表示为v??g?(d/?)，?是未定函数[18]。

3．原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放

?et2能量e、大气密度?、大气压强p有关（设t?0时r?0）。用量纲分析方法证明r?????未定函数

[42]????1/5?p5t6?????e2?3?，?是

??。

4．用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数

?，热传导系数k，人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为

h?k?v?d?c??,??， d??k???是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为10C时的热量交换[18]。

5．用量纲分析方法研究两带电平行板间的引力。两板面积均为s，间距为d，电位差为v，板间介质的介电常数为?。证明两板之间的引力f??v的定义是f?2??s/d2?。如果又知道f与s成正比，写出f的表达式。这里介电常数?q1q2[18]

，其中q1、q2是两个点电荷的电量，d是点电荷的距离，f是点电荷间的引力。 2?d?p0?r3?初始压强p0，水密度?，水的体积弹性模量k，用量纲分析方法已经得到p?p0???k,m??。设模拟实验与

??现场的p0、?、k相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/1000。为了使实验中接收到与现场相同的压强p，求

实验时接收冲击波仪器的相对位置（即问是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍）

[18]

6．考察模拟水下爆炸的比例模型。爆炸物质量m，在距爆炸点距离r处接收冲击波，产生压强p，记大气

。

7．质量m的小球以初速v竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k。设初始位置为x?0，x轴竖直向上，则运动方程为

????mx?kx?mg?0,x(0)?0,x?v

方程的解可表为x?x(t,v,g,m,k)。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k很小时求近似解的可能性

[26]?。

8．设有如下方程给出的一维热传导问题：

k?22u?au,a?,t?0,0?x?lxx?1c??? ?u(x,0)?0,0?x?l?u(0,t)?u(l,t)?u,t?00???其中k是热传导系数（卡/厘米·秒·度），c是比热（卡/克·度），?是密度（克/厘米）。试选择特征尺度将问题无量纲化

[26]3.