Y?A?B ………………………………… 3分
由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分 5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果通子集. 证明：若
Y??????,则
Y????是X的一个连
Y????是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得
Y?????A?B………………………………………… 4分
Y????,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而
任意选取x?Y?????A及
B??,矛盾，
所以
Y????是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.
证明：若B?X,则结论显然成立.
下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.
证明：若?(A)??,由于?(A)?A??A??,从而
??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),
故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以
?(A)??. ……………………………………………… 8分
8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是可数补空间，x
因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}?y?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?
因为X?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是有限补空间，x
因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?
?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公理，证明：Y也
满足第二可数性公理.
证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于f:X?Y是一个开映射，
B ?{f(B)|B?B}是由
Y中开集构成的一个可数
族. …………………………………………………………3分
下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,使得f?1(U)?B?B 1B.由于f是一个满射，所以有U?f(f?1(U))?B?B 1f(B),从而U是B中
某些元素的并，故B是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分
11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理，证明：Y也
满足第一可数性公理.
证明：对?y?Y,由于f:X?Y是一个满射，所以存在x?X,使得f(x)?y,由于X满足第一可数性公理，故在点x处存在一个可数邻域基，设为V x,又由于f:X?Y是一个开映射，则
V y ?{f(V)|V?V x}是Y中点y的一个可数邻域族. …………3分
下面证明V y是Y中点y的一个邻域基.设U是Y中点y的任意邻域，则f?1(U)是X中点x的一个邻域.因此存在V?V x,使得V?f?1(U).因此f(V)?U,从而V y是Y中点y的一个邻域基.这说明
Y也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分
12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点.
证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux，
使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基，故一定存在一个Bx?B,使得：x?Bx?Ux,
更有Bx?A={x}, ……………………………………………………4分
若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数.于是 A =
?{x}=
x?A(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚
Bx?C点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.
证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于X满足第二可数性公理，
设B是X的可数基 ………………………………………………3分
对A的每一个元素A ,因为B是X的基,存在B?B使得B?A.因为A中的元素两两无交,从而A中不同元素包含B中的元素也不相同.因为B可数, 故A是可数族. ………………………………8分 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分
?),从而x?d(A)，矛盾.故U含有A中的无限多个又易知(U?B)?(A?{x}?点. ………………………………………………………8分
15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有U?A是无限集.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻
域. …………………………………4分
?}?又易知(U?B)?(A?{x,从而x?d(A)，矛盾.故U?A是无限
集. …………………………………………………………………8分 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，由于X是T2空间，故y1和y2i??i??各自的开邻域U,V，使得U?V??.因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，xi?U；同
i??理存在N2?0，使得当i?N2时，xi?V.…………………………………………4分
令N?max{N1,N2},则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾，故{xi}的极限点唯一. ……………………………………………8分
17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间X?X的对角线
是一个闭集. ??{(x,x)?X?X|x?X}证明：充分性：对任意x,y?X,x?y，于是(x,y)???,由于?是闭集，所以??是开集，从而有X的开邻域U,V使得(x,y)?U?V???，于是U,V分别是x,y的开邻域,且U?V??，从而X是Hausdorff空间. ……………………………………………………………4分
必要性：若X是hausdorff空间，对?(x,y)???，则x和y分别有开邻域U,V，使得U?V??，从而(x,y)?U?V???，由于U?V是X?X中的开集，所以??是其每一点的邻域，故??是开集，从而?是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的闭子集.
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设
W?f?1(U)?V，…………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集，
从而A是闭集. …………………………………………………8分
19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得W因此V?V??.
?V??，故V?W?，
?W?. ………………4分
x的开邻域
又由正则空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和B分别有开邻域U和V使得
U?V??.
证明：由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得W因此V?V??，故V?W?，
?W?.………………4分
A的开邻域
由正规空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭集A,B都存在一个连续映射