（二）高二下学期：

1、计数法

注：本章练习题请见附录Ⅰ （穷举法和分类法、分步法）

1、穷举法

定义：将一个集合中的元素不重复、不遗漏地一一列举出来的方法。 两种重要的穷举法：字典排列法、累加法。 2、分类法、分步法

①分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2?m3?????mn种不同的方法。 ②分步计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2?m3?…?mn种不同的方法。

（排列与组合）

一、 排列

1、选排列和选排列数

?选排列：一般的，从个不同的元素中取出

nk(k?n)个元素，按照一

定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个选排列. ?选排列数：从个不同的元素中取出

nknk(k?n)个元素的所有排列的个

数，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个选排列，用符号

nkA表示.

nk 例：在3000与8000之间没有重复数字的奇数有多少个？

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2、选排列数计算公式 排列数公式：

Am?n(n?1)?(n?m?1)?

n!(m?n,n,m?N)

(n?m)! 注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1

m11mm?10An??Am?Am?Cm?n?Am?mAm?nCn?Cn 规定A?nAn?1 1nmnnn?1

二、组合

（1）组合定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n?1)?(n?m?1)n!n （2）组合数公式：C?m ?Cm?nm!m!(n?m)!Ammnm?1mmmn?m （3）两个公式：①Cn?Cn; ②Cn?Cn?Cn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不

mm?1同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm?n1?C1 1?Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的

1n个元素中再取m-1个元素，所以有Cm?n，如果不取这一元素，则需从剩余n

个元素中取出m个元素，所以共有

mm?1mmCn种，依分类原理有Cn?Cn?Cn?1.

（4）排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

（5）①几个常用组合数公式

nCn?Cn?Cn?????Cn?2 012n 50

024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cm?C?C?C?Cnm?1m?2m?nm?n?1k?1kCk?nCnn?1

11k?1Ck?Cnn?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

n?111123n1??） （利用?????1?n!(n?1)!n!2!3!4!(n?1)!(n?1)!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用Cn?Cmm?1nmC3?C4?C5??Cn?Cn?1. ?Cn?1递推）如：

333340212n2nvi. 构造二项式. 如：(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n

注：排列组合解决问题方法

排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”。 ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行

m全排列有An由于要求m个元素次序一定，n种，m(m?n)个元素的全排列有Am种，

因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组方x1.每x2一x种x4法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故3（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数

3等于插隔板的方法数C11.

AnnAmm种排列方法.

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注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi?1，有

x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求a的正整数解的个数为CA?n .

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak. k244例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A22?1575.

n?1若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为

22224C101C91C8C6C4C2/A2?A24

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am

例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法

233为：C10?C8?C55?A3种.

m若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排

234方法有C10C8C5?A33种

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C10C8C5?2520若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为

123C10C9C7?12600.

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（二项展开式）

0n01n?1rn?rrn0nab?Cnab???Cnab???Cnab. 1. ⑴二项式定理：(a?b)n?Cn展开式具有以下特点：

① 项数：共有n?1项；

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