112=121 162=256 212=441 262=676 312=961 362=1296 412=1681 462=2116 512=2601 562=3136 612=3721 662=4356 712=5041 762=5776 812=6561 862=7396 912=8281 962=9216 规律：

平方数的规律及100以内的整数平方表 122=144 132=169 142=196 172=289 182=324 192=361 222=484 232=529 242=576 272=729 282=784 292=841 322=1024 332=1089 342=1156 372=1369 382=1444 392=1521 422=1764 432=1849 442=1936 472=2209 482=2304 492=2401 522=2704 532=2809 542=2916 572=3249 582=3364 592=3481 622=3844 632=3969 642=4096 672=4489 682=4624 692=4761 722=5184 732=5329 742=5476 772=5929 782=6084 792=6241 822=6724 832=6889 842=7056 872=7569 882=7744 892=7921 922=8464 932=8649 942=8836 972=9409 982=9604 992=9801 152=225 202=400 252=625 302=900 352=1225 402=1600 452=2025 502=2500 552=3025 602=3600 652=4225 702=4900 752=5625 802=6400 852=7225 902=8100 952=9025 1002=10000 (1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同. (2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.

(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数. (4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1. (5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型. (6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.

(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型. (8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.

(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8) (10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数. (11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.

(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).

一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.

如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.

x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.

五组常见的勾股数：

32+42=52 ；52+122=132 ；72+242=252 ；82+152=172 ；202+212=292 9+16=25；25+144=169；49+576=625； 64+225=289； 400+441=841

记忆技巧：

(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab | | | | | | a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b 例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169 882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744 用处：

①训练计算能力，使计算更快更准确；

②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到 ?? 之间的所有质数是不是n的因子即可，超过 ??的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49< 2431<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=11×13×17. ③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28 ，322=1024=210 ， 642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744, 112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的) 122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).