2019年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）

1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（ ）

A． B． D．

【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项． 【解答】解：原式=++==．

A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1； B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；

C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1； D、阴影部分面积为xy=×2=1． 故选B．

【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．

2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）

A．2π B．4π C．2 D．4

【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC． 因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=BC=2

．

∠ACB=

=30°×60°，由勾股定理得

【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D， 连接O′C，O′B，O′D，OO′， ∵O′D⊥AC， ∴O′D=O′B． ∵O′C平分∠ACB，

=30°∴∠O′CB=∠ACB=×60°． ∵O′C=2O′B=2×2=4， ∴BC=故选：C．

=

=2

．

【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．

3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ） A．4

B．5

C．6

D．9

【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m?n，则p=m+n（m，n同号）， ∵m=±1，±2，±3，

n=±12，±6，±4，

∴p=±13，±9，±9，共6个值． 故选C．

【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．

4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ） A．15

B．20

C．25

D．30

【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解． 【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道， 由题意得，

①×2﹣②得，z﹣x=20， 所以，难题比容易题多20道． 故选B．

【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．

5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45° ，∠C=30°，则AB=（ ）A．

B．2

C．3

D．6

，

【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．

【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图

设BE=x，

∵∠BDA=45°，∠C=30°，

∴DE=x，BC=2x， ∵tan∠C=∴

，

=tan30°，

，解得x=

，

﹣3=

，

=3

．

∴3x=（3+x）

在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=

222

由勾股定理得：AB=BE+AE，AB=

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）

6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是 ﹣2≤x≤3 ．

【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围． 【解答】解：从三种情况考虑：

第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3； 第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立； 第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2； 所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．

【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．

9．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣9c，则m的最小值为 ﹣ ．

【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值． 【解答】解：由题意可得

，

解得a=﹣3，b=9﹣，c=，