第四章 几何图形初步 单元小结

单元内容概述

本章的主要内容是图形的初步认识，主要介绍了生活中的多姿多彩的图形（立体图形、平面图形），以及最基本的平面图形——点、线、角等，都是从现实生活中熟悉的物体入手，使对物体的形状逐步由模糊的、感性的认识，上升到抽象的数学图形的理性认识.

单元教学重点

重点：线段、射线、直线与角的有关概念和性质

单元教学难点

难点：线段的长短比较，角的大小比较及关于线段、角的有关运算

知识点梳理

1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。识别几何体，应以直观观察为主，一般特征以观察者获得的形象感觉加以表述即可，如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化 例1 如图1所示，是三棱锥的立体图形是（ ）

图1

分析：解决本题的关键是根据图形特征，区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥，可从底面的形状入手进行判断。B中的底面是圆，故不是棱锥，C的底面是四边形，D的底面是五边形，它们都不是三棱锥，只有A是三棱锥。 解：A

2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。 例2 将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体.

分析：由于题目中没有说明绕哪条边旋转，考虑到直角三角形有三条边，所以必须分三种情况，得到三个不同的几何体.

解：如图2分别沿三条边旋转一周，得到如图3所示的三个几何体：

注：在旋转过程中，若点在“轴”上，则旋转一周后该点的位置不变；若点不在“轴”上，则旋转一周后形成一个圆；与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合；与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面（圆）；与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面.

3. 线段、射线、直线

(1)线段、射线、直线的定义

①线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线.线段可以量出长度. ②射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点.射线无法量出长度.

③直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点.直线无法量出长度. 4. 线段、射线、直线的表示方法

（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.

（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面. （3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.

例3 如图（3），A、B、C、D为平面内每三点都不在同一直线的四点，那么过其中的两点，可画出6条直线，那么A、B、C、D、E为平面内每三点都不在同一直线的五点过其中两点可以画几条直线？若是n个点呢？

析解：对于已知四点A点与其他三点各确定一条直线，共3条直线，过B、C、D也各有三条直线，这样共有12条直线，但每条都重复一次，所以应该是对于已知五个点，类似地可以得到：对于n个点，就可以得到

1?4?3?6条； 21?5?4?10； 21n(n?1)条。 25. 直线公理：过两点有且只有一条直线.简称两点确定一条直线. 例4 怎样使栽种的树在一条直线上，请说明其中的道理。 分析：利用“两点确定一条直线”解答

解：只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线。 6. 线段的比较（1）叠合比较法；（2）度量比较法.

例5.如图五，有一张三角形纸片，你能准确的比较线段AB与线段BC的长短吗？

析解：把边BC折到AB上，可知点C在线段AB上，所以AB＞BC。此题也可以用度量法。

CA图五B

7. 线段公理：“两点之间，线段最短”.连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离.

例6如图1，河流L两旁有两个村庄A、B，现要在河边修一个水泵站，同时向A、B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.

ALP图 1B

分析：把两村庄A、B看作平面内的两个点，连接AB与河流L交于点P（如图1所示），根据线段的性质：两点之间，线段最短.可知在点P处修建水泵站能使铺设的管道最短. 解：连接AB交河流L于点P，则P点即为所求的水泵站的位置。

8. 线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点.若C是线段AB的中点，则：AC＝BC＝

1AB，或AB＝2AC＝2BC. 2例7 如图4，P是线段MN上一点，A为MP中点，B为MN中点，试探究线段PN与AB的数量关系，并说明理由．

解析：PN=2AB．

理由：因为A为MP中点，所以MA =－

111MP。同理，MB=MN．所以AB=MB－MA=MN222111MP=（MN－MP）=PN，即PN=2AB． 2229. 角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点.（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形.

10. 角的表示方法：角用“∠”符号表示.（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间）.（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角.（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角.（4）直接用一个大写英文字母来表示.

例8 如图1，下列表示角的方法错误的是（ ） ．．

A． ∠1与∠AOB表示同一个角 B. ∠AOC也可用∠O来表示

C. 图中共有三个角: ∠AOB，∠AOC，∠BOC D. ∠β表示的是∠BOC

分析：当以一个点为顶点的角只有一个时,才能用表示这个角的顶点的大写字母表示。另外∠1、∠2、?还有∠α、∠β?等都是为了表示角时方便。这在以后的学习中你会有更深的体会。故本题选B。 解：B

11. 角的度量：会用量角器来度量角的大小.

12. 角的单位：角的单位有度、分、秒，分别用“°、′、″”表示.角的单位是60进制与时间单位是类似的.度、分、秒的换算：1°＝60′，1′＝60″.

例9．(1)将26.38°化为度、分、秒；(2)将35°40′30″化为度.

分析：把度化成度、分、秒的形式，一般都是把度的小数部分化成分，把分的小数部分化成秒；把度、分、秒的形式化成度，一般地是先把秒化成分，再把分化成度. 解：(1) 26．38°=26°+0.38×60′=26°+22.8′=26°+22′+0.8×60″=

26°+22′+48″=26°22′48″；

?1??1?（2）30″=??×30=0.5′,40.5′=??×40.5=0.675°，

?60??60?所以35°40′30″=35.675°.

0＇０?1??1?说明：第（2）题也可用1′=?，1″=???直接计算.

?60??3600?13. 锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小：（1）平角：角的两边成一条直线时，这

个角叫平角.（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角.（3）0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°. 14. 画两个角的和，以及画两个角的差：（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画.（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°. 例10. 计算 55°23′+16°35′.

分析：角度相加，应是度与度相加，分与分相加，秒与秒相加. 但要注意度、分、秒之间的进位是60进制，进位时，60″=1′，60′=1°. 解： 55°23′+16°35′

=(55°+16°)+（23′+35′） =71°+58′=71°58′

说明：本题也可用竖式计算如下：

48°39′40″

＋ 67°41′35″ （对齐位） 115°80′75″ （做加法）

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