112－7π?1?

?0，4?， ＝＝，所以α∈

113??1＋2×7

112＋3

又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝

11＝1， 1－2×3?π?

而β∈?2，π?，所以2α－β∈(－π，0)，

??故2α－β＝－

3π

.] 4

T(α±β)公式的变形及应用

[探究问题]

1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？ (1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝_________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________.

tan αtan β＝____________________________________. (2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝__________________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________.

tan αtan β＝____________________________________. 提示：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－

tan α＋tan βtan?α＋β?

5

(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝

tan α－tan βtan?α－β?

－1

2．结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？ (1)1－tan α

＝________；(2)＝________.

1＋tan α1－3tan α

1－tan α

?π?

?4－α? ＝＝tan??1＋tan α1＋tanπtan α

4

?π??3＋α? ＝tan

π??1－tan3tan απ

tan3＋tan α

π

tan4－tan α

3＋tan α

提示：(1)

(2)3＋tan α1－3tan α

＝

【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，且3tan A＋3tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．

思路点拨：充分结合T(α±β)的公式及变形求解． [解] ∵3tan A＋3 tan B＝tan Atan B－1， ∴3(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴3

＝－3，

1－tan Atan B

3. 3

tan A＋tan B

∴tan(A＋B)＝－

5ππ

又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝6，∴C＝6， ∵tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3， 3

tan C＝3，

6

33

∴tan B＋3＋tan B＝3，tan B＝3， π2π∴B＝6，∴A＝3， ∴△ABC为等腰三角形．

1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．

2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．

提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．

3．(1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值． [解] (1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3.

(2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)

＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝

tan α＋tan β1－tan αtan β

＝3.

又∵α，β均为锐角，

∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°.

教师独具

1．本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用． 2．要掌握两角和与差的正切公式的三个应用

7

(1)解决给角求值问题． (2)解决给值(式)求角问题． (3)解决条件求值问题．

3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误．

1.

tan 51°－tan 6°

＝( )

1＋tan 51°tan 6°

B．－tan 57° D．－1

A．tan 57° C．1

C [原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1.]

1

2．若tan α＝7，tan(α－β)＝－1，则tan β＝________. 4

[tan β＝tan[α－(α－β)] 3

1

tan α－tan?α－β?7＋14＝＝＝3.]

11＋tan αtan?α－β?1－7

3．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.

1 [tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.]

4．已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.

[证明] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B＝π－C. ∴tan(A＋B)＝

tan A＋tan B

1－tan Atan B

8

＝－tan C.

∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C. 即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.

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