3.1.3 两角和与差的正切
学 习 目 标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(重点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(难点) 通过学习本节内容,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 核 心 素 养(教师独具)
两角和与差的正切公式 tan α-tan βT(α-β):tan(α-β)=.
1+tan αtan βtan α+tan βT(α+β):tan(α+β)=.
1-tan αtan β思考:公式Tα±β有何结构特征和符号规律?
[提示] (1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号规律:分子同,分母反.
1.tan 15°=________;tan 75°=________. 2-3 2+3 [tan 15°=tan(45°-30°)=
1
31-tan 45°-tan 30°33-3===2-3.
31+tan 45° tan 30°3+31+3tan 45°+tan 30°
tan 75°=
1-tan 45°tan 30°31+3==2+3.]
31-3
2.设α,β为锐角,且tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的根,则tan(α+β)=________.
51
1 [tan α+tan β=6,tan α·tan β=6. tan(α+β)=
tan α+tan β1-tan α·tan β
=1.]
3.
1-tan 15°
=________.
1+tan 15°
tan 45°-tan 15°3
[原式==tan(45°-15°) 31+tan 45°tan 15°3=tan 30°=3.]
条件求值问题
π??
【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan 2α,tan 2β,tan?2α+4?.
??π??
2α+?思路点拨:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan可以用tan 4???2α表示出来.
2
[解] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)] =
tan?α+β?+tan?α-β?1-tan?α+β?tan?α-β?
=
5+31-5×3
4=-7,
tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)] =
tan?α+β?-tan?α-β?1+tan?α+β?tan?α-β?
=
5-31+5×3
1=8,
π?1+tan 2α?
tan?2α+4?==??1-tan 2α3=11.
41-7
4 1+7
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系;求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式,可能带来运算的繁杂.
π?1π?2??
β-α+1.已知tan(α+β)=5,tan?4?=4,求tan?. 4?????π????π??
[解] tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4??
??????π?21?
tan?α+β?-tan?β-4?5-4??3===
2122. ?π?
1+tan?α+β?tan?β-4?1+5×4
??
给值求角
?ππ?
【例2】 已知tan α,tan β是方程x+33x+4=0的两根,且α,β∈?-2,2?,
??
2
求α+β.
3
思路点拨:利用根与系数的关系求tan α+tan β及tan αtan β的值,进而求出tan(α+β)的值,然后由α+β的取值范围确定α+β的值.
[解] 因为tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两根,所以tan α+tan β=-33<0,tan αtan β=4>0,
?ππ?
所以tan α<0,tan β<0.又因为α,β∈?-2,2?,
???π?
所以α,β∈?-2,0?,所以-π<α+β<0.
??又因为tan(α+β)=2π
所以α+β=-3.
1.给值求角的一般步骤: (1)求角的某一三角函数值; (2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角. 2.选取函数时,应遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数;
π??
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是?0,2?,选正、
???ππ?
余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦
??较好.
11
2.已知tan(α-β)=2,tan β=-7,且α,β∈(0,π),则2α-β=________. 3π
-4 [由于tan α=tan[(α-β)+β] =
tan?α-β?+tan β1-tan?α-β?tan β
tan α+tan β1-tan αtan β
=-331-4
=3,
4