为(a-b)·b=·=-=0，所以a-b与b垂直，C正确.
11.若同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|等于( ) A.2
B.5
C.2或5
D.
或
【解析】选C.因为同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等， 所以当三个向量所成的角都是120°时，
|a+b+c|=a+b+c+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+9-1-3-3=4， 即|a+b+c|=2，
当三个向量所成的角都是0°时，|a+b+c|=1+1+3=5，故|a+b+c|=2或5. 12.(2015·泰安高一检测)在△ABC中，P是BC边的中点，若|的形状是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形
D.等腰三角形，但不一定是等边三角形 【解析】选A.因为所以|即|
||+|-|||=-+|-(|
，|(|+|
=-|)-且|
|
-|
|
+|
|
=0，
|
+|
|
+ |
|
=0，则△ABC
2
2
2
2
)=0， =0
因为P是BC边中点，所以=(+)，
所以||+||-(||+||)·(+)=0，
所以||-(||+||)=0，
且|所以|
|-(||=|
|+||=|
|)=0，
|，所以△ABC是等边三角形.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
- 5 -
13.向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a·(b+c)=________.
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则a=(1，3)，b=(3，-1)-(1，1)=(2，-2)，c=(3，2)-(5，-1)=(-2，3)，所以b+c=(0，1)，所以a·(b+c)=(1，3)·(0，1)=3. 答案：3
【补偿训练】 (2014·石家庄高一检测)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则λ+μ=( )
A.- B.-
C.- D.
【解析】选B.选择单位正交基底i，j，如图所示， 则a=-i+j，b=6i+2j，c=-i-3j，
由c=λa+μb得-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j)， 即-i-3j=(-λ+6μ)i+(λ+2μ)j，
所以
解得
- 6 -
所以λ+μ=-.
14.(2015·忻州高一检测)已知m，n是夹角为120°的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，若n⊥a，则实数t=________.
【解析】因为m，n是夹角为120°的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，n⊥a，所以
n·a=n·[tm+(1-t)n]=tm·n+(1-t)n=tcos120°+1-t=1-t=0，所以t=.
2
答案：
15.(2015·福州高一检测)已知向量a与向量b的夹角为120°，若(a+b)⊥(a-2b)且|a|=2，则b在a上的投影为________.
【解析】a·b=|a|·|b|cos120°=-|b|， 因为(a+b)⊥(a-2b)，所以(a+b)·(a-2b)=0，
所以2|b|-|b|-4=0，所以|b|=
2
，所以b在a上的投影为=-.
答案：-
16.如图，△ABC中，AD=2DB，AE=EC，BE与CD相交于点P，若=x+y(x，y∈R)，则x+y=________.
【解析】由题可知=
+λ(
-)
=
+
=
+λ
=+λ(--)
- 7 -
=又
=
+
+λ=
+μ
，
=
+μ(
-)
=+μ
=μ+，
所以可得
解得λ=，故=+，所以x+y=.
答案：
【补偿训练】如图所示，半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(
+
)·
的最小值是________.
【解析】因为点O是A，B的中点，所以
+
=2
，设|
|=x，则|
|=1-x(0≤x≤1).
所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2-.所以当x=时，(+)·取到最小值-.
答案：-
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ.
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