数学思想专练（二）
一、选择题
1．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) C．(2，＋∞)
B．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：选B 当a>1时，则集合A＝{x|x≤1或x≥a}，则A∪B＝R，可知a－1≤1，即a≤2，故1 当a＝1时，则集合A＝R，显然A∪B＝R，故a＝1； 当a<1时，则集合A＝{x|x≥1或x≤a}， 由A∪B＝R，可知a－1≤a，显然成立，故a<1； 综上可知，a的取值范围是a≤2.故选B项． 2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不确定 b2＋a2－c2c2＋a2－b2b2＋a2－c2＋c2＋a2－b2解析：选B ∵bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝ 2ab2ac2a2a＝＝a＝asin A，∴sin A＝1. 2aπ ∵A∈(0，π)，∴A＝， 2即△ABC是直角三角形． ??2，x≤1， 3．设函数f(x)＝? ?1－log2x，x>1，? 1－x2 则f(x)≤2时x的取值范围是( ) A．[0，＋∞) 1??C.?－∞，? 2?? 解析：选A 当x≤1时，2 －1 1－x?1? B.?0，? ?2??1? D.?，＋∞? ?2? ≤2?x≥0；当x>1时，1－log2x≤2?log2x≥－1＝log2 2?x≥2 －1 1 ＝. 2 综上得，x的取值范围为[0，＋∞)． 4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2| ＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( ) - 1 - 13 A.或 221 C.或2 2 2 B.或2 323 D.或 32 解析：选A 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有 c2c3t1 |PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2| a2a6t2c2c3t3 ＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. a2a2t2 5．如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝( ) A．50 C．52 B．51 D．53 解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n＝51，选B. 6．(2017·南昌模拟)点P是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱―→―→ 内切球的一条直径，则PM·PN的取值范围是( ) A．[0,2] C．[0,4] B．[0,3] D．[－2,2] ―→―→―→―→―→ 解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则PM·PN＝(PO＋OM)·(PO＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→ON)＝PO2＋PO·(OM＋ON)＋OM·ON＝|PO|2－1，且1≤|OP|≤5，∴PM·PN∈[0,4]． 二、填空题 7．若二次函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得 2 2 f(c)>0，则实数p的取值范围为________． ??f解析：如果在[－1,1]内没有值满足f(c)>0，则? ??f－1≤0，1≤0， ?? 即?3 p≤－3或p≥，??2 p≤－或p≥1， 1 2 33 解得p≤－3或p≥，取补集为－3 22 - 2 - 值范围． 3??答案：?－3，? 2?? 2x＋3y－6≤0，?? 8．(2017·丽水模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0， ??y≥0的区域上一动点，则|OM|的最小值是________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x|－2| ＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝2. 2 所表示 答案：2 9．(2017·郑州质检)过点M(2，－2p)作抛物线x＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________． 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)， 2 xpx1px1x21 即y＝x－. p2p又点M(2，－2p)位于直线MA上， x1x21 于是有－2p＝×2－， p2p即x1－4x1－4p＝0； 同理有x2－4x2－4p＝0， 因此x1，x2是方程x－4x－4p＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p. 由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1＋y2＝12， 22 x2x1＋x22－2x1x216＋8p1＋x2即＝＝12，＝12， 2p2p2p2 2 2 2 2 2 2 解得p＝1或p＝2. 答案：1或2 三、解答题 21?310．已知a∈R，函数f(x)＝x＋，h(x)＝x，解关于x的方程log4?f32?2－x)－log2h(4－x)． - 3 - 3 x－1－??＝log2h(a4? 解：原方程可化为log4??3??2?2?3x－16??3?－?4?? ＝log2a－x－log24－x， 即loga－x4(x－1)＝log2a－x－log24－x＝log24－x， ①当1 则x－1＝a－x4－x， 即x2 －6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a>0， 此时x＝6±20－4a2＝3±5－a， ∵1 由x－1＝a－x4－x，得x2 －6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a， 若4 ③由函数有意义及②知，若a≤1或a>5，原方程无解． 综合以上讨论，当1 11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{a2 * n}中，a1＝3，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N)．(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明； (2)求证：|a2|<1 n－4|an－1－2|(n≥2)； (3)求证：|a－2|＋…＋|a4 1－2|＋|a2n－2|<3. 解：(1)a2＝a1＋2＝5，a3＝a2＋2＝5＋2. 由题设，a2 n－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2. 因为an＋2>0，所以an－2与an－1－2同号． 又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2. (2)证明：由题设，? ?an－2?a?＝1， n－1－2??an＋2 由(1)知，a11?an－2n>2，所以a<4，因此?a?<1， n＋2?n－1－2??4 - 4 -