1.假设某消费者的均衡如图3—1所示。其中，横轴OX和纵轴OX分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线I为消费者的无差异曲线，E点为均衡点。已知商品1的价格P1=3元 X2 A 20 10 E I=P1X1+P2X2 B 0 10 20 30 X1 ①求消费者的收入； ②求商品2的价格P2； ③写出预算线方程； ④求预算线的斜率； ⑤求E点的边际替代率。 解：①I=3×30=90（元） ②P2=I/20=4.5(元)

③预算线方程：Ｉ＝Ｐ1Ｘ1＋Ｐ2Ｘ2

Ｉ＝90 P1=3 P2=4.5 所以： 90=3X1+4.5X2 ④预算线斜率K=OX2/OX1=20/30=2/3 ⑤E点的边际替代率为2/3

2.已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1 =20元和P2 =30元，该消费者的效用函数为U=3X1X22，该消费者每年购买这两种商品的数量各应为多少？他每年从中获得的总效用是多少？

解：①设消费者对两种商品的购买量分别为X 和X，则根据条件有： 540=20X1 +30X2

因为 U=3X1X22 则：MU 1=3X22 MU2=6X1X2，

当消费者均衡时，MU1/MU2 =P1/P2 ，推出：3X22/6X1X2=20/30 联立方程 求得：X1=9 X2=12

②总效用U=3X1X22=3×9×122=3888

3.某公司确定，在目前的价格下，其电脑芯片的需求在短期内有-2的价格弹性，其软盘驱动器的价格弹性是-1。 ① 如果公司决定将两种产品的价格都提高10%，其销售量有什么变化?销售收入呢? ②能否从已知的信息中判断，哪个产品会给厂商带来最大的收入?说明理由.

解：①电脑芯片的销售量变化：△Q/Q=－2×△P/P=－2×10%=－20% 电脑芯片的销售收入：

R?R'P?Q?(P?△P)?(Q?△Q)1?（1?10%）?（1?20%）???12%P?Q1 R

通过上述计算可以看出：由于价格提高10%，导致销售收入减少12%，驱动器的价格需求弹性为－1，所以价格提高10%，会导致销售量减少10%，销售收入没有变化。

②从已知信息可以判断，在当前的价格水平下，软盘驱动器给厂商带来了最大的收入，因为厂商不论是降价还是提价，都不能再使收入增加.进一步考虑，若厂商降低产品价格，电脑芯片的收入会增加。

4.如果你在管理一条高速公路，过路的需求Q由P=12-2Q求得， ①画出过路的需求曲线。 ②如果不收费，有多少车辆会通过此路? 解： ①以过路车辆为横轴，以价格为纵轴，画出坐标系，

当P=12时，Q=0得到纵轴上的一点A; 当P=0时，Q=6得到横轴上的一点B; 联结AB而成的直线为过路的需求曲线。 ②若不收费，即P=0，此时Q=6，即有6辆车过路。

5.假设食物需求的收入弹性为0.5，价格弹性为-1.0，若某位消费者每年食物支出为10000元，食物价格P=2元，收入是25000美元。 ①若某种原因使食物价格增加一倍，那么食物消费会有什么变化? ②假设他得到5000元的补助，食物消费如何变化? 解： ①食物价格增加一倍，则P=4元，由于价格弹性是-1.0，的以食物消费减少一倍，则原来的食物消费量为：

1000/2=500，价格上升后的消费量为：500/2=250 ②由于收入弹性EdM=0.5 ，收入增加1倍，消费量增加50%，所以当他得到5000元的补助后，食物消费会增加： 5000?50%?10%000

6.某君消费两种商品X和Y，其消费形式已满足下述条件：MUX/PX=MUY/PY .现在假设Px 下降， Py 保持不变，请论证说明： ①若某君对X的需求价格弹性小于1，为什么他对Y的需求量会增加? ②若某君对X的需求价格弹性大于1或等于1，他对Y的需求量会怎样? 答： ①原来某君的消费处于均衡状态，设预算方程为 Px·x+Py·y=M .现在X的价格下降(设为Px1 )，由于X的需求价格弹性小于1，虽然X商品的购买量会增加(设为X1 )，但消费者用于X商品上的支出是减少为，即Px· X＞ Px1 ·X1 ，这样，在收入(M)和Py 不变的情况下，Y商品的购买量就会增加.

②原来消费处于均衡状态，预算方程为Px·x+Py·y=M ，现在X的价格下降为 Px1

若X的需求价格弹性等于1，虽然对X的需求量会增加(设为x1 )，但是，消费者用于购买X商品的支出却没有变，即 Px1 ·X1= Px· X ，由于M、 Py 不变，Y的需求量也没变.

若X的需求价格弹性大于1，对X的需求量增加(仍设为x1 )，消费者用于X商品的支出也随之增加，即 Px1 ·X1>Px· X ，由于 M、Py 不变，Y的需求量减少.

7.假设某消费者的收入、商品价格和消费品的效用函数为已知，请给出效用极大化所需条件。假如他只消费两种消费品，他是否必然总是同时买进这两种商

品？为什么？

解：设效用函数为U=f(x，y)，收入为M，价格为Px 、 Py ，而

?U?f(x,y)?U?f(x,y)MUx??;MUy???X?x?Y?y

?f(x,y)?f(x,y)/Px?/PY?Y 效用极大化条件MUX/PX=MUY/PY为：?x

约束条件为：Px·x+Py·y=M

由于在一般情况下，Px和 Py 都不可能为零，MUx和MUy 都不可能为零，因此，假如他只消费两种消费品，就一般总是同时买进这两种商品。但在无解情况下，则不必然同时买进两种商品。

8.某人把他的全部收入都用于购买X和Y两种商品，他认为X和Y是完全替代的，一单位X和一单位Y的效用相同。X每单位4元，Y每单位5元。假设X的价格下降为3元，他会更多的购买X商品吗？消费的这种变化中，多少归于收入效应？多少归于替代效应？

解：因为一单位X的效用与一单位Y的效用相同，所以，MRSxy =1，又因为Px=4元 ，Py=5元，所以，预算线AB的斜率=4/5=0.8，因此，AB的斜率小于MRSxy ，AB与无差异曲线I相交，如3—3。这时，消费者为得到最大满足，把全部收入用于购买OA量的X商品，而不买任何Y商品。

当X的价格下降到3元时，预算线变为A′B，A′B 的斜率为3/5=0.6，仍小于MRSxy ，A′B与较高的无差异曲线Ⅱ相交于 A′点，这时，消费者为得到最大满足，把全部收入用于购买OA′量的X，X商品的购买量增加了AA′，从图3—3可以看出，X商品购买量的增加完全是由于收入效应，替代效应为零。

9.已知效用函数为U=Xa+Ya，求商品的边际替代率MRSxy 和 MRSyx ，以及X=10，Y=5时的MRSxy 和MRSyx 。 解：∵MUX=?U/?x=axa-1 MUY=?U/?Y=aYa-1

aXa?1Xa?1?U?U?/???()a?1

?X?YY∴MRSxy= MUX/MUY=－aY ?U?UaYa?1Ya?1?????()a?1

?XXaX MRSYX=MUY/MUX=?Y

当X=10，Y=5时，

X10?()a?1??()a?1??2a?15MRSxy=Y

Y51?()a?1??()a?1??()1?a102MRSYX=X

10.?设消费者甲的效用函数U=（x+2）(x+6)，X是苹果的个数，Y是香蕉的个数。问： ①甲原有4个苹果，6个香蕉。现甲得给乙3个苹果，乙将给他9个香蕉，进行这项交易，甲的商品组合是什么？如果甲拒绝交换，是否明智？ ②若MRSxy 是-2，甲愿意为3个香蕉而放弃1个苹果吗？愿为6个香蕉而放弃2个苹果吗？ 解： ①甲原来的商品组合为（4。6），现在交换后，苹果剩下1个，而香蕉却增加为15个，商品组合为（1，15）。由效用函数可得到两种组合的效用。 当X=4，Y=6时， U=（x+2）(x+6)=（4+2）（6+6）=72 当X=1，Y=15时，U=（x+2）(x+6)=（1+2）（15+6）=63 可见，（4，6）组合提供的效用比（1，15）组合要大，因此拒绝交换是明智的。 ②MRSxy=-2，意味着甲为得到2个香蕉，愿意放弃1个苹果，现在他只要放弃1个苹果，就可以得到3个香蕉，他当然愿意。

同理，MRSxy=-2，也意味着甲为得到4个香蕉，愿意放弃2个苹果，现在放弃2个苹果就可得到6个香蕉，他当然愿意。

11.若需求函数为q=a－bp，a，b >0 ，求： ①当价格为 P1 时的消费者剩余为多少？ ②当价格由P1 变为P2 时消费者剩余变化了多少？

a?qP?b 解：①由q=a－bp ，得反需求函数为

设价格为P1 时，需求量为q1 ，q1=a－bP1

12aq?qq1a?q2??()dq?p1q1?0bbq1?p1q10消费者剩余

②设价格为P2 时，需求量为q2， q2=a－bP2 消费者剩余变化量

a2b??ap1?p122b2

??(0q2a?q?q1a?q?)dq?p2q2???()dq?p1q1?bb?0?a21aq?q22?ba2b?p2q2?(?ap1?p12)2b2012aq2?q2a2b2??p2q2?(?ap1?P12)b2b2a2b2a2b??ap2?p2?(?ap1?p12)2b22b2b2b2?q2?p1?ap2?ap122

12.令消费者的需求曲线为p=a－bq，a，b>0 ，并假定征收pt% 的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t) ，证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。

a?Pq1?b 解：设价格为p 时，消费者的需求量为 q1 ，则p=a－bq1 ，得

a?(1?t)Pq2?b又设价格为P(1+t) 时，消费者的需求量为q2 ，由P=a－bq2 ，得

消费者剩余损失

q1q2??(a?bq)dq?pq1???(a?bq)dq?P(1?t)?q2???0?0?q1??(a?bq)dq?P(1?t)?q2?pq1q2b21?(aq?q)?(1?t)pq2?pq12q2?(aq1?b2b2q1)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq122q政府征税而提高的收益=(1+t)pq2－pq1

消费者剩余亏损－政府征税而提高的收益

bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq1??(1?t)pq2?pq1?22bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)22a(a?p)ba?p2a?a?(1?t)p?b?a?(1?t)p????()?????b2bb2?b?2tp?t2p2?2b∵b、t 、p>o

2

2tp?t2p22b∴>0

因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。

13.假定效用函数为U=q0.5+2M ，q 为消费的商品量，M为收入。求：需求曲线。

解：根据题意可得，商品的边际效用 MU=?U/?q=0.5q-0.5

单位货币的效用为λ=?U/?M=2 若单位商品售价为P，则单位货币的效用λ 就是商品的边际效用除以价格，即

λ=MU/P

?0.5?U?U0.5q?P2??M?qP 于是得，即

1q?16P2，这就是需求曲线。 进而得

14.某消费者消费商品X和Y的无差异曲线为Y?20?4x，问： ①组合（4，12）点的斜率是多少？ ②组合（9，8）点的斜率是多少？ ③MRS 是递减的吗？

?dy1?2dy??4?x??2x22解：对于Y?20?4x，有dx即dx ??dy2??2x??2?42??1①当x=4时，dx

1111故Y?20?4x在点（4，12）处的斜率为-1

??dy22??2x?2?92??3 ②当x=9时，dx11故Y?20?4x在点（9，8）处的斜率是

?dy?2x2③由于MRSxy=dx

1?23

??11(2x)?x?2?(?)?x2??x2??32x2＜0 而

故MRSxy是递减的。

?123315.已知某人消费共两种商品X和Y的效用函数为U?XY，商品价格为Px和Py ，收入为M，请推导出他对X和Y的需求函数。 解：根据题意，预算方程为Px·x+Py·y=M，那么，M－Px·x－Py·y=0

令U= X1/3Y1/3＋λ(M－Px·x－Py·y) ，U极大的必要条件是所有的一阶偏导数为零，即

1313?U1?33?xy??Px?o;?X3?U13?3?xy??Py?0;?y3?U?M?Px?x?Py?y?0??

解下列方程可得出X和Y的需求函数

12211?1?233?xy??Px?0?312?133xy??Py?0??3?M?Px?x?Py?y?0??

16.已知某人月收入为1200元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，X的价格为20元，Y的价格为30元。求： ①为获得最大效用，他购买的X和Y各为多少？ ②货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？ ③假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为保持原有的效用水平，他的收入必须增加多少？ ④假设他原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X的价格提高44%时，消费品价格指数提高多少？ ⑤为保持原有的效用水平，他的收入必须提高多少个百分率？ ⑥你关于④和⑤的答案是否相同？假如不同，请解释为什么他的效用水平能保持不变？

?U?(XY)?U?(XY)??Y,??X;?X?X?Y?Y解：① 由U=XY得：

又知，Px=20 Py=30 ，进而由MUX/PX=MUY/PY，得Y/20=X/30 由题意可知预算方程为：20X+30Y=1200 解下列方程组

YX????2030??20X?30Y?1200 ?X?30?可得?Y?20

因此，为使获得的效用最大，他应购买30单位的X和20单位的Y。 ②∵MUx=?U/?x=Y=20， Px=20 ∴货币边际效用λ= MUX/PX=Y/Px=20/20=1 总效用TU=XY=30×20=600 ③现在PX=20+20×44%=28.8，MUX/PX=MUY/PY也就是Y/28.8=X/30 又由题意可知，U=XY=600 X?Y???X?25?28.830??XY?600?解 得?Y?24

④

消费品价格提高的百分率?价格指数增加额⑤收入提高的百分率=24/120=20%

⑥消费品价格指数提高22%，而收入提高了20%，二者显然不同。

因为X的价格提高44%，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30降为25，因而减少支出为28.8×(30-25)=144元;另一方面，Y的购买量从20增至24，因而增加30×(24-20)=120元的支出，二者相抵，净节省144-120=24元，占原收入1200元的24/1200=2% 。因此，当价格指数提高22%时，收入只需提高20%就够了。

17.若某消费者的效用函数为U=xy4，他会把收入的多少用于商品Y上？ 解：假设商品X的价格为PX，商品Y的价格为PY，收入为M。

由U=xy4 得：?U/?x=y4 ?U/?y=4xy3

他对X和Y的最佳购买条件是，MUX/PX=MUY/PY，即为：y4/Px=4xy3/Py

1Px?x?Py?y4变形得， 1Px?x?Py?y4把 代入预算方程Px?x?Py?y?M

1Py?y?Py?y?M44Py?y?M5

这就是说，他收入中有4/5用于购买商品Y。

18.证明：若效用函数为U=XrY，r>0， 则恩格尔曲线是一条直线。

解：恩格尔曲线是在商品价格和消费者的偏好不变的情况下，消费者收入变动，无差异曲线和预算线的切点的轨迹，它经过原点。设X的价格为PX，Y的价格为PY

对于U=XrY，有：?U/?x=rXr-1Y ?U/?y=Xr

原有的价格指数(30?28.8?20?30)?(30?20?20?30)?30?20?20?30264??2200

rXr?1YXr?PPy x MUX/PX=MUY/PY，即为：

PY?x变形整理得，XrPy

Px由于Px 、Py 是固定不变的，r为常数，且r>0 ，故rPy是一个大于零的常数。

Y因此，X是大于零的常数。

又因为恩格尔曲线过原点，所以Y/X就是曲线的斜率，而Y/X又是大于零的常数。因此，恩格尔曲线是一条过原点向右上方倾斜的直线。