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1、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿？
解：（已知倍数，质数）设乙年龄x,甲年龄2x，丙x+7
?数字和?13?67???70质数x?2x?3x?7?67
2、书架上层放的书是下层放的3倍。如果把上层搬40本到下层，那么两层书架上的书相等，原来上、下两各多少本？
解：（已知倍数）设原来下层x本，上层3x件， 3x-40=x+40
3、甲、乙、丙三数的和是700，又知甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的一半，甲、乙、丙
三数各是多少？
xx解：（已知倍数）设乙=x，甲=2x，丙=， X+2x+=700
224、今年母亲的年龄是儿子的4倍，20年后母亲的年龄是儿子的2倍，母亲和儿子今年各多
少岁？
解：（已知倍数）设今年儿子x岁，母亲4x， 2（x+20）=4x+20
5、现在父母年龄和是子女年龄和的6倍，2年前，父母年龄和是子女年龄和的10倍，6年
后，父母年龄和是子女年龄和的3倍，问共有子女几人？
解：（已知倍数）设今年子女年龄和为x，父母今年年龄和为6x,共有y个子女
?6x?4?10(x?2y) ???6x?12?3(x?6y)6、小红、小明、小虎、小亮共收集邮票320枚，其中小红的邮票枚数是小亮的3倍，小虎
的邮票枚数是小红和小亮总数的2倍，小明的邮票比小虎多120枚，问他们各有多少枚邮票？
解：（已知倍数）设小亮邮票x张，小红3x张，小虎=2（x+3x）=8x 小明=8x+120， ∴x+3x+8x+8x+120=320
7、A的年龄比B与C的年龄和大16，A的年龄的平方比B与C的年龄和的平方大1632，那
么A、B、C的年龄之和是（ ） A. 210
B. 201
C. 102
D. 120
解：x2?y2?(x?y)(x?y)
技巧：可设B与C的年龄和为M, ∴A-M=16,A2-M2=1632
∴(A-M)(A+M)=1632， ∴A+M=102
五、经济类问题、利润问题
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1、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子
原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数） 解：（利润问题）
标价 售价 利润
1 0.95 1×(1+60%)-0.95 新成本 0.95×(1+40%) ∴利润率
(1?60%)?0.95
0.95(1?40%)进价2、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润＝售价?进价），若这种商品的进
价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（ ） A. 25%
B. 20%
C. 16%
D. 12.5%
解：（利润问题） 进价 售价 利润
原来 x (1+20%)x 0.2x 现在 （1+25%）x 0.2x
∴m=0.2x， ∴利润率=
0,2x?16%
(1?25%)x3、某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元 ，按定价的九折销售该电器6台与将
定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等。求该电器每台的进价、定价各是多少元？
解：（利润问题）
进价 定价 售价 利润 原 x x+48 x+48 48
0.9（x+48）×6-6x=9（x+48-30）-9x
4、一商店将每台彩电先按进价提高40%标出销售价，然后广告宣传将以80%的优惠出售，结
果每台赚了300元，则经销这种彩电的利润率是多少？ 解：（利润问题） 进价 定价 售价
x x(1+40%) x(1+40%)×80%
∴x+100=x(1+40%)×80%
5、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定
价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 解：（已知和+利润）设甲服装成本x元，乙服装成本500-x。 成本 定价 售价 利润
甲 x (1+50%)x (1+50%)x·0.9 (1+50%)x·0.9- x
乙500-x (1+40%)(500-x) (1+40%)(500-x)·0.9 (1+40%)(500-x)·0.9-(500- x)
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（1+50%）x·0.9+(1+40%)(500-x) ·0.9=500+157
6、某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获
得10%的利润需几折出售？
x 107、有一批货物，如果本月1日售出，可获利1000元，然后将本利全部存入银行，当时的月
解：（经济类问题）设X折出售，1600(1?10%)?2200?利率为2%，如果下月1日售出，可获利1200元，要付50元的保管费，这批货物是本月1日还是下月1日售出为宜？
解：（经济类问题）若本月1日售出：获利1000（1+2%）
若下月1日售出：1200-5， 比较大小即可
8、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，
每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（ ） A. 5
B. 7
C. 9
D. 10
解：（函数极值）利润=[8+2（R-1）]×[60-3(R-1)]
初一学生可将R=2，3，4，…，10代入，初二学生可配方求解。
9、某人现有1000元现金，存入银行5年后取出，现在银行定期存款利率为1年期2.25%，
2年期2.43%，3年期2.7%，5年期2.88%，到期利息要交纳20%的利息税，如果按下列4种方案存入银行，5年后交纳利息税后一共可以取出多少钱？
①先存1年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存一年，连续4次。 ②先存2年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存三年定期。 ③先存3年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存一年，连续2次. ④存5年定期。
解：（利息计算（不计利息税））
① 1000×（1+2.25%）4
② 1000×（1+2×2.43%）×（1+32.7%） ③ 1000×（1+3×2.7%）×（1+2.25%）2 ④ 1000×（1+5×2.88%）
10、植树节这一天，某校学生去植树，如果每人植树6株，只能完成原计划植树数的
3，如4果每人提高植树效益的50%，那么可比原计划多植树植树40株，求参加植树的人数及原
计划植树的株数。
解：（盈亏问题）设人数x人，任务y棵树
?6(1?50%)x?y?40? ?36x?y?4?.
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11、蛛蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现有小虫18只，
共有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只？ 解：（盈亏问题）设蛛蛛x 蜻蜓y 蝉z
?8x?6y?6z?118? ?2y?z?20?x?y?z?18?
六、浓度问题
1、有含盐40％的盐水600克，现在要制成含盐25％的盐水，试问需要加水各多少千克？ 解：（浓度问题）设需加水x千克，等式构成可考虑利用盐=盐建立
600×40%=（600+x）×25%
2、要在含50％酒精的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含酒精75％的酒？
解：（浓度问题）设倒入x克85%的酒精， 800?50%?85%x?(800?x)75%
3、已知甲种盐水含盐40％，乙种盐水含盐15％，现在要制成5千克(kg)含盐25％的盐水，试问需要甲乙两种盐水各多少千克？
解：（浓度问题+已知和）设甲盐水需X千克，则乙盐水需5-X千克
40%×X+(5-X)×15%=5×25%
4、从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的
两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下
的合金的重量是多少千克？
分析：由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数
为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 ．
解：（浓度问题） 设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，
重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有
整理得 5(q-p)x=24(q-p)．
因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．
七、比和比例
1、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知
甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
6：5，设甲?8K,乙?6K，丙?5K，则8K?5K?12K?12 解：(合成比例) 甲：乙：丙?8：2、某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣，所用时间之比为1：2：3，他一天共能做2
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