概率论与数理统计 典型例题及其分析
第三章 多维随机变量及其分布
例3.2.1 设随机变量X和Y的联合分布律为 X Y 1 2 3 1 2 b 1 8a 1 241 41 8⑴ 求a,b应满足的条件； ⑵ 若X与Y相互独立 ，求 a,b的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质a与b. 【解】⑴ 因为
??pijij?1确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出
??pij?1，所以
ij111111?b?a????1, 因此 a?b?. 8424824⑵ 由于 X与Y相互独立，即对所有xi,yj有 PX?xi,Y?yj?P?X?xi?Y?yj, 于是 a?P?X?2,Y?1??P?X?2??Y?1???????11?1??1??a???a?, 解得 a?或a?.
122?4??6???3??8??同理 b?P?X?1,Y?2??P?X?1??Y?2????B???b?, 解得 b?再由a?b??1?813或b?. 881113.知 a?,b? 【解毕】 24128【技巧】 由于X与Y的独立性，故对所有的xi,yj应有PX?xi,Y?yj?P?X?xi?Y?yj, 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如
????P?X?3,Y?1??1?1111?,而P?X?3??Y?1?????a?,可求得a?;又P?X?3,Y?2??,而
6?624128?13求得b?.这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 88例3.2.2 （1999年考研题）设随机变量X与Y相互独立 ，下表列出了二维随机变量?X,Y?的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：
X Y y1 y2 y3 P?X?xi??pi 1 x1 x2 1 8 1 8 P?Y?yj??pj 【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从p11?111?,求得p11?,再利用独立862411,等等.
64【解】 利用pi??pij;pj??pij以及
性知p11?p1?.从而知p1?ji?p??piijj?1 与独立性 pij?pipj. 求解空格内
1111113??,p11?p1p1?p1?,即p1?,又由p1?p2?1,可得p2?1??. 6824644413111反复运用上列公式，可求得 p13?,p22?,p23?,p2?,p3?.
128423的数值，故p11?将算得的数值填入表中的空格内，即得 X Y x1 x2 y1 y2 y3 P?X?xi??pi 1 43 4 1 P?Y?yj??pj 1 241 81 61 83 81 21 121 41 3例3.2.3 （1999年考研题）已知随机变量X1和X2的概率分布分别为 x1 -1 0 1 x2 0 1 与 P
11111 P ， 42422而且P?X1X2?0??1.求X1和X2的联合分布；问： ⑴ X1和X2是否独立？ ⑵ 为什么？ 【思路】 已知X1和X2的边缘分布，一般是不能确定X1和X2的联合分布的，但题中给了一附加条件P?X1X2?0??1.因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.
【解】⑴ 由P?X1X2?0??1.知P?X1X2?0??0,即
P?X1??1,X2?1??P?X1?1,X2?1??0. 于是X1和X2的联合分布有如下结构：
X1 X2 -1 0 1 0 1 0 PX1?Pi P11 P21 P31 P22 0 1 41 21 41 PX2?pj 1 21 2从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知P?X1??1??P?X1??1,X2?0??P?X1?1,X2?1?,
11,从而得p11?. 4411同理可知p31?,p22?,p21?0.故X1和X2的联合分布律为
42即 p11?0?X1 X2 -1 0 1 0 1 0 PX1?Pi 1 40 1 2 0 PX2?pj 1 41 21 41 21 41 1 2⑵ 由以上结果知 P?X1?0,X2?0??0, 而 P?X1?0?P?X2?0??111???0. 可见，X1与X2不独立. 224【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件P?X1X2?0??1中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余pij的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验X1与
X2是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对?xi,yj?，使pij?pipj即可.
例3.2.4 将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用X,Y分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求?X,Y?的边缘分布律，并判断X与Y是否独立.
【思路】 首先确定?X,Y?的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到?X,Y?的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.
【解】 将2封信投到3个信箱的总投法n?3?9,而X和Y的可能取值均为0，1，2，于是
21P?X?0,Y?0??P（两封信都投入第3号信箱）=;
9C21C112?. P?X?1,Y?0??P（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）?99同理可得：P?X?0,Y?1??22;P?X?1,Y?1??; 99P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2??0. 这样，可得?X,Y?的联合分布律，又由于
P?X?k???P?X?k,Y?i?,k?0,1,2,P?X?k???P?X?i,Y?k?,k?0,1,2.
i?0i?022故所求的分布律为 X Y 0 1 2 0 1 2 P?X?k? 4 94 91 91 P?Y?k? 1 92 91 94 92 92 90 1 90 0 4 91 9 X的边缘分布律在表中的最后一列，Y的边缘分布律在表中的最后一行. 由于P?X?0,Y?0??1441，而P?X?0?P?Y?0????,故X与Y不独立. 【解毕】 9999【技巧】 二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时
概率的乘法公式是十分常用的计算技巧. 例3.2.5 设?X,Y?服从区域D???x,y?:0?y?1?x?上的均匀分布，⑴ 写出?X,Y?的联合密度函
2数；⑵ 求X和Y的边缘密度函数； ⑶ 求概率PY?X2. 【思路】 先画出区域D的图形，再按上面的解法来求解. 【解】 （1）由于区域D是由曲线y?1?x和y?0所围成的（如图3.2.1所示），其面积为D?所以?X,Y?的联合密度为
2??421?xdx???3. ??11?32?,0?y?1?xf?x,y???4
??0, 其他 图3.2.1
⑵ X的边缘密度函数为
fX?x?????????1?x2??33?1?x2?,?1?x?1??dy,?1?x?1f?x,y?dy???4??4
0??0, 其他?0, 其他??1?y33dx,0?y?1????1?y,0?y?1f?x,y?dy???1?y4??4
??0, 其他?0, 其他?2而Y的边缘密度函数为
fY?y???????⑶ 记G???x,y?:y?x?，则G?D为图3.2.2阴影
部分，从而
P?Y?X2??P??X,Y?G?????f?x,y?dxdyG3 ???dxdy?4G?D221?x2??dx22x2?32dy?.42
【寓意】 本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及
概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，
最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定. 图 3.2.2
?Ae?Ay, 0?x?y,例3.2.6 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 f?x,y???
0, 其他?⑴ 确定常数A；⑵ 求随机变量X的密度fX?x?；⑶ 求概率P?X?Y?1?. (后二问为1992年考研题) 【解】⑴ 记D为f?x,y?的零区域，即 D???????x,y?:0?x?y? 其图形如图3.2.3所示.
由联合密度的性质得
??????????f?x,y?dxdy?1，从而有
???Ay??I???????f?x,y?dxdy???AeDdxdy??AydxAedy ???0x1. 因此，A=1. A⑵ X的边缘密度为 fX?x???????????y, x? 0?e?x, x ? 0??edyf?x,y?dy??x??
0?0, x ??0, x ? 0?⑶ 设G???x,y?:x?y?1?，则D?G如图3.2.4所示.故
P?X?Y?1????f?x,y?dxdy?GD?G??e?y121?x?y?1dxdy??dx?edy ?1?e?2e.
0x?12
图 3.2.3 图3.2.4
????【技巧】 在利用用
??????f?x,y?dxdy?1确定f?x,y?中的常数时，若f?x,y??0的区域为D，则只需
??f?x,y?dxdy?1就可以了.
D例3.3.1 设?X,Y?的联合分布律为 X Y 1 2 -1 0 1 41 61 4a 求：⑴ 常数a; ⑵ 联合分布函数在点??31??31?,?处的值F?,?; ⑶ P?X?1|y?0?.
?22??22?1111???a, 求得a?. 4463【解】⑴ 由联合分布律的性质
??pij?1知 1???pij?ijij⑵?X,Y?的联合分布函数F?x,y?在点??31?,?处的值 2?2??31?F?,???22?31?111?p?X?,Y???P?X?1,Y??1??P?X?1,Y?0????.
22?442?⑶ P?X?1|Y?0??P?X?1,Y?0??3? . 【解毕】 117P?X?0??4314【技巧】 求联合分布函数F?x,y?时，只需把取值满足xi?x,yj?y的点xi,yj的概率pij找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.
??例3.3.2 已知随机变量X和Y联合概率密度为 f?x,y????4xy, 0?x?1,0?y?1,
?0, 其他求⑴ 条件密度fX|Y?x|y?及fY|X?y|x?;⑵ X和Y的联合分布函数F?x,y?.(第二问为1995年考研题) 【思路】 根据条件密度的定义，我们首先要求出X与Y的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏. 【解】⑴ 由于X的边缘密度为 fX?x????????1, ? 0?x?12x, ?0x?1 ??4xydyf?x,y?dy??0??
0, 其他 .??0, 其他 ?同理，有 fY?y????????2y, 0?y?1, f?x,y?dx???0, 其他?4xy, 0?x?1,f?x,y??故当0?y?1时，fY?y?>0，且 fX|Y?x|y?? ??2yfY?y???0, 其他从而，在?Y?y?条件下，X的条件密度为 fX|Y?x|y????2x, 0?x?1,0?y?1,
?0, 其他 y ?0?x1,?01,?2y, ?同样可得，在?X?x?条件下，Y的条件密度为 fY|X?y|x???
0, 其他 ?⑵ 对联合分布函数F?x,y??P?X?x,Y?y?要分区域讨论.
对于x?0或y?0，有 F?x,y??P?X?x,Y?y??0; 对于0?x?1,0?y?1,有 F?x,y?? 对于x?1,y?1，有 F?x ,y??1; 对于x?1,0?y?1,有 F?x,y?1,Y???P?Xxy??4uvdudv?x002y2;
?y?2 y;2 对于y?1,0?x?1,有 F?x,y?,xY?1x??P?X?? ;?0, x?0或y?0?x2y2,0?x?1,0?y?1,??从而，X和Y的联合分布函数为 F?x,y???x2, 0?x?1,1?y,
?y2, 1?x,0?y?1,???1, 1?x,1?y【技巧】 由于本题中，X与Y的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对
称性即可得到，此对称性在F?x,y?中也有很好的体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求?X,Y?的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：F?x,y??P?X?x,Y?y?.对一切x,y都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明. 例3.4.1 设二维随机变量?X,Y?的概率密度函数为 f?x,y????ky?2?x?,0?x?1,0?y?x, 试求常数k,并问X与Y是否相互独立？
?0, 其他【思路】 常数k的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立
f?x,y??fX?x?fY?y?,为此，首先要求出X与Y的边缘密度fX?x?与fY?y?.
【解】 由联合密度的性质知
????1x 1???????f?x,y?dxdy?0?x?10?y?1??ky?2?x?dxdy?k?dx??2?x?ydy?00524k, 所以，k?.
524?X,Y?关于X的边缘密度为
fX?x????????x24?122???2?x?ydy, 0?x?1?x?2?x?, 0?x?1 f?x,y?dy??05??5
??0, 其他.?0, 其他?而?X,Y?关于Y的边缘密度为
??fY?y??????124122ydx, 0?y?1,????y?3?4y?y?,0?y?1,f?x,y?dx??y5?2?x???5
??0, 其他?0, 其他?很明显，当0?x?1,0?y?,x时，有 f?x,y??fX?x?fY?y?, 所以X与Y不互相独立. 【注】本例中，?X,Y?的联合密度f?x,y??0的区域是三角形区域D???x,y?:0?x?1,0?y?x?.
虽然f?x,y?在D上可表达成分离变量形状 f?x,y??kg1?x?g2?y?，这里，g1?x??2?x,
g2?y??y.但需要注意的是，只有当D为矩形区域D???x,y?:a?x?b,c?y?d?（包括全平面、
半平面等）时，f?x,y??kg1?x?g2?y?才是使X与Y相互独立的充要条件.从而本题中X与Y不是相互独立的.如果?X,Y?的联合密度改为
~~??ky?2?x?,0?x?1,0?y?1,f?x,y??? 则此时，X与Y必相互独立.
??0, 其他例3.4.2 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X服从区间?0,1?上的均匀分布，Y服从参数??的指数分布，求a的二次方程a2?2Xa?Y?0有实根的概率.
12【思路】 方程a2?2Xa?Y?0有实根当且仅当??4X?4Y?0,故本题是求概率PX2?Y,而要计算此概率必须知道X与Y的联合密度，因此 首先必须根据题中独立性的假定求出f?x,y?.
2???1-y 0?x?1?1， x?0?e2，【解】 有题设知，X与Y的概率密度分别为 fX?x??? 和 fY?y???2
0, 其他.??0, y?0.??1-y?e2, 0?x?1,y?0由于X,Y相互独立，故X与Y的联合密度为 f?x,y??fX?x?fY?y???2
?0, 其他?又因为方程a2?2Xa?Y?0有实数当且仅当??4X?4Y?0,故所求概率为
2P?X?Y??2x2?y??f?x,y?dxdy???1-x22x2?y0?x?1y?01x1yx?--1-y1e2dxdy ??dx?e2dy???1?e2?22000?22?dx???
?1??e0dx?1?2?????1????0???.而??0??1，故方程a2?2Xa?Y?0有实根的概率为0.1448. ,??1??0.843（查正态分布表）
2-Ax2【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，要求读者熟悉均匀分布，指数分布的定义，掌握独立性和概率计算的基本方法，知道怎么利用独立性构造联合分布.同时，要求大家在计算形如e的积分
时，如何应用正态分布的性质和特征，这种计算技巧，在概率论、微积分中是常用的.
例3.4.3 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和
?0.5?x?y??,x?0,y?0,?1?e?0.5x?e?0.5y?e Y的联合分布函数为 F?x,y???0, 其他??⑴ 问X和Y是否独立； ⑵ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?.
【解】 （方法1）直接利用分布函数计算. ⑴ X与Y的边缘分布函数分别为
5?1?e?0.5x, x?0,?1?e?0.y, ? y0,FX?x??F?x,???????,y? 与 FY?y??F ???? y?0, x?0.?0, 0.故有 F?x,y??FX?x?FY?y?, ?? ?xy?,?? ,从而，X与Y相互独立. ⑵ 由于X与Y相互独立，故
??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1?P?Y?0.1????1?P?X?0.1?????1?P?Y?0.1??? ???1?Fx?0.1?????1?Fy?0.1????e（方法2）利用概率密度进行计算.
⑴ 以f?x,y?，fX?x?,fY?y?分别表示?X,Y?,X,Y，的概率密度，则
?0.05e?0.05 ?e?0.1.
?0.25e?0.5?x?y?, x?0,y?0,?F?x,y?? f?x,y?????x?y0, 其他.??fX?x?????????5?0.5e?0.5x,x?0,?0.5e?0.yy,?0,f?x,y?dy?? fY?y???f?x,y?dx??
0, 其他.0, 其他 . ????由f?x,y??fX?x?fY?y?, (???x,y???)知X与Y独立. ⑵
??P?X?0.1,Y?0.1??????0.1?dy?0.25e0.1?0.5?x?y?dx?e?0.1. 【解毕】
【技巧】 用分布函数和概率密度均可以判定随机变量的独立性，具体应用哪种方法要依题而定.一般较为常用的是概率密度的方法，但本题中用前一方法反而简单些.在本题的计算时，读者要注意X与Y的对称性，不必重复计算，另外，利用分布函数F?x,y?的性质也可以直接计算出?，即
??P?X?0.1,Y?0.1??F???,????F?0.1,????F???,0.1??F?0.1,0.1??e?0.1.
-1 1 2 例3.5.1 设二维随机变量的联合分布律为 X Y -1 2 5 203 202 203 206 201 20求：（1）Z1?X?Y;（2）Z2?XY（3）Z3?X;（4）Z4?max?X,Y?的分布律 Y【思路 】 思路与一维离散型随机变量的函数的分布律的计算类似，注意上面介绍的技巧.
【解】 我们将xi,yj的取值与取这些值的概率以及要计算的所有随机变量的函数Zk?k?1,2,3,4?的取值都列在下表中： ???X,Y? 概率 X+Y ??1,?1? 5 20-2 1 1 ?-1,1? 2 200 -1 -1 ?-1,2? 6 201 -2 -?2,-1? 3 201 -2 -2 ?2,1? 3 203 2 2 ?2,2? 1 204 4 1 XY X Y1 2max?X,Y? -1 1 2 2 2 2 从而得到：（1）Z1?X?Y的分布律为
Z1?X?Y P -2 0 1 3 4 5 202 209 203 201 20（2）Z2?XY的分布律为 Z2?XY P （3）Z3?-1 -2 1 2 4 2 209 205 203 201 20X的分布律为 Y-2 -1 -Z3?X YP 3 202 201 26 201 2 6 20 3 20 （4）Z4?max?X,Y?分布律为
Z4?max?X,Y? P -1 1 2 5 202 2013 20【注】（1）二维离散型随机变量的函数的分布律的计算是有一定的方法可循的，读者在利用上述方法计算时要搞清楚它的背景.在求
X的分布律时，注意要求P?Y?0??0. Y （2）如果已知X与Y独立，且X与Y的分布律给定时，求Z?g?X,Y?的分布律的方法是：首先利用独立性构造出X与Y的联合分布律表，然后再按本题类似的技巧处理. 例3.5.2 (1987年考研题)设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为
?e?y, y ?0,?1,0?x?1,fy? 和 Y??? 求随机变量Z?2X?Y的概率密度函数. fX?x???0, 其他.0, ? y.0??【思路】 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题，可有两种解法，一是通过Z?2X?Y的分布函数来求解.另一是利用卷积公式来计算. 【解】 （方法1）分布函数法.
因为X,Y相互独立，所以?X,Y?的联合概率密度函数为
?e?y, ?0x?y1,?0, f?x,y??fX?x?fY?y???
. ?0, 其他故Z?2X?Y的分布函数为 FZ?z??P?2X?Y?Z??记f?x,y??0的区域为D?2X?Y?Z??f?x,y?dxdy.
??x,y?:0?x?1,y?0?，积分区域为G???x,y?:2X?Y?Z?,于是
D?GFZ?z??为此，考虑区域D?G的情形.
??e?ydxdy.
① 当z?0时，D?G??（见图3.5.1），于是，FZ?z??0. ② 当0?z?2时，D?G为图3.5.2中的阴影部分，于是
??z?2xFZ?z??D?G??edxdy??dx0?y2?0edy???1?e2x?z?dx??y021z?1?e?z?. ?2
图3.5.1 图3.5.2
当z?2时，D?G为图3.5.3中的阴影部分，于是
FZ?z??1z?2xD?G??edxdy??dx0?y?01e?ydy ?1?e?z?e2?1?.
2??0, z?0,??1'?z所以，随机变量Z?2X?Y的概率密度为 fz?z??Fz?z????1?e?, 0?z?2,
?2?12?ze?1e, z?2.????2（方法2）卷积公式法.
若记W?2X，为求W的密度函数，我们先考虑W的分布函数
FW?w??P??W
w2??P2?w?Xw??????fX? ? ?0, w?w?x?dx??, ?0?w2,?2 ? 2.??1, ww??P?X??2??0,
故W的概率密度为
?1?, 0?w?2, fW?w???2
??0, 其他.图3.5.3
因为X,Y相互独立，所以W与Y也相互独立，从而Z?2X?Y?W?Y的概率密度可按卷积公式计算，即 fz?z???????f?Yf??zW?w?w d 为使被积函数非零，则必须满足条件 w ??0?w?2,?0?w?2, 即 ? 从而，分情况讨论：
?z?w?0,?w?z.① 若z?0,则?0?w?2???w?z???,于是 fz?z??0; ② 若0?z?2,则 ?0?w?2???w?z???0?w?z?,故 fz?z??21??z?w?1?zedw?1?e; ???220z③ 若z?2，则?0?w?2???w?z???0?w?z?,故 fz?z??1??z?w?12?zedw?e?1e. ???220??0, z?0,??1?z综上知 fz?z????1?e?, 0?z?2,
?2?12?ze?1e, z?2.????2【技巧】 这类问题的求解，主要工作量是求分段函数的积分和积分上、下限的确定，希望读者仔细体会此题求解的方法，得到举一反三的效果.第一种分布函数的方法是通常的方法，第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形.其实，对两随机变量和的线性组合，我们也有如下推广的卷积公式：设?X,Y?的联合概率密度为f?x,y?，则Z?aX?bY?a?0,b?0?的概率密度为
1 fz?z???fb????1?z?by??z?ax?x,dx?f?,y?dy.不妨用此公式去验证一下本题的结论. ???baa?????????e??x?y?, x?0,y?0,?例3.5.3 设二维随机变量?X,Y?的概率密度函数为 f?x,y???
??0, 其他求Z?X?Y的概率密度. 【思路】 用分布函数法.
【解】 显然，当z?0时，有 Fz?z??P?Z?z??PX?Y?z?0; 当z?0时，有 Fz?z??P?Z?z??PX?Y?z?????x?y?z??f?x,y?dxdy?x?y?zx?0y?0??e??x?y?dxdy.
此积分的积分区域如图3.5.4所示.因此，化此重积分为累次积分，得
Fz?z???dx0zx?z?0e??x?y???x?zdy??zdxx?z?e??x?y?dy1?3?1 ??1?e?z?e?3z???e?z?e?3z?
2?2?2 ?1?e?z.?1?e?z, z?0所以有 FZ?z???
?0, z?0.从而Z?X?Y的概率密度为
?e?z, z?0,dfZ?z??FZ?z??? 图3.5.4
dz0, z?0.?【寓意】 本题考查的是给定?X,Y?联合概率密度的条件下，求X和Y的函数的分布函数，关键是对二重积分确定其积分区域.
例3.5.4 设二维随机变量?X,Y?服从取区域D?（1）Z???x,y?:0?x?a,0?y?a?上的均匀分布，试求：
X的概率密度；（2）M?max?X,Y?的概率密度. Y【思路】 利用分布函数法来处理，先分别求出Z和M的分布函数，然后再求导.
?1?, 0?x?a,0?y?a,【解】 （1）由于?X,Y?的概率密度为 f?x,y???a2
??0, 其他故当z?0时，FZ?z??P??X??Z??0.而当0?z?1时，有 ?Y??X?FZ?z??P??z???Y?x?zy??f?x,y?dxdy??dy?00azy1zdx?. a22?X??z??当z?1时，有 FZ?z??P??Y?x?zy??f?x,y?dxdy??dx?0zaa11dy?1?. 2a2zx?0, z?0,?1?, 0 ??0, 其他故 fX?x????????1?1???x?a,?, 0?, 0?y?a, fY?y???f?x,y?dx??a f?x,y?dy??a???? .?0, 其他?0, 其他.从而，X与Y相互独立，且均服从?0,a?上的均匀分布，故对M?max?X,Y?的分布函数有 FM?z??P?M?z??P?max?X,Y??z??P?X?z,Y?z??P?X?z?P?Y?z??z2?, 0?z?a, ?FX?z?FY?z???a2?0, 其他,.??2zd?, 0 fX?Y?z??fXY?z?????????f?x,z?x?dx; f?z???f?x,x?z?dx;X?Y???????1?z?1f?x,?dx; fX?z???f?zy,y?dy.y?x?xY???? 综例3.6.1 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数.求：（1）?X,Y?的联合分布律；（2）X,Y的边缘分布律；（3）X和Y是否独立； （4）在 X?0的条件下，Y的条件分布律. 【解】 ⑴ 依题设知X只能取0，1，2，Y只能取0，1，2，3.显然，当i?j?2或i?j?3时，有 P?X?i,Y?j??0. C2iC7jC13?i?j当2?i?j?3时，由古典概率知 P?X?i,Y?j???i?0,1,2,j?0,1,2,3?. C103将这些一一计算并列表后，即得?X,Y?的分布律的具体表示. ⑵ X,Y的边缘分布律也列于分布律表中，具体形式如下： X Y 0 1 2 3 X边缘分布律 0 1 0 0 0 140 120172 0 0 1201201216335Y的边缘分布列 12012012012056⑶ 而P?X?0?P?Y?0???0,因此，X与Y不相互独立. 12021 12042 12035 12056 12056 1208 1201 P?X?0,Y?j?⑷ 在X?0的条件下，Y的条件概率为 P?Y?j|X?0??,j?0,1,2,3. P?X?0?因此Y的条件分布律如下： Y?j|X?0 2 3 P 3 85 8【寓意】本例时二维离散型随机变量的综合题，首先要求读者了解如何用古典概型来求解相关的概率，进而考查联合分布律与边缘分布律的关系及独立性的判别，条件分布律的计算只需知道条件概率的定义便可给出. 综例3.6.2 设?1,?2,?3,?4独立同分布，且 P??i?0??0.6,P??i?1??0.4,i?1,2,3,4.（第一问为1994年考研题）求：（1）行列式??率. 【思路】 要求行列式?的分布律，先要将?的所有可能取值找到，然后利用独立性将取这些值的概率计算出来，而第二问就是求系数行列式??0的概率. ?1?2??1x1??2x2?0,的概率分布；（2）方程组? 只有零解的概 ?3?4??3x1??4x2?0?,则 ???1?4??2?3??1??2由于?1,?2,?3,?4相互独立，故?1,?2也相【解】（1）记?1??1?4,?2??23互独立，且?1,?2都只能取0，1两个值,而 P??1?1??P??2?1??P??2?1,?3?1??P??2?1?P??3?1??0.16, P??1?0??P??2?0??1?0.16?0.84. 随机变量???1??2有3个可能取值-1，0，1，易见 P????1??P??1?0,?2?1??P??1?0?P??2?1??0.84?0.16?0.1344, P???1??P??1?1,?2?0??P??1?1?P??2?0??0.16?0.84?0.1344, P???0??1?P????1??P???1??0.7312. 于是行列式?的概率分布为 ? P -1 0.1344 0 0.7312 1 0.1344. ??1x1??x2?20,（2）由于齐次方程 ? 只有零解的充要条件是系数行列式不为0，故此题就简化为求?x??x?0.42?31概率 P???0??1?P???0??1?0.7312?0.2688. 【技巧】 本题实质上是求多维离散型随机变量的函数分布的问题，通过引入变量?1,?2将其化为二维随机变量函数分布问题，问题的解决最关键的是用到了独立性的性质：若随机变量?1,?2,立，则g1??1,?2,,?n相互独 ,?m?与g2??m?1,?m?2,,?n?也相互独立. 2综例3.6.3 设随机变量?X,Y?服从D???x,y?:y?0,xY3,Y3.定义随机变量U,V?y2?1?上的均匀分布， ?0, X?0,? ???0, X如下：U??1, 0?X?Y, V?? ???2, X?Y.?1, X? 求?U,V?的联合概率分布，并计算P?UV?0?. 【思路】 写出?U,V?的所有可能取值，并利用均匀分布的特征计算其取值的概率. ?2?, ?x,y??D,【解】 由题设知，?X,Y?的联合密度函数为 f?x,y???? ?0, ?x,y??D.??U,V?有6个可能取值：?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?,?2,0?和?2,1?.由U,V的定义知 P?U?0,V?0??P???,P?U?1,V?0??P???, P?U?1,V?1??P0?X?Y,X?3Y?P?0?X?Y? ?? ?0?x?y??f?x,y?dxdy?0?x?y??2?dxdy ?S扇AOC1?.SBCE4其中，S扇AOC和SBCE 分别表示图3.6.1中扇形AOC与半圆BCE的面积.同理有 P?U?0,V?1??PX?0,X?3Y?P?X?0? ???S扇COE1?,SBCE2S扇BOF1 P?U?2,V?0??PY?X,X?3Y?PX?3Y ??,SBCE6???? P?U?2,V?1??PY?X,X?3Y?PY?X?3Y?所以，?U,V?的联合概率分布为 ????S扇AOF1?.SBCE12 图 3.6.1 U V 0 1 2 0 0 0 1 1 6111??. 41231 21 41 12 从而 P?UV?0??P?U?1,V?1??P?U?2,V?1??【技巧】 本题是求连续型随机变量的离散值函数的分布问题，解题过程中巧妙地应用了均匀分布的性质从而简化了计算. ?cxe?y, 0?x?y???,综例3.6.4 设随机变量?X,Y?的联合概率密度为 f?x,y??? ?0, 其他.⑴ 求常数c; ⑵ X与Y是否独立？为什么？ ⑶ 求fX|Y?x|y?,fY|X?y|x?； ⑷ 求P?X?1|Y?2?,P?X?1|Y?2?; ⑸ 求?X,Y?的联合分布函数； ⑹ 求Z?X?Y的密度函数； ⑺ 求P?X?Y?1?; ⑻ 求Pmin?X,Y??1. ??????【解】 （1）根据 ??????cf?x,y?dxdy?1,得 1??dy?cxe?ydy?200????y???0cy2e?ydy???3??c. 2这里利用了特殊函数??????0x??1e?xdx的性质：????1???????,故c?1. （2）先分别计算X和Y的边缘密度. ??fX?x?????????y?x??xedy,x?0?xe, x?0,f?x,y?dy??x?? 0, x?0.??0,x?0??y?y?12?y??xedx, y?0?ye, y?0,f?x,y?dx??x??2 ?0, y?0??0, y?0.?fY?y???????由于在0?x?y???上，f?x,y??fX?x?fY?y?，故X与Y不独立. （3）由条件分布密度的定义知 ?2xf?x,y??ex?y,0?x?y???,f?x,y??2,0?x?y???,??fX|Y?x|y????y fY|X?y|x?? fY?y??fX?x??0, 其他 ?0, 其他.（4）直接由条件概率定义知 12.P?X?1,Y?2???P?X?1|Y?2???P?Y?2?f?x,y?dxdy?fY?y?dy12????2?ydxxe??dy02x???12?yyedy?2011?2e?1?e?22?. ?21?5e又由条件密度的性质知 P?X?1|Y?2??1????x?,0?x?2, fX|Y?x|?dx2 而 fX|Y?x|2???2??0, 其他.x1P?X?1|Y?2???dx?. 2401（5）由于F?x,y??P?X?x,Y?y?,故有： 当x?0或y?0时，F?x,y??0. 当0?y?x???时，有 1?1?F?x,y??P?X?x,Y?y???dv?uedu??v2e?vdv?1??y2?y?1?e?y. 20?2?00?vyvy当0?x?y???时，有 1F?x,y??P?X?x,Y?y???dv?uedv??u?e?u?e?y?du?1??x?1?e?x?x2e?y. 20u0?vxyx??0, x ? 或 y ? , ???1??y综上知 F?x,y???1??y2?y?1 y ? x0??? ?e, ?2????1 x ?0y????e?x?x2e?y, ??1??x?1?2（6）根据两个随机变量和的密度公式 fz?z??只要当0?x?z?x，即0?x?当z?0时， fz?z??0; ????z?x?0,0?????f?x,z?x?dx, 由于要被积函数f?x,z?x?非零， z时，从而有： 2当z?0时， fz?z??xe2?0?z??dx?e?xedx?e???1?e2; ?2?0?zx?z2zz??z?z??2?e???1?e, z?0,因此， fz?z??? ?2??0, z?0.?（7）由于已经求出了Z?X?Y的密度，故 P?X?Y?1??（8） 1???z1???z?z??2?fz?z?dz???e???1?e?dz?1?e2?e?1. ?2??0?1P?min?X,Y??1??1?P?min?X,Y??1??1?P?X?1,Y?1?1 ?1??dv?uedu?1?210?v??v??5?1 vedv ?1?e.?212?v【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，几乎涵盖了其中的主要内容.在常数确定c时，应用了 ?函数的定义和性质，当然，读者也可以直接用分部积分法计算.概率P?X?1|Y?2?的求法，要利用 条件密度fX|Y?x|2?进行计算，其计算过程同一般的一维密度的计算方法.P?X?Y?1?的计算，我们利用了第(6)问的结论，在不需要求X?Y密度的情形下，只要直接计算就可以了，即 P?X?Y?1??dx0121?x??xxedy?1?e?y?12?e?1. 综例3.6.5 设X~U?0,1?,且在?X?x?的条件下，Y~U?0,X?,0?x?1.求 （1）PX2?Y2?1|X?x,0?x?1; （2）PX2?Y2?1. 【思路】 第一问等价于求PY?1?x2X?x,故只需利用条件密度fY|X?y|x?来计算，而第二问的计算，首先要知道?X,Y?的联合分布密度f?x,y?. 【解】 由题设知，X的密度函数为 fX?x??????????1, 0?x?1, 而在?X?x?条件下，Y的条件密度为 ?0, 其他.?1?, 0?y?x?1, 从而?X,Y?的联合密度函数为： fY|X?y|x???x??0, 其他.?1?, 0?y?x?1, f?x,y??fX?x?fY|X?y|x???x??0, 其他① 对0?x?1，有 P?X2?Y2?1|X?x??P?Y2?1?x2|X?x??P?1?x2?Y?1?x2|X?x 1?x2????1?xfY|X?y|x?dy?22??1?x?y?1?x 0?y?x211dx?minx,1?x2?min1,1?x2. xx?????411②P?X?Y?1????f?x,y?dxdy???dxdy极坐标变换?dr?rd??ln1?2. xrcos?00x2?y2?1x2?y2?1221??0?y?x?1【注】 本题中的fY|X?y|x?和f?x,y?虽然具有相同的表示式，但其含义却截然不同. fY|X?y|x?是y的一元函数，而不是二元函数，x在此视为常量，这相当于微积分中，当二元函数一个自变量固定时，它只是另一个变量的一元函数.当x变化时，Y的条件密度函数也变化. 综例3.6.6 设二维随机变量?X,Y?在矩形 G?长为X和Y的矩形面积S的概率密度f?s?. ??x,y?:0?x?2,0?y?1?上服从均匀分布，试求边 ?1?,若?x,y??G,【解】 由题设知，二维随机变量?X,Y?的概率密度为 f?x,y???2 ?0,若?x,y??G.?设S?XY,F?s??P?S?s?为S的分布函数，则： 当s?0时，F?s??P?XY?s??0, 当s?2时，F?s??P?XY?s??1, 当0?s?2时，曲线xy?s与矩形G的上边交于点?s,1?（见图3.6.1），于是 F?s??P?S?s??P?XY?s?, ?1??ln2?lns?,0?s?2,fs?因而，S?XY的概率密度为 ???2 【解毕】 ??0, 其他.【寓意】 本题实质上是求两随机变量的乘积的概率密度. 第四章 随机变量的数学特征 例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差DX. 【思路】 关键是求出X的分布律，然后用定义计算EX. 【解】 引入事件： Ai?第i个部件需要调整 i=1,2,3. 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 P?A1??0.10,P?A2??0.20,P?A3??0.30. 由题设部件的状态相互独立，于是有 ??P?X?0??PA1A2A3?PA1PA2PA ?0.9?0.8?0.7?0.504.???????? ?3P?X?1??PA1A2A3?AAA2?30.?10.?8?0.7?0.?90.?2?0.7?0.90.80.31A2?3AA1 ?0.398?P?X?2??PA1A2A3?AA10.?2?0.7?0.?10.?8?0.3?0.90.20.31A2?3AAA12?30.? ?? ?0.092;于是X的分布律为 X P 从而 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 EX??xipi?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006i ?0.6, EX2??xi2pi?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006i ?0.820.故 DX?EX2??EX??0.820?0.62?0.46. 【解毕】 【技巧】 本题的关键是引入事件Ai，将X的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X的分布.同时，方差的计算一般均通过公式DX?EX2??EX?来进行. 例4.2.2 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的数学期望和方差. 【解】 由题意可求得X的分布律为 22P?X?k??pqk?1, k?1,2,于是 EX?,q?1?p. ?kpqk?1?k?1?p?kqk?1. k?1?为了求级数 ?kqk?1?k?1的和，我们利用如下的技巧：由于 ?qk?k?1?1, 0 ?d??k??dqkk?1 q??kq, ?????dq?k?0?k?0dqk?1?因此 ?kqk?1?k?1d?1?1?, ??2dq?1?q??1?q?12从而 EX?p?1?q??p11?. 2pp为了求DX,我们先求EX.由于 2 EX?2?k?k?1?pqK?1?k?1?11??pq?k?k?1?qk?2?. ppk?2为了求 ?k?k?1?qk?2?k?2得值，注意到 d??d?1?2k?1?kq??. ?? ???23??dq?k?1?dq??1?q???1?q?从而 EX2?pq2?1?q?3?12q1??. pp2p2因此 DX?EX??EX??21?pq?2. p2p【寓意】 本题实质上是求几何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求 ?kqk?1??k?1和 ?kk?1?2qk?1，这种手段在级数求和或数学期望和方差 的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于X的取值都是正数，所以只要正项级数 ?xk?1?kpk收敛，则一定绝对收敛，即?xkpk的和就为EX.而实际情况中，可能存在级数?xkpkk?1k?1?是条件收敛的，此时，X的数学期望就不存在（虽然 ?xk?1?kpk本身仍是收敛的），因此判断离散型随机 变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法. 例4.2.3 设X是一随机变量，其概率密度为 ?1?x, ?1?x?0,?f?x???1?x, 0?x?1, ?0, 其他.?求DX. (1995年考研题) 【解】 ??EX?2???xf?x?dx??x?1?x?dx??x?1?x?dx?0.?10????01 EX??xf?x?.dx??x?1?x?dx??x?1?x?dx?2?x2?1?x?dx 222?100011 ?162于是 DX?EX2??EX??1. 【解毕】 6【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下f?x?的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，f?x?为偶函数，故EX?直接简化. 例4.2.4 已知连续型随机变量X的密度函数为 f?x???????xf?x?dx?0.同样DX的计算也可 1?e?x2?2x?1, -? 求EX与DX. (1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法. 由数学期望与方差的定义知 ??EX? ????xf?x?dx???1??????xe??x?1?2dx?1??????e??x?1?2dx?1???????x?1?e??x?1?2dx 1????e??x?1?2dx?1.??DX?E?X?EX?? ?1??22????x?1?f?x?dx???x?1???2??21?e??x?1?2dx ???2?tt?edt分部积分1?t2edt?.?22???12??x???22?21?? （方法2） 利用正态分布定义. 由于期望为?，方差为?2的正态分布的概率密度为形为 ?e?????x????.所以把f?x?变 ?x?1?2?1?2???2????2 f?x??12?12e 易知，f?x?为N?1,?1??的概率密度，因此有 ?2? EX?1,DX?1. 【解毕】 2??2【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分 ?kx?edx等. ??(2)若干计算公式的应用 主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用. 例4.2.5 设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求EX2. (1995年考研题) 【解】 由题意知X~B?10,0.4?于是 EX?10?0.4?4, DX?10?0.4??1?0.4??2.4. 由DX?EX2??EX?可推知 2EX2?DX??EX??2.4?42?18.4. 【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 EX?的计算是繁琐的. 例4.2.6 设X服从参数??1的指数分布，求EX?e?2X. （1992年考研题） 【解】 由题设知，X的密度函数为 22K?0?k2C10k0.4k?1?0.4?1010?k ???e?x, x?0,f?x??? ?0, x?0.且EX?1，又因为 ??Ee?2X????e?2xf?x?dx???1?2x?xeedx?, ?3014?. 【解毕】 33从而 EX?e?2X?EX?Ee?2X?1???【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法. 例4.2.7 设二维随机变量?X,Y?在区域G???x,y?:0?x?1,y?x?内服从均匀分布，求随机变量 Z?2X?1的方差DZ. 【解】 由方差的性质得知 DZ?D?2X?1??4DX 又由于X的边缘密度为 ??fX?x??????x??1dy, 0?x?1f?x,y?dy???x?0, 其他. ??2x, 0?x?1 ???0, 其他.于是 21EX??x2xdx?, EX2??x22xdx?,3200211 1?2?1????.2?3?1812因此 ， DZ?4DX?4??. 【解毕】 189DX?EX2??EX??2【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X的期望于方差时，可以从X的边缘密度函数出发，而不必从X与Y的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便. 例4.2.8 设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1，标准差为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数. （1989年考研题） 【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X,Y的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ和DZ，则Z的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，X~N?1,2?,Y~N?0,1?.从而由期望和方差的性质得 EZ?2EX?EY?3?5,DZ?2DX?DY?9.2 又因Z是X,Y的线性函数，且X,Y是相互独立的正态随机变量，故Z也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知Z~N?5,9?，于是，Z的概率密度为 fZ?z??1e32???z?5?22?9, ???z???. 【解毕】 【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全 由其期望和方差决定. 例4.2.9 假设随机变量Y服从参数为??1的指数分布，随机变量 ?0, 若Y?k, Xk?? ?k?1,2? 1, 若Y?k.?（1） 求X1和X2的联合概率分布； （2） 求E?X1?X2?. 【解】 显然，Y的分布函数为 ?1?e?y, y?0, F?y??? ?0, y?0.?0, 若Y?1，?0, 若Y?2，X1?? X2?? 1，若Y?1.1，若Y?2.?? （1）?X1?X2?有四个可能取值：?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?,且 P?X1?0,X2?0??P?Y?1,Y?2??P?Y?1? ?F?1??1?e1,P?X1?0,X2?1??P?Y?1,Y?2??0,P?X1?1,X2?0??P?Y?1,Y?2??P?1?Y?2? ?F?2??F?1??e?e,?1?2 P?X1?1,X2?1??P?Y?1,Y?2??P?Y?2? ?1?F?2??e?2. 于是得到X1和X2的联合分布律为 X1 X2 0 1 0 1?e?1 ?1?2 e?e 1 0 e?2 （3） 显然，X1,X2的分布律分别为 X1 0 1 X2 0 1 ?1?2P 1?e e?1 P 1?e e?2 ?1?2因此 EX1?e,EX2?e. 故 E?X1?X2??EX1?EX2?e?e. 【解毕】 ?1?2【技巧】 本题中若不要求求X与Y的联合分布律，也可直接求出E?X1?X2?，这是因为 EX1?1?P?Y?1??0?P?Y?1??P?Y?1??e. ?1?2而 EX2?PY?2?e, 因此 E?X1?X2??EX1?EX2?e?e. ?1?2不仅如此，我们还能求X1,X2其他函数的期望.例如求E?X1X2?，此时，由于 ?1, 若Y?2,XX? 12? 0， 其他.?故 E?X1X2??1?P?Y?2??0?P?Y?2??P?Y?2??e. ?2例4.2.10 设随机变量?X,Y?服从二维正态分布，其密度函数为 x2?y2??1?1e2 f?x,y?? 2?求随机变量Z?X2?Y2的期望和方差. 【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】 由于Z?X2?Y2，故 EZ?E ??X?Y????22????????x2?y2f?x,y?dxdy ????x2?y2?212???????x2?y2edxdy.令??x?rcos?,，则 ?y?rsin?.EZ? ?而 12???2???0d??re0?r22???e0r22??r?????r?1r?2???re2|??e2dr?02???0?? 22dr??2.1EZ?E?X?Y??2?222???????????x2?y?e2?r22?x?2?y22?dxdy 1 ?2? ?2.2???2?d??re00?r22??rdr?2?re0dr故 DZ?EZ2??EZ??2?2?2. 【解毕】 【技巧】 本题也可先求出Z的密度函数，再来求Z的期望与方差，但由于求Z的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者 ?X,Y?为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望 计算公式来求解. （4） 随机变量的分解. 例4.2.11 一民航班车上共有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客再各车站下车是等可能的）. 【解】 引入随机变量 Xi???0, 在第i站无人下车， i?1,2, 在第i站有人下车.?1，?X10. ,10 易见 X?X1?X2?按题意，任一旅客在第i站不下车的概率是 209,因此，20位旅客都不在第i站下车的概率为1020?9??9?，从而，在第i站有人下车的概率为1?????，也就是说，Xi的分布律为 ?10??10? Xi 0 1 ?9??9? P ?? 1??? ， i?1,2,?10??10??9?于是 EXi?1???, i?1,2,?10?进而有 202020,10. ,10 ??9?20??10?10EX?E??Xi???EXi?10?1?????8.784. ?i?1?i?1???10???也就是说,平均停8.784次. 【技巧】 本题中不是直接去求X的分布,然后再求X的数学期望,而是将X表示成数个随机变量之和 X??Xi,然后,通过EXi算出EX,这种处理方法具有一定的普遍意义,我们称之为随机变量的分解法. i?110这类通过分解手法能将复杂的问题化为较简单的问题,它是处理概率论问题中常采用的一种方法.这种分解法的关键是引入合适的Xi,使X??Xi?110i. 例4.2.12 对目标进行射击,每次击发一颗子弹,直至击中n次为止,设各次射击相互独立,且每次射击时击中目标的概率为p,试求子弹的消耗量X的数学期望和方差. 则显然有X??Xi. ,n， i?110【解】 设Xi表示第i-1次击中到第i次击中目标所消耗的子弹数，i?1,2,依题设可知，各个Xi独立同分布，都服从几何分布，即 P?Xi?k???1?p?于是由本节例4.2.2知 EXi?k?1p, k?1,2, 11?p,DXi?2, i?1,2,pp,n. n?n?n因此 EX?E??Xi???EXi?. p?i?1?i?1另外，又由于 X1,,Xn是相互独立的，故 n?1?P??n?nDX?D??Xi???DXi?. 2p?i?1?i?1 【解毕】 例4.3.1 设二维离散随机变量?X,Y?的分布列为 X Y -1 -1 0 0 1 1 81 8 1 8 0 1 81 8 求：?XY，并问X与Y是否独立，为什么？ 【解】 X与Y的边缘分布列分别为 X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P 从而 EX?EY?0, 323323 P 88888832332EX2?EY2???1???02??12??, 88843从而 DX?DY?, 4又由于 3333EXY???xiyjpij??xi?yjpiji?1j?1j?1j?1 ???1?????1????111?111???0??1???0?1????1???0??1?? 888?888?? ?0.所以 Cov?X,Y??EXY?EXEY?0. 从而 ?XY?Cov?X,Y?DXDY?0. 因为P?X??1,Y??1??133?P?X??1?P?Y??1???,所以X与Y不独立. 888 【解毕】 【寓意】 由于?XY＝0，即X与Y不相关，但X与Y不独立，因此，此题说明了，不相关未必就独立. 例4.3.2 设A,B是两随机事件，随机变量 ?1, 若A出现，?1, 若B出现，X?? Y?? ??1，若A不出现.??1，若B不出现.试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立. （2000年考研题） 【思路】 先计算出Cov?X,Y?，再看Cov?X,Y??0是否当且仅当P?AB??P?A?P?B?. 【证明】 记P?A??p1,P?B??p2,P?AB??p12，则X,Y的分布律分别为 X -1 1 Y -1 1 P 1?P?A? P?A? P 1?P?B? P?B? 可见 EX?P?A???1?P?A???2P?A??1?2p1?1,EY?P?B???1?P?B???2P?B??1?2p2?1. 现在求E?XY?,由于XY只有两个可能值1和?1，故 P?XY?1??P?X?1,Y?1??P?X??1,Y??1? ?P?AB??PAB?p12?PA?B ?2p12?p1?p2?1,???? ?p12?1?P?A?B??p12?1?P?A??P?B??P?AB? P?XY??1??1?P?XY?1??p1?p2?2p12. 从而 EXY?P?XY?1??P?XY??1??4p12?2p1?2p2?1, Cov?X,Y??EXY?EXEY?4p12?4p1p2. 因此，Cov?X,Y??0当且仅当p12?p1p2，即X与Y不相关当且仅当A与B相互独立. 【技巧】 本题是二维离散随机变量协方差的综合题，在这个问题中，不相关恰好与独立是等价的.一般情形下，没有这么好的性质..本题的关键是计算EXY，我们采用先求XY的分布律，而后再求EXY的方法，这样的计算再离散型时是较为简单的.当然，另一思路是求出?X,Y?的联合分布律，再用联合分布律直接计算EXY和Cov?X,Y?，这里 X Y -1 1 p i -1 1 pj 1?p1?p2?p12 p2?p12 p12 p2 1?p1 p1 1 p1?p12 1?p2 那么，用随机变量函数的期望公式，仍可算出EXY和Cov?X,Y?. 例4.3.3 假设随机变量X和Y在圆域x?y?r上服从联合均匀分布. （1） 求X和Y的相关系数?XY. （2） 问X和Y是否独立？ （1991年考研题） 【思路】 求相关系数，应求出协方差；判断随机变量独立性，需求出它们的联合密度和边缘密度. 【解】 （1）由假设知，X和Y大的联合密度为 222?1222?2, x?y?r, f?x,y????r222??0, x?y?r.根据联合密度与边缘密度的关系，有 ?r2?x21????dy, x?r2fX?x???f?x,y?dy??22?r?r?x????0, 其他 ?222 x?r?2r?x， ＝??r? 其他?0， fY?y????????222 y?r?2r?y， f?x,y?dx???r? 其他?0，注意到fX?x?，fY?y?均为偶函数，可得 rEX? ?rr?xy222r?xdx?0,?r22r2?y2dy?0.2?r EY?从而，有 ?r?Cov?X,Y??EXY?EXEY?EXY???? ?于是 ??????xyf?x,y?dxdy? xydxdy?0.2??222?rx?y?r ?XY?2Cov?X,Y?DXDY22?0. （2） 因为在x?y?r上， f?x,y??fX?x?fY?y?, 所以随机变量X和Y不独立. 【解毕】 【寓意】 从该题可见，随机变量的“独立性”与“不相关”是两个不同的概念，需要大家注意，但在二维正态随机变量中，“独立性”与“不相关”具有同一性. 例4.3.4 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N1,32和N0,42，且X与Y的相关系数 ?????XY??，设Z?12XY?,求： 32（1）Z的数学期望EZ和方差DZ； （2）X与Z的相关系数?XZ； （3） 问X与Z是否相互独立？为什么? （1994年考研题） 【解】 （1）由数学期望的运算性质有 11?XY?1EZ?E????EX?EY?. 23?32?3由D?X?Y??DX?DY?2Cov?X,Y?有 ?XY??1??1??11?DZ?D????D?X??D?Y??2Cov?X,Y??32??3??2??32?1111 ?2DX?2DY?2??Cov?X,Y? 3232111 ?DX?DY??XYDXDY943 ?1?4?2?3.（2）因为 XY??Cov?X,Z??Cov?X,??32??11 ?Cov?X,X??Cov?X,Y?32 11 ?DX??XYDXDY3211?1? ??32??????3?4?0,32?2?所以 ?XZ?Cov?X,Z?DXDZ?0. （3）因X,Y均为正态，故X,Y的线性组合Z也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由?XZ?0知，X与Z相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质 Cov??aXb,Yc?U?d?Va,o?v?XU?cC?点a,d?Co?vX?V,?bc?Cov?Y,UbdCovYV?另一 为：对于二正态变量X与Y，X与Y 相互独立等价于?XY?0. 综例4.4.1 某人用n把钥匙去开门，其中只有一把能打开门上的锁，今逐个任取一把试开，求打开此门所需开门次数X的均值及方差，假设 （1） 打不开的钥匙不放回； （2） 打不开的钥匙仍放回. 【思路】 本题没有直接给出X的分布律，因而必须先根据题意求出X的分布律，再利用期望的定义进行计算. 【解】 （1）打不开的钥匙不放回的情况下，所需开门的次数X的可能取值为1,2,意味着从第1次到第i?1次均未能打开门，第i次才打开，故由古典概型计算知 ,n，注意到X?iPn?1i?11P?X?i???, i?1,2,Pnin1nn?1. 从而 EX??iP?X?i???i?ni?12i?1n,n. 1n21又 EX??iP?X?i???i??n?1??2n?1?, ni?16i?122n故 DX?EX2??EX?22 112?n?1? ??n?1??2n?1??????n?1?.62??12(2)由于试开不成功，钥匙仍放回，故X的可能取值为1,2,,n,,其分布律为 ?1? P?X?i???1???n?即X服从几何分布，故由例4.2.2知 EX?i?11,i?1,2,n. 1?n, 1n1n?n?n?1?. 【解毕】 DX?2?1????n?1?【技巧】 本题中用到了两个常用的等式： n?n?1?n21i?,?i?n?n?1??2n?1?. ?26i?1i?1n而第二问是典型的几何分布的问题，要求读者熟悉几何分布的实际背景. 综例4.4.2 某射手有5发子弹，射击一次的命中率为0.9，如果他击中目标就停止射击，否则一直射击到用完5发子弹为止.求： （1） 所用子弹数X的数字期望； （2） 子弹剩余数Y的数学期望. 【思路】 只需求出X的分布律，X的期望EX就容易知道，而Y与X之间显然有关系：Y?5?X因而第2问就迎刃而解了. 【解】 （1）显然，X的可能取值为1，2，3，4，5，且由试验的独立性知， P?X?k??0.1k?1?0.9, k?1,2,3,4. 而 P?X?5??1?P?X?1??P?X??2?P?X? ?1?0.9?0.09?0.009?0.0009X??3 4 ?0.0001从而 EX??kP?X?k??1?0.9?2?0.09?3?0.009?4?0.0009?5?0.0001k?15 ?1.1111（2）由题意知，Y?5?X.故 EY?5?EX?5?1.1111?3.8889 【技巧】 与几何分布不同，本题是一有截止的几何分布，也就是说，试验直到击中目标为止或第5次射击为止，故P?X?5?的计算也可通过下列方式计算. P?X?5???1?0.9??0.9??1?0.9???1?0.9??0.0001. 综例4.4.3 设随机变量X的概率密度为 454?ax, 0?x?2,?f?x???cx?b, 2?x?4, ?0, 其他.?已知EX?2,P?1?X?3??3（1）常数a,b,c;（2）EeX. .求：4??【思路】 要确定三个常数a,b,c,需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为只需利用随机变量函数的期望计算公式即可. 【解】 （1）由概率密度的性质知，有 ?????f?x?dx?1,而EeX 1?又因为 ???f?x?dx??axdx???cx?b?dx?2a?6c?2b. 02??24242?EX? ???xf?x?dx??xaxdx??x?cx?b?dx02356 ?a?c?6b,83 而 3?P?1?X?3???f?x?dx??axdx???cx?b?dx4112 ?35a?c?b.22323 解方程 ??2a?6c?2b?1,?56?8c?6b?2, ?a?33?53?3a?c?b?.??224得 a? （2） 11b?1,c?? 4,4x?x?Ee??ef?x?dx??edx??ex?1??dx4?4???02Xxx??24111 ?e4?e2?.424 【解毕】 【寓意】 本题是考查一维连续型随机变量的综合题，要求大家掌握其中相关的定义和计算公式. 综例4.4.4 袋中装有N只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为A，试求从该袋中摸一球得到白球的概率. 【思路】 摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的，虽然袋中的白球为随机多个，但当已知袋中白球个数时，那么从袋中换一球为白球的概率是易知的，要建立这一条件概率与要求的问题的概率的桥梁，非全概率公式莫属. 【解】 记X为袋中的白球数，则由题设知 A?EX??kP?X?k?. k?0N由此，若令D?摸一球为白球，利用全概率公式知 ??P?D???P?D|X?k?P?X?k?k?0NN ??k?0kP?X?k?N ?AN 【解毕】 【技巧】 本题主要是利用了全概率公式的思想来解决题目中的难点的. 综例4.4.5 假设由自动线加工的某种零件的内径X?mm?服从正态分布N??,1?,内径小于10或大于 12的为不合格品，其余为合格品,销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损， 已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X由如下关系： ??1, 若X?10,? T??20, 若10?X?12, ??5, 若X?12.?问平均内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ （1994年考研题） 【思路】 问题是求?，使ET达到最大，故关键使求出ET的表达式. 【解】 由于X~N??,1?，故X??~N?0,1?,从而由题设条件知，平均利润为 ET?20?P?10?X?12??P?X?10??5?P?X?12? ?20?????12??????10????????10????5??1???12????? ?25???12????21??10????5.其中??x?为标准正态分布函数，设??x?为标准正态密度函数，则有 dET??25??12????21??10???d? ??25e2?212??????12???2?2?21e2?210??????10???2?2 .令其等于0，得 由此得 ???0?11?25e2?2?21e2?2 125ln?10.9 221??0?10.9mm时，平均利润最大. ??d2ET?0,当?由题意知?此时?2|???0d??? 【解毕】 【技巧】 本题是随机变量数学期望的应用题，是一的典型的题型，在求最大平均利润时，应用了微积分中典型的求最大（小）值的计算方法. 综例4.4.6 设某种商品每周的需求量X服从区间?10,30?上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间?10,30?中的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位仅获利300元，为使商品所获利润的期望值不少于9280元，试确定最小进货量. （1998年考研题） 【解】 根据题设，随机变量X的概率分布密度为 ?1?, 10?x?30, fX?x???20 ??0, 其他.设进货数量为a,则利润应为 ??500X??a?X?100,10?X?aZ??500a??X?a?300,a?X?30?? ?600X?100a,10?X?a ???300X?200a,a?X?30.利用随机变量函数的期望公式知，期望利润 ??EZ???a?ZfX?x?dx3011 ???600x?100a?dx???300x?200a?dx 202010a ??7.5a2?350a?5250.依题意，要 ?7.5a2?350a?5250?9280 即 ?3a?62??2.5a?65??0 于是 3a?62?0, 2.5a?65?0. 即 20?a?26.故要利润期望值不少于9280元的最小进货量为21单位. 【解毕】 【技巧】 在利用数学期望求解应用问题时，关键在于建立起问题要求的量与某一已知分布的随机变量之间的函数关系，如本题中Z与X的关系.这样就可利用已知分布的量来求未知分布的量的数学期望，从而最终确定所求问题的解. 综例4.4.7 设?,?是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知?的分布律为 P???i??231,i?1,2,3. 3又设X?max??,??,Y?min??,??. （1） 求二维随机变量?X,Y?的分布律； （2） 求随机变量X的数学期望EX; （3） 求X与Y的相关系数?XY. （前二问是1996年考研题） 【思路】 先利用?,?的独立性求出X与Y的联合分布，然后利用期望与相关系数的公式解. 【解】 （1）显然X与X与Y的可能取值均为1，2，3，且Y的取值不可能超过X的取值.故： 当i?j时 P?X?i,Y?j??0 当i?j时 P?X?i,Y?j??P???i,??j? 111 ?P???i?P???j????.339当i?j时 P?X?i,Y?j??P???i,??j??P???j?,?i? 11112 ?????.33339 2 0 3 0 0 于是X与Y的联合分布律与边缘分布律为 X Y 1 2 3 P?Y?j? （2） EX?1?（3）由于EX? 1 P?X?i? 1 93 95 9 1 1 92 92 95 9 1 92 93 9 1 91 9 13522?2??3??. 999922. 953114 EY?1??2??3??, 999913558 EX2?12??22??32??, 999953126 EY2?12??22??32??, 9999从而 DX?EX2??EX?258?22?38?????, 9?9?8122 DY?EY??EY?2226?14?38. ?????9?9?81又 EXY???xiyjpijij121221 ?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3? 99999932 ?.932221420故 Cov?X,Y??EXY?EXEY?????. 99981于是 ?XY20Cov?X,Y?10??81??. 【解毕】 3819DXDY81?综例4.4.8 假设二维随机变量?X,Y?在矩形G? U????x,y?:0?x?2,0?y?1?上服从均匀分布，记 ?0,若X?Y,?0,若X?2Y, V?? 1,若X?Y.1,若X?2Y.??求 （1）U和V的联合分布； （2）U和V的相关系数?. 【思路】 由于U,V均为?X,Y?的函数，因此，在计算U,V的联合分布时，需利用二维随机变量的概率计算公式：P?X,Y??B???f?x,y?dxdy. B【解】 由题设知，?X,Y?的联合密度函数为 ?1?, 0?x?2,0?y?2,f?x,y???2 ??0, 其他.（1）?U,V?有四个可能取值?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?. 且 P?U?0,V?0??P?X?Y,X?2Y??P?X?Y? ?x?y??11 f?x,y?dxdy??dy?dx?;24001yP?U?0,V?1??P?X?Y,X?2Y??0; P?U?1,V?0??P?X?Y,X?2Y??P?Y?X?2Y? ?y?x?2y??11 f?x,y?dxdy??dy?dx?;240012yP?U?1,V?1??P?X?Y,X?2Y??P?X?2Y? ?x?2y??11f?x,y?dxdy??dx?dy?.22002x2 从而?U,V?的联合分布律及相应的边缘分布律为 V U 0 1 P?U?i? 11 0 44113 1 42411 P?V??j 1 22 0 （3） 由于UV只能取0，1两个值，且其分布律为 UV 0 1 P 故 E?UV??0?11 22111?1?? .222又由上面的联合分布律表知 3311EU?,DU?,EV?,DV?. 41624故U,V的相关系数为 131Cov?X,Y?E?UV??EUEV2?4?2????DXDYDXDY31? 44 ?3.3 【解毕】 【技巧】 在计算E?UV?时，由于UV只取两个值0，1，因此，这里直接求出UV的分布律，再来求我们也可以用上例的方法，直接利用二维随机变量函数的期望来计算E?UV?，E?UV?是方便的.当然， 此题的关键是要将?U,V?的取值与?X,Y?的取值范围联系起来，从而可利用概率计算公式求出?U,V?的联合分布. 综例4.4.9 设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N?,?2??，试证明： E??max?X,Y??????【证明】 令X1??. ?,Y1?Y??X????，则X1与Y1仍相互独立，且都服从标准正态分布N?0,1?,由此， 知X????X1,Y????Y1,从而 max?X,Y??max????X1,???Y1?????max?X1,Y1?. 因此，只须证明E??max?X1,Y1????（方法1） 由于 max?x1,y1???所以 1?即可.我们用两种方法来证明. ?x1, x1?y1, ?y1, x1?y1.E??max?X1,Y1???? ???????????max?x,y?f?x,y?dxdy1111111X11Y111??????????????max?x,y?f?x?f?y?dxdy11x12?y12??1?1 ???max?x1,y1?e2dx1dy12?????1x12?y12???x12?y12??1?11 ???x1?e2dx1dy1???x1?e2dx1dy12?2?x1?y1x1?y1 ? x?rcos?y?rsin??4 ?05?4?rcos??1e2?r2?25??4?rd?dr??0??4rsin??1e2??r22?rd?dr 1?2??21r?e???2??0?r2?25????44???dr???cos?d???sin?d???5??????44? 11??22??22??1?????????????2???2?222?2?????????从而 E??max?X,Y???????E??max?X1,Y1?????? （方法2） 利用 max?X1,Y1???. ?1X1?Y1?X1?Y?,所以 ?2 1?EX1?EY1?EX1?Y???2 1 ?EX1?Y.2Emax?X1,Y1??由于,X1,Y1相互独立，且均服从N?0,1?，故 X1?Y1~N?0,2?. 从而 ??EX1?Y1????x212???2x2?4e??x22?2dx?12?2???xe0?x24dx ????0de2?故 E??max?X,Y????212??1?. 从而 E??max?X,Y???????E??max?X1,Y1???????. 【证毕】 ?【技巧】 本题是正态变量X与Y的函数max?X,Y?的期望问题，在证明过程中，采用了两种技巧： （1） 将正态变量X与Y“标准化”，X1?X???,Y1?Y???,从而将问题转化成计算 E??max?X1,Y1???的问题.这里，X1与Y1相互独立且服从标准正态分布. （2） 方法1是二维随机向量?X1,Y1?的函数max?X1,Y1?的期望，计算时要用到二重积分，由 22于二重积分中的被积函数呈现出x1?y1的形状，而区域又是全平面（或半平面等），采用极坐标更为 方便.方法2是利用max?X1,Y1?的解析表达式 max?X1,Y1??1X1?Y1?X1?Y1? ?2将问题转化为求X1?Y1~N?0,2?的函数X1?Y1的期望，可用一重积分简单地计算出EX1?Y1,这种 方法比方法1要简单得多.同样，利用 min?X1,Y1??也可以证明 1X1?Y1?X1?Y1? ?2E??min?X1,Y1???????. ?综例4.4.10 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且均服从区间?10,20?上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周利润的期望值. 【解】 设Z表示商店每周所得的利润，则由题意 ?1000Y, Y?XZ???1000X?500?Y?X?, Y?X ?1000Y, Y?X,???500?X?Y?, Y?X.由题设知，?X,Y?的联合密度函数为 ?1, 10?x?20,10?y?20,? f?x,y??fX?x?fY?y???100??0, 其他.因此，由Z是X,Y的函数可知 ????EZ? ? ?????Zf?x,y?dxdy11dxdy???500?x?y?dxdy1001000y?x20y2020y?x??1000y2020 ?3? ?10?dy?ydx?5?dy??x?y?dx?10?y?20?y?dy?5??y2?10y?50?dy?210?10y101010 ?14166.67(元）.【技巧】 本题为一综合应用题，问题的关键是找出利润Z与进货量X和需求量Y之间的函数关系，再利用X,Y的独立性可计算出Z的期望，值得注意的是，由于Z是X与Y的分区域函数，故在计算时，对不同的区域应代入相应的函数值，否则计算过程会出错. 综例4.4.11 数学系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，试 求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差. 【思路】 利用随机变量的分解法来求解. 【解】 设 Xi???1, 若第i个学生拿到自己的学生证， ?0，若第i个学生没拿到自己的学生证.n?i?1,2,11,n?,则显然有X??Xi,且P?Xi?1??,P?Xi?0??1??i?1,2,nni?1,n?故有 n1?n?n EX?E??Xi???EXi??P?Xi?1??n??1. ni?1?i?1?i?1又由于X1,X2,,Xn不相互独立，故 ?n?n DX?D??Xi???DXi?2??Cov?Xi,Xj?. 1?i?j?n?i?1?i?1而 DXi?EXi2??EXi?2?1?1?1??P?Xi?1??????1??. ?n?n?n?2又CovXi,Xj?EXiXj?EXiEXj,但 XiXj???????1, 若第i及第j个学生拿到自己的学生证， 其他.?0，于是，由期望的定义及概率的乘法公式知，有 E?XiXj??P?Xi?1,Xj?1??P?Xi?1?P?Xj?1|Xi?1? 11 ?nn?1 因而 CovXi,Xj?所以 DX?n??11111??2. nn?1nnn?n?1?1?1?1n?1121??2C???1. n??2n?n?n?n?1?nn【寓意】 本题是随机变量分解法的典型例题.在应用该方法求期望和方差时，应根据题意，搞清楚Xi之间是否相互独立.特别是求方差时，若遇到Xi之间不独立的情形，应利用和的方差计算的一般公式： ?n?nD??Xi???DXi?2??Cov?Xi,Xj?;但在计算和的期望时，却不需要考虑其独立与否. 1?i?j?n?i?1?i?1综例4.4.12 设随机变量X的概率密度为 f（1） 求EX和DX; （2） 求X与X的协方差，并问X与X是否不相关？ （3） 问X与X是否独立？为什么？ （1993年考研题） 【解】 由于X的密度函数f?x??（1） ???x??1?x ?e, ? ??x??21?xe, ???x???是一偶函数.从而有 2EX????xf?x?dx?0,2DX?EX2??EX??EX2?? ?1?x22xfxdx?2x?edx????2????X??EXE?X?,而 ?? ?2.（2）由于CovX,X???E?X????E?XX??故 CovX,?xxf?x?dx??????xx1?xedx?0 2?X,X与X不相关. ??0可见 （3） 给定的0?a???，显然事件X?a包含在事件?X?a?内，且 P?X?a??1,PX?a?0, 故 PX?a,X?a?PX?a. 但 P?X?a?P??????????X??a??P?X?a?. ?从而 PX?a,X?a?P?X?a?PX?a, 因此， X与X不独立. 【解毕】 【技巧】 本题考查随机变量的独立性与不相关这两个不同的概念.独立性的判别是本题的难点，然而， ???如果从随机变量独立性的直观意义去理解，由于X与X的取值是有关联的，因此他们不会相互独立.严格的数学论述则是基于独立性的定义，即X与Y相互独立的充要条件是对任给的两个数，都有 P?X?x,Y?y??P?X?x?P?Y?y? 因此，如果存在两个数x0,y0，使 P?X?x0,Y?y0??P?X?x0?P?Y?y0? 则说明X与Y不独立，在本例中，对于X与，存在x0?a,y0?a,使 P?X?a,Y?a??P?X?a?P?Y?a? 所以，说明X与X不独立.注意，在本例中，希望大家不要从X与X的联合密度的角度去证明其不独立性，因这种方法在本题中将带来繁琐的计算. 综例4.4.13 设二维随机变量?X,Y?的密度函数为 f?x,y??1?1?x,y???2?x,y??, ???2其中?1?x,y?和?2?x,y?都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，他们的边缘密度函数对应的随机变量的数学期望均为0，方差均为1. （1） 求随机变量X和Y的密度函数f1?x?和f2?y?，及X和Y的相关系数?（可以直接利用二维正态密度的性质）； （2） 问X和Y是否独立？为什么？ （2000年考研题） 【思路】 利用二维正态分布的定义和性质去计算. 【解】 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此，?1?x,y?和?2?x,y?的两个边缘密度为标准正态密度函数.故 f1?x????????????1?f?x,y?dy????1?x,y?dy???2?x,y?dy?2??????221?1?x21?x2e?e ??2?2??2?1?x2 ?e2?2????